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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《點(diǎn)到直線的距離》說課稿2新人教A版必修1 【課題】 點(diǎn)到直線的距離 【教材】 全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）第二冊（上） 人民教育出版社 【授課教師】杜曉雯 一． 教學(xué)目標(biāo) 1．教材分析 ⑴ 教學(xué)內(nèi)容 《點(diǎn)到直線的距離》是全日制普通高級中學(xué)教科書（必修人民教育出版社）第二冊（上），“7．3兩條直線的位置關(guān)系”的第四節(jié)課，主要內(nèi)容是點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程和公式應(yīng)用． ⑵ 地位與作用 本節(jié)對“點(diǎn)到直線的距離”的認(rèn)識(shí)，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了解析幾何的定量計(jì)算，其學(xué)習(xí)平臺(tái)是學(xué)生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線方程和兩條直線的位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)．對“點(diǎn)到直線的距離”的研究，為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用． 2．學(xué)情分析 高二年級學(xué)生已掌握了三角函數(shù)、平面向量等有關(guān)知識(shí)，具備了一定的利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力．根據(jù)我校學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)較扎實(shí)、思維較活躍，但處理抽象問題的能力還有待進(jìn)一步提高的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和認(rèn)知特點(diǎn)，本課采用類比發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法． 3．教學(xué)目標(biāo) 依據(jù)上面的教材分析和學(xué)情分析，制定如下教學(xué)目標(biāo)． ⑴ 知識(shí)技能 ① 理解點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程； ② 掌握點(diǎn)到直線的距離公式； ③ 掌握點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用． ⑵ 數(shù)學(xué)思考 ① 通過點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，滲透算法的思想； ② 通過自學(xué)教材上利用直角三角形的面積公式的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力； ③ 通過靈活應(yīng)用公式的過程，提高學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力． ⑶ 解決問題 ① 通過問題獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—解決問題”的過程； ② 由探索點(diǎn)到直線的距離，推廣到探索點(diǎn)到直線的距離的過程，使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法． ⑷ 情感態(tài)度 結(jié)合現(xiàn)實(shí)模型，將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣． 二． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 1．教學(xué)重點(diǎn) ⑴ 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析； ⑵ 點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用． 2．教學(xué)難點(diǎn) 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路和算法分析． 三．教學(xué)過程 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教 師 活 動(dòng) 學(xué) 生 活 動(dòng) 活 動(dòng) 說 明 新課引入 創(chuàng)設(shè)情境：以學(xué)生熟知的生活圖片欣賞和一個(gè)具體實(shí)例：當(dāng)火車在高速行駛時(shí)，周圍會(huì)產(chǎn)生負(fù)壓，如果旅客離鐵軌中心的距離小于2米5時(shí)，就可能被吸入車輪下發(fā)生危險(xiǎn)．讓學(xué)生直觀感受幾何要素——“點(diǎn)到直線的距離”，引發(fā)學(xué)習(xí)好奇心和研究興趣． 現(xiàn)實(shí)模型： ①地質(zhì)勘探、鐵軌寬度、人離高壓電線的安全距離 （圖片欣賞） ②生活實(shí)例 （flash動(dòng)畫演示） 模 型 直 觀 探 索 思 考 探 索 思 考 探 索 思 考 回顧舊知：在初中，“點(diǎn)到直線的距離”的定義是什么？ 1． 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程 （由特殊推廣到一般、從具體推廣到抽象） 問題1 如何求點(diǎn)到直線的距離？ 教師：請同學(xué)們作出圖象后，思考有哪些計(jì)算方法，結(jié)果是什么？ 方法①　利用三角函數(shù) 解：過點(diǎn)作的垂線，垂足為 教師：由于點(diǎn)和直線的位置比較特殊，直角三角形較為明顯，并且出現(xiàn)了特殊角，所以可以利用三角函數(shù)來解決問題．但如果直線位置不具特殊性，三角運(yùn)算將較為繁雜，故此法具有一定的局限性． 方法②　利用定義 解：過點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為 方法③　利用函數(shù)的思想 解：設(shè)直線上的點(diǎn)，則 ， 當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，即點(diǎn) 教師：我們可將求點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離，再通過二次函數(shù)求最小值的方法解決本題． 強(qiáng)調(diào)：⑴點(diǎn)在直線上，故滿足直線方程； ⑵當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，指明此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并與方法②得到的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行比較． 方法④　利用直角三角形的面積公式 教師：由于，所以我們還可以想到什么方法來計(jì)算呢？ 教師：應(yīng)該如何構(gòu)造三角形呢？ 如何添作輔助線是學(xué)生的一個(gè)思維難點(diǎn)，教師要強(qiáng)調(diào)：由垂直條件可以聯(lián)想到三角形的高或直角三角形等知識(shí)，從而得到輔助線的添作方式． 解：過點(diǎn)作的垂線，交點(diǎn)為點(diǎn) 問題2如何求點(diǎn)到直線的距離？ （類比問題1的四種解法，讓學(xué)生獨(dú)立思考問題2．課堂上，只要求學(xué)生說明解題思路，而不要求解題過程．） （以下有關(guān)例題2的解題過程僅供資料查閱，而不在課堂上講解．） 方法①　利用三角函數(shù) 方法②　利用函數(shù)的思想 設(shè)點(diǎn)在直線上，則 當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，即點(diǎn)． 方法③　利用定義 過點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為 方法④　利用直角三角形的面積公式 過點(diǎn)作、軸的垂線，交點(diǎn)為點(diǎn)、 探 索 思 考 問題3 如何求點(diǎn)到直線的距離（）？ 教師：你能否類比問題1、2解決本問？ 教師：如果通過定義來計(jì)算，你的思路是什么？ 教師：對于的特殊情況，你可以怎樣處理？ 方法① 利用定義的算法思路 得到點(diǎn)到的距離 確定直線的斜率 求過點(diǎn)垂直于的直線的方程 求與垂直的直線的斜率 求與的交點(diǎn) 求點(diǎn)與點(diǎn)的距離 方法② 利用直角三角形的面積公式的算法思路 教師：如果類比問題1、2，通過面積構(gòu)造法來計(jì)算，你應(yīng)該如何添作輔助線？解題思路是什么？ 探 索 思 考 教師：根據(jù)得到的算法思路，請同學(xué)們自學(xué)教材的證明方法． 方法③ 利用平面向量的算法思路 教師：直線的斜率是什么？ 教師：若向量，你能表達(dá)的一個(gè)坐標(biāo)嗎？ 教師：設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，則的坐標(biāo)是多少？ 教師：設(shè)的夾角為，則為多少？ 教師：結(jié)合圖象，你能否表示出？ 探 索 思 考 問 題 解 決 2．點(diǎn)到直線的距離公式 點(diǎn)到直線的距離（其中） 教師：你能否利用點(diǎn)到直線的距離公式解決問題1和問題2？并比較計(jì)算結(jié)果． 3．點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用 例1 求點(diǎn)到下列直線的距離： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 知 識(shí) 運(yùn) 用 分析：⑴ 可能會(huì)有學(xué)生在代人公式計(jì)算時(shí)，忘掉絕對值符號(hào)．教師要給予糾正，強(qiáng)調(diào)距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)． ⑵ 教材上的解法是結(jié)合圖形直接得到點(diǎn)到直線的距離，也可能會(huì)有學(xué)生是直接代人公式計(jì)算，教師指出對于或的特殊情況，一般結(jié)合圖形直接得到結(jié)論． ⑶ 部分學(xué)生可能會(huì)對代入公式后計(jì)算得0這一結(jié)果感到困惑，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考此時(shí)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，指出當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)公式仍然成立． ⑷ 在補(bǔ)充的問題⑷中所給出的直線方程不是一般式，所以在代人公式計(jì)算前，學(xué)生必須將直線方程化為一般式，以便確定系數(shù)，從而達(dá)到強(qiáng)調(diào)公式運(yùn)用前提的目的． 教師：使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是把直線的方程化成一般式方程，如果給出的直線方程不是一般式方程，應(yīng)先將方程化成一般式，以便確定系數(shù)的值，這一點(diǎn)對于直線方程中含參數(shù)的問題尤為重要． 例2 ⑴已知點(diǎn)到直線的距離為，求的值； ⑵已知點(diǎn)到直線的距離為，求的值． 教師：如何求實(shí)數(shù)的值？ 解：⑴ 知 識(shí) 運(yùn) 用 ⑵ 教師：這兩問直線方程中參數(shù)的幾何意義是什么？ 教師：兩個(gè)小問的幾何意義是什么？ （教師利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)） 例3 求平行線和 的距離． 教師：這兩條平行直線間的距離是否是固定的？ 教師：如何求這兩條平行直線間的距離？ 教師：可以選擇哪個(gè)點(diǎn)？ 解：在直線上任取一點(diǎn)，例如則到直線的距離就是兩平行線間的距離．因此 教師：是否可以在直線上取一般的點(diǎn)來求距離？ 推廣到一般結(jié)論： 知 識(shí) 運(yùn) 用 例４　求證：兩平行直線 的距離為 證明：設(shè)點(diǎn)是直線上任一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為 兩平行直線的距離公式： 的距離為 教師：兩平行線的距離公式不要求記憶． 在求兩條平行線間的距離時(shí)，一般仍利用化歸思想轉(zhuǎn)化為直線上一特殊點(diǎn)到另一直線的距離來處理． 課堂練習(xí) 求下列兩條平行線的距離： ⑴ ⑵ ⑶ 學(xué)生：過點(diǎn)作的垂線，垂足為，垂線段的長度就是點(diǎn)到直線的距離． 點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短． 問題1 學(xué)生作圖后，結(jié)合圖象，分組討論怎樣計(jì)算． 方法① 利用三角函數(shù) 學(xué)生：由于點(diǎn)和直線的位置很特殊，可以利用三角函數(shù)來解決． 方法② 利用定義 （由于前面復(fù)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離的定義，所以學(xué)生容易想到利用定義解決問題） 學(xué)生：利用定義解決問題． 方法③ 利用函數(shù)的思想 （在前面復(fù)習(xí)中強(qiáng)調(diào)了垂線段最短，所以可以引導(dǎo)學(xué)生，利用二次函數(shù)求最小值的方法解決問題．） 學(xué)生：可以利用二次函數(shù)求最小值的方法解決問題． 學(xué)生的解答中，可能會(huì)忽略取得等號(hào)的條件，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考，取得等號(hào)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并與前面兩種方法所得答案進(jìn)行對比． 方法④ 利用直角三角形的面積公式 學(xué)生：三角形面積公式． 學(xué)生：過點(diǎn)作的垂線，構(gòu)造． 對于問題1的四種解法，學(xué)生可能回答不完全，教師要補(bǔ)充完整． 問題2　 方法① 利用三角函數(shù) 方法② 利用函數(shù)的思想 方法③ 利用定義 方法④ 利用直角三角形的面積公式 問題3 學(xué)生討論：前面四種證明方法的都可行，但利用三角函數(shù)和利用二次函數(shù)求最小值的方法，相對要復(fù)雜一些． 方法① 利用定義的算法 學(xué)生分析解題思路，整理出算法框圖． 學(xué)生的回答可能會(huì)忽略 這個(gè)條件限制，教師要給予糾正并強(qiáng)調(diào)直線的斜率是否存在，主要取決于分母是否為0，這也是對前面知識(shí)的鞏固． 學(xué)生：對于的特殊情況，可以結(jié)合圖象直接得出結(jié)論． 方法② 利用直角三角形的面積公式的算法 學(xué)生：先添作輔助線，過點(diǎn)作軸、軸的垂線交于點(diǎn)，再利用直角三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算． 方法③ 利用平面向量的算法 學(xué)生： 學(xué)生容易忽略的限制條件，教師給予糾正． 學(xué)生： 對于法向量的理解是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)學(xué)生得到的答案可能不統(tǒng)一．教師引導(dǎo)學(xué)生從向量共線的角度加以分析，從而幫助學(xué)生理解． 學(xué)生： 學(xué)生： 當(dāng)時(shí)，以上公式仍然成立． 學(xué)生容易忽略距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以教師要強(qiáng)調(diào)應(yīng)該加上絕對值符號(hào)． 師生共同總結(jié)：對于點(diǎn)到直線的距離公式的理解 ⑴ 從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的連線的最短距離； ⑵ 使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件，是把直線的方程化成一般式方程．如果給出的直線方程不是一般式方程，應(yīng)先將方程化成一般式； ⑶若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為零，距離公式仍然成立； ⑷若直線方程中系數(shù)的特殊情況，距離公式仍然成立，但一般情況下可以結(jié)合圖形直接得到距離． 師生共同討論 例1 解：⑴根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得 ⑵解法① 因直線平行于軸，所以 解法② 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得 ⑶ 另解：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得 ⑷ 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式， 例2 由學(xué)生分析解題思路，并按要求用數(shù)學(xué)語言表述過程． 學(xué)生： ⑴中表示直線的斜率； ⑵中表示直線在軸上的截距． 學(xué)生：這兩個(gè)小問的幾何意義分別是 ⑴點(diǎn)到兩條直線的距離相等，所以點(diǎn)在兩條直線所成角的角平分線上； ⑵所得的兩條直線互相平行且距離為2． 例3 學(xué)生：兩條平行直線間的距離處處相等； 學(xué)生：將兩平行直線之間的距離轉(zhuǎn)化為一直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離； 學(xué)生：選擇點(diǎn)． 學(xué)生：可以選擇一般的點(diǎn)． 解：設(shè)直線上一點(diǎn) 例4 師生共同總結(jié)： ⑴ 應(yīng)用公式的前提是應(yīng)先將兩直線方程化為一般形式，使對應(yīng)系數(shù)化為相等（兩直線平行），再代人公式計(jì)算； ⑵ 兩平行線間的距離可轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的一個(gè)特殊點(diǎn)到另一條直線的距離． 課堂練習(xí) 學(xué)生獨(dú)立完成 解：⑴ ⑵ ⑶ 學(xué)生容易解錯(cuò)： 請其他同學(xué)分析錯(cuò)誤原因． 在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上引人新課． 由于教材上對于點(diǎn)到直線的距離公式的證明比較抽象，所以補(bǔ)充了兩個(gè)由淺人深的具體問題，為后面推廣到一般情況作好鋪墊． 補(bǔ)充的問題1，由于點(diǎn)和直線的位置非常特殊，所以學(xué)生容易回答，教師要鼓勵(lì)學(xué)生利用多種方法解決問題1． 方法③利用了類比化歸的思想，為后面將兩平行直線間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離奠定基礎(chǔ)． 強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想 改變問題1中幾何元素：點(diǎn)、直線的位置，引出問題2． 類比問題1，讓學(xué)生獨(dú)立思考問題2的不同法．課堂上只要求學(xué)生說明解題思路，而不要求解題過程． 在點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程中，滲透算法的思想 對于方法①，教材上只說明了算法步驟，而省略了繁瑣的證明過程，所以只要求學(xué)生理清算法思路、給出框圖，不要求證明過程． 對于方法②，引導(dǎo)學(xué)生理清算法思路，再根據(jù)算法框圖，指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教材的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和獲取信息的能力． 補(bǔ)充的方法③，建立在學(xué)生已有的平面向量知識(shí)的基礎(chǔ)上． 課堂上只要求學(xué)生理清算法思路，而對于這種方法的具體解決過程，可作為課后思考作業(yè)． 補(bǔ)充的方法③為今后在立體幾何中，利用這種算法思路得到點(diǎn)到平面的距離公式設(shè)下伏筆． 前后呼應(yīng)，使學(xué)生體會(huì)運(yùn)用公式計(jì)算的簡便性． 例1中⑶、⑷兩個(gè)問題是補(bǔ)充的內(nèi)容，目的是強(qiáng)化點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用前提條件． 例1主要是通過直接將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代人公式計(jì)算，強(qiáng)調(diào)公式的形式記憶和前提條件．在此基礎(chǔ)上，由淺入深，補(bǔ)充的例2中直線方程含有參數(shù)，進(jìn)一步提高思維難度． 在例2中，由于直線方程中的參數(shù)都具有明顯的幾何意義，所以在解出參數(shù)的值后，要引導(dǎo)學(xué)生思考其幾何意義． 補(bǔ)充的例題2既考察了學(xué)生對公式的掌握情況，又為下節(jié)課研究對稱問題和直線系問題設(shè)下伏筆． 由例2⑵的幾何意義可以引出教材的例題3． 例3采用了類比化歸的思想方法，同時(shí)引出例4． 例4教材中是以習(xí)題的形式出現(xiàn)的． （教材） 補(bǔ)充的課堂練習(xí)⑶的目的是，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用公式的前提條件． 課 堂 小 結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容． 課后作業(yè) 1 利用向量的方法證明點(diǎn)到直線的距離公式； ⑵ 教材 13、14、16 （通過小結(jié)，使學(xué)生將本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，使學(xué)生再次鞏固知識(shí)，明確方法．） 學(xué)生歸納總結(jié) 本課主要學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： ⑴ 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)中不同的算法思路：利用定義的算法、利用直角三角形的面積公式的算法、利用平面向量的算法； ⑵ 點(diǎn)到直線的距離公式： 點(diǎn)到直線（其中）的距離 說明：對于的特殊情況時(shí)公式仍然適用． ⑶ 應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件． 板書設(shè)計(jì)： 4．典型例題 例1 例2 例3 例4 5．課堂練習(xí) 6．課堂小結(jié) 7．課后作業(yè) 課題：點(diǎn)到直線的距離 1． 問題1 如何求點(diǎn)到直線的距離？ 方法① 方法② 方法③ 方法④ 2． 問題2 如何求點(diǎn)到直線的距離？ 3． 問題3 如何求點(diǎn)到直線 的距離（）？ 方法① 利用定義的算法框圖 方法② 利用直角三角形的面積公式的算法框圖 方法③ 利用平面向量的算法框圖 設(shè)計(jì)說明： 1．對于這一節(jié)內(nèi)容，有兩種不同的處理方法：一種是僅讓學(xué)生理解、記憶公式，直接應(yīng)用而不講公式的探尋過程，這樣的教學(xué)不利于對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)；另一種是本課所體現(xiàn)的方式，通過強(qiáng)調(diào)對公式的探索過程，提高學(xué)生利用代數(shù)方法處理幾何問題的能力； 2．由于點(diǎn)到直線的距離公式的證明過程含字母運(yùn)算，比較抽象．如果沒有整體算法步驟的分析，學(xué)生的思路勢必會(huì)缺乏連貫性，所以本課重點(diǎn)分析了三種算法思想：利用定義的算法、利用直角三角形的面積公式的算法、利用平面向量的算法．讓學(xué)生在明晰算法步驟的前提下，再進(jìn)行有效的公式證明和自學(xué)閱讀； 3．由于平面向量是一種重要的運(yùn)算工具，同時(shí)根據(jù)我校學(xué)生能力較強(qiáng)、數(shù)學(xué)思維較活躍的學(xué)情特點(diǎn)，本課補(bǔ)充了利用向量的數(shù)量積證明點(diǎn)到直線的距離公式的方法．實(shí)際上，在以后立體幾何的學(xué)習(xí)中，將利用這種算法思路得到點(diǎn)到平面的距離公式．但由于這種方法有一定思維難度，所以可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，提出分層要求：基本要求是理解教材所給出的證明方法并能夠應(yīng)用公式，較高要求是能夠利用向量的方法證明點(diǎn)到直線的距離公式； 4．現(xiàn)代數(shù)學(xué)認(rèn)為“幾何是可視邏輯”，所以應(yīng)該重視在補(bǔ)充的例題中，突出幾何直觀和數(shù)形結(jié)合的思想方法； 5．學(xué)生在練習(xí)中的“錯(cuò)誤體驗(yàn)”將會(huì)有助于加深記憶，所以可將應(yīng)用公式的前提條件等學(xué)生容易忽略的環(huán)節(jié)，設(shè)置在補(bǔ)充的例題練習(xí)中，以便達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的．