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2019-2020年高中數(shù)學《數(shù)列的極限》說課稿 新人教A版 極限是數(shù)學中極其重要的概念之一,極限的思想是人們認知數(shù)學世界解決數(shù)學問題的重要武器，是高等數(shù)學這個龐大的數(shù)學體系得以建立的基礎和基石。下面我從這三個方面來闡述我對這節(jié)課的理解和設計. 一、教材分析與處理 （一）教材分析 數(shù)列的極限是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）第三冊第二章的內(nèi) 容,極限的概念是本章內(nèi)容的基礎,也是導數(shù),積分的基礎,它對高等數(shù)學的學習起承上啟下的作用.新教材的教學參考書對極限的定義不作嚴格要求,只要求從數(shù)列的變化趨勢來理解、體會極限思想。新的課改理念，更加注重潛移默化的素質(zhì)教育，而本節(jié)課對學生辯證唯物主義世界觀的形成具有非常重要的作用，因此，在尊重教材的基礎上我對本節(jié)知識進行了重組，著重在培養(yǎng)、提高學生的素質(zhì)上下功夫。 （二）學情分析及對策 由于面對的是高三的學生，雖然很多數(shù)學能力已形成，并都能求出數(shù) 列的通項，但由于學生個體間有差異，未必都能由通項看出項的變化趨勢；另外學生的辯證唯物主義世界觀還沒有完全形成，對概念的理解還有困難。針對這兩點我采取加強直觀教學，改善學生狀況。 因此根據(jù)大綱，并結合學生的實際情況,我設計了以下的教學目標。 （三）教學目標 1、知識與技能：理解數(shù)列極限的概念,會求簡單數(shù)列的極限；從中 培養(yǎng)學生的思維能力,挖掘?qū)W生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)造能力; 2、過程與方法：體現(xiàn)由特殊到一般的方法，數(shù)形結合的方法； 3、情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課教學，培養(yǎng)學生的愛國主義思想情感; 揭示數(shù)學世界中的辨證關系,引導學生從有限中認識無限,從近似中認識精確,從量變中認識質(zhì)變,從而促進學生辯證唯物主義世界觀的形成。 （四）重點和難點 由于數(shù)列極限概念的形成和理解過程是本節(jié)知識的支撐點,也是本章后續(xù)知 識的出發(fā)點,故數(shù)列極限的概念是教學的重點.又由于極限概念中含有“無限”一詞,而中學生在以往的數(shù)學學習中主要接觸的是關于“有限”的問題,很少涉及“無限”的問題.因此對極限概念如何從變化趨勢的角度來正確理解為教學的難點. 二、教學方法和手段 （一）教學方法 采用啟發(fā)式探索發(fā)現(xiàn)法和啟發(fā)式講解法,創(chuàng)設富有啟發(fā)的學習情境,循循善誘充分體現(xiàn)學生的主體地位；在知識的分析上,注意從特殊到一般的歸納,克服理解抽象的困難. （二）教學手段 本節(jié)課充分發(fā)揮多媒體直觀、形象的動態(tài)功能，為數(shù)列極限概念的理解奠定直觀、形象的認知基礎;同時利用多媒體對數(shù)列進行作圖,通過數(shù)形結合既提高了學生觀察、分析能力又減輕了學生負擔,突出重點，突破難點。 （三）學法指導 教師的教學活動不僅要使學生學會,更重要的是使學生會學.因此教師通過 學生觀察、分析、比較、抽象和概括,促使學生對極限概念理解的深刻性作出探索,從而把傳授知識和培養(yǎng)能力融為一體,完成數(shù)列極限概念的教學. 三、教學程序 為實現(xiàn)教學目標，我從三個方面來完成本節(jié)課教學：概念的提出；概念的深化；概念的應用。 (一) 概念的提出 1. 導入新課： 教學應該由淺入深,由表及里,逐漸深化,教學的導入應該前后連貫以舊引新,從舊知識中尋找新知識的生長點,造成一種合乎邏輯的認知突破.因此我設計了以下的引入: 已知一個三角形，連結它的各邊中點得到一個小三角形，又連結這個小三角形的各邊中點得到一個更小的三角形，如此無限繼續(xù)下去（教師一邊給出題目一邊展示圖形），引導學生觀察以各邊中點為頂點的三角形，問：這樣的三角形有多少個呢？學生應該能答出有無窮多個，教師再問：這些三角形的面積依次怎樣變化呢？學生也能答出越來越小，這時教師補充小到幾乎是零。為了強化這種意識，教師再舉例拿一根線繩，演示莊子哲學命題的含義：對折，對折，再次對折，…如此繼續(xù)下去，理論上永遠也做不完。這兩個例子體現(xiàn)了一個共同的思想——極限思想，也可以說是逼近思想，這就是這一節(jié)我們要學習的內(nèi)容，由此引出課題——數(shù)列的極限。 這樣做讓學生感到它不是可看而不可及的知識，對極限的整體有個認識，同時由現(xiàn)實生活中問題的引入，可以使學生覺得很親切、很自然，易于激發(fā)濃厚的學習興趣。接著分析具體例子展開新課。 分別求出下列無窮數(shù)列的一個通項公式,并考察當項數(shù)n無限增大時,項的變化趨勢: （1） , , , , … （2） , , , , … （3） ，，，，… （4） , -, , -, … （5） -, , - ,, … 首先，直接觀察數(shù)列的各項，如果學生都很容易地看出每個數(shù)列的變化趨勢，那么繼續(xù)考察距離的差，即|an-a|,看它是否接近于零。否則讓學生從圖象來看各數(shù)列的變化趨勢，然后再進行距離差的考察。 通過討論得出數(shù)列（2）、（3）、（4）的共同特點：即隨著項數(shù)n的無限增大數(shù)列中的項an無限的趨近于一個常數(shù)a,并向?qū)W生指出:我們把具有這種特征的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列,常數(shù)a稱為該數(shù)列的極限.這樣就得出了數(shù)列極限的描述性定義. 2. 抽象定義： 一般地，如果當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列｛an｝的項an無限地趨近于某個常數(shù)a（即|an-a|無限地接近于0），那么就說數(shù)列｛an｝以a為極限，或者說a是數(shù)列｛an｝的極限。記作liman= a。 這樣設計的目的是：（1）尊重教材，為后面知識的學習奠定基礎；（2）體現(xiàn)新、舊教材的區(qū)別，注重學生能力、方法的培養(yǎng)，挖掘新教材的優(yōu)點；（3）由感性認識到理性認識，真正地使學生學會觀察、分析、比較、歸納，符合學生的認知規(guī)律。 （二）概念的深化 為了讓學生更好地理解概念的內(nèi)涵,下面演示著名的“劉徽割圓術”。其文字內(nèi)容是“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”，其數(shù)學圖形是（展示），引導學生觀察思考得出結論:圓的內(nèi)接正n邊形面積所構成的數(shù)列,其極限就是圓的面積,并指出:劉徽是最早用數(shù)列極限的思想求圓面積的科學家,他一直算到了正192邊形,得到 p 3.14,被稱為徽率. 通過這一實例,讓學生直觀地、初步地感知從有限中認識無限，從量變中認識質(zhì)變的這種極限思想.為理解概念、突破難點奠定直觀形象的認知基礎。同時對學生進行毅志品質(zhì)的教育，激發(fā)學生的學習熱情。 接著提出問題,引發(fā)學生的認知沖突: 1、根據(jù)數(shù)列極限的描述性定義,我們知道上述無窮數(shù)列（2）的極限是0,也就是說隨著項數(shù)n的無限增大,數(shù)列中的項無限地趨近于0。問題是:在數(shù)列的項無限地趨近于0的過程中,實際上數(shù)列的項也越來越趨近于常數(shù)-0.001,可為什么我們不說數(shù)列的極限是-0.001呢?這樣就促使學生集中注意力,開始產(chǎn)生有針對性的思維活動. 2、經(jīng)過對比思考容易發(fā)現(xiàn),越來越趨近和無限趨近是有差別的:所謂越來越趨近指的是距離越來越小,而無限趨近不僅要求距離越來越小,而且能夠無限的小,即 | a n- a |這個距離的差趨近于0。通過問題的解決，使學生對概念的理解從理性上又上了一個層次。 (三)概念的應用: 心理學家認為,概念一旦獲得如不及時加以總結,就會遺忘或混淆,并且必 須通過解題訓練加以鞏固. 1、例題講解: 例1. 考察下面的數(shù)列,有極限的寫出它們的極限: （1）, , , …, n2, … （2） , , , …, 5/10n, … （3） , , , …, 1/(-2) n, … （4）–, -, -, …, -, … （5） ，，， -， -，…，- 對于這一例題，教師給學生一定的時間和空間,讓學生自主討論、交流。最后教師啟發(fā)總結三點: (1) 常數(shù)列的極限就是它本身； (2) 前面有限項不影響整個數(shù)列的變化趨勢，趨勢只是后面無限項； (3) 單調(diào)有界的無窮數(shù)列有極限，且極限唯一。 通過這一例題,(1)使學生進一步理解,體會描述性定義的內(nèi)涵和一般性的結論;(2) 讓學生從具體地數(shù)學實例中主動的領會量變與質(zhì)變、有限與無限的哲學思想,從而促進學生辯證唯物主義世界觀的形成，完成教學目標;(3)從教學方法方式上,充分體現(xiàn)學生的主體地位，做到人人得思維,人人有見解,生生相合,生生相駁,生生互動. 總結的目的是進一步加深學生對數(shù)列極限的認識,為高等數(shù)學的學習奠定基礎. 2、反饋練習: （1）已知DABC的面積為a，連接它的各邊中點得到一個小三角形，又 連接這個小三角形的各邊中點得到一個更小的三角形，如此繼續(xù)下去，求這些三角形的面積所構成的無窮數(shù)列，并求這個數(shù)列的極限。 它是引入中中點三角形問題的深化，經(jīng)過計算學生能很容易求解。安排它目的是通過實例貫穿始終，讓學生覺得不僅僅從觀察能產(chǎn)生一種逼近的思想，而且能通過具體的數(shù)值來解釋這個結論，從而加深理解此題，也有利于概念的理解。 （2）下面的四個式子中正確的是 ( ) A. 0.99 …<1, B. 0.91, C. 0.99…9=1, D. 0.9=1 練習（2）考察了極限符號的又一種表示形式，這是學生很熟悉的一個數(shù)值，但也是很有爭議的一個問題，完全由學生來解決，意在強化理解概念，開擴學生的思維，再次促進學生從近似中認識精確的辯證唯物主義世界觀的形成。 （四）小結： 由于本節(jié)課在內(nèi)容上側(cè)重概念的辨析，方法上主要采取以學生活動為主的啟發(fā)式教學，故由學生來總結。 1、知識內(nèi)容總結： （1）理解數(shù)列極限的定義，會求簡單數(shù)列的極限； （2）區(qū)別越來越趨近與無限趨近的含義。 2、思想方法的總結： 在理解概念和解題的過程中，注意數(shù)形結合的思想方法，認識有限與 無限、量變與質(zhì)變、近似與精確的辯證唯物主義原理在數(shù)列極限中的體現(xiàn)。 通過學生對課堂內(nèi)容進行小結，加強學生對基本概念的理解，使知識 結構在學生頭腦中得以完善，思想方法得以深化. (五)作業(yè)： 1、下面的數(shù)列有極限嗎？如果有，寫出極限的值 (1) ，20，30，…，n0, …; (2) , , , …，(2/3)n, …; (3) , , , …，(3/2)n , …; (4) -2.9, -2.99, -2.999, …，-3+1/10n, …， 2、已知數(shù)列，，，…，（2n+1）/2n, … (1)把這個數(shù)列的前4項在數(shù)軸上表示出來； (2)寫出|an-1|的解析式，其中an是數(shù)列的第n項； (3)指出數(shù)列﹛（2n+1）/2n ）的極限. 3、（選做題）已知，三角形的一條邊長為a，這條邊上的高為h，過高的n等分點分別作底邊的平行線，并作出相應的n個矩形.考慮：當n無限增大時，這些矩形面積之和是否等于三角形的面積ah/2. （六）板書設計： 數(shù)列的極限 一、 概念的提出 二、概念的深化 三、概念的應用 定義： (1) 例1 (2) 例2 練習1 練習2