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1、 人教版高三年級《數(shù)學(xué)歸納法》的教學(xué)設(shè)計 一.設(shè)計思想 本節(jié)課是根據(jù)現(xiàn)代認知心理學(xué)理論，運用建構(gòu)主義觀點設(shè)計的教學(xué)方案，通過生活實例和數(shù)學(xué)實驗，力求學(xué)生在實踐的基礎(chǔ)上主動構(gòu)建數(shù)學(xué)歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理。此教學(xué)設(shè)計巧設(shè)情境，導(dǎo)入新課；由淺入深，循序漸進；教法選擇適宜，學(xué)法指導(dǎo)能貫穿于始終；在教學(xué)中既注重基礎(chǔ)知識的獲得，又注重了學(xué)生能力的培養(yǎng)，提高了學(xué)生的整體素質(zhì)。 二．教材分析 數(shù)學(xué)歸納法既是高中代數(shù)中的一個重點和難點內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)歸納法安排在數(shù)列之后極限之前，它是數(shù)列知識的深入與擴展，也是促進學(xué)生從有限思維發(fā)展到無限思維的一個重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)歸納法還貫穿了

2、高中數(shù)學(xué)的幾大知識點：不等式，數(shù)列，三角函數(shù)，平面幾何等。其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想至關(guān)重要。 根據(jù)課程標準和學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)，“數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)分三個課時，這節(jié)課是第一課時，講的是高三《數(shù)學(xué)》第三冊（選修Ⅱ）P62～P64的內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生嚴密的推理能力、訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗數(shù)學(xué)內(nèi)在美的好素材。 三．學(xué)情分析 在高一數(shù)列的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，但其正確性還有待用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。對學(xué)生來說，數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容抽象，思想新穎，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，加上學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)對于同化“數(shù)學(xué)歸納法”無論是數(shù)學(xué)知識還是邏輯知

3、識都不夠充分。在利用數(shù)學(xué)歸納法原理作證明的過程中不僅會產(chǎn)生各種技巧上的困難，而且即使學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧，也常常不能真正理解它的意義，對數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)往往停留在“形式”上。若不突破以上難點，學(xué)生往往會懷疑數(shù)學(xué)歸納法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。這會對以后進一步的學(xué)習(xí)造成極大的阻礙。 通過這堂課的教學(xué)，要使學(xué)生初步掌握歸納與推理的能力，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)。課堂上，通過師生雙向交流，學(xué)生經(jīng)歷了“觀察分析猜想論證”的思維環(huán)節(jié)，進一步掌握了自主探索問題、自主學(xué)習(xí)的方法。 四．教學(xué)目標： 知識與技能目標： 1. 了解“歸納法” 的含義；

4、 2．理解“數(shù)學(xué)歸納法”的原理； 3．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟，會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的恒等式。 過程與能力目標： 1．通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴密的邏輯推理能力； 2．讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。 情感、態(tài)度與價值目標： 1．通過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)初步形成嚴謹務(wù)實的科學(xué)態(tài)度和嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)理性精神； 2．認識有限與無限的辯證關(guān)系； 3．感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，從而使學(xué)生更喜歡數(shù)學(xué)。 五．教學(xué)重點：理解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)意義;掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟。 教學(xué)難點：數(shù)學(xué)

5、歸納法證題有效性的理解；遞推步驟中歸納假設(shè)的應(yīng)用。 六．教學(xué)策略和手段： 根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和感性體驗法進行教學(xué)。 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法屬于啟發(fā)式教學(xué)，體現(xiàn)了認知心理學(xué)的相關(guān)內(nèi)容。在教學(xué)過程中，教師采用啟發(fā)、引導(dǎo)、點撥的方式，創(chuàng)設(shè)各種問題情境，使學(xué)生帶著問題去主動思考、動手操作、交流合作，進而達到對知識的“發(fā)現(xiàn)”和接受，完成知識的內(nèi)化，使書本的知識成為自己的知識。這也正好體現(xiàn)了荷蘭教育家弗賴登塔爾的建構(gòu)主義教學(xué)觀。 在本教學(xué)設(shè)計中,通過生活實例和數(shù)學(xué)實驗，促進學(xué)生對“遞推原理”的理解，明了“兩個步驟”的必要性，為“數(shù)學(xué)歸納法”的應(yīng)用前提和場合提供形象化的參照物

6、，為理解數(shù)學(xué)歸納法做了感性鋪墊。 七．課前準備： 1．請學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)，并準備好幾個小長方體木塊； 2．教師準備多媒體課件. 八．教 學(xué) 過 程： （一）創(chuàng)設(shè)情境 提出問題 情景設(shè)置1: 師：班長，同學(xué)們都到齊了嗎？ 生：到齊了。（班長站起來，回顧了一下四周后回答） 師：那你是怎么知道全班同學(xué)都到齊了呢？ 生：因為48個位置上都坐滿了人呀。（顯然對老師提這個問題感到奇怪） 師：很好，其實這個判斷用了歸納法。我們不妨把班長回顧四周的動作分解成48拍。（此時，教室里熱鬧了起來。） 生：哦，我知道了。因為班長看到第一個座位上有人，第二

7、個座位上也有人，這樣一個座位一個座位地往下看，看到最后第48個座位上也有人。從而歸納出“人到齊了”這個結(jié)論。 師：太棒了！這就是我們在生活中不知不覺經(jīng)常用到的歸納法。象這種由一系列特殊事例得出一般結(jié)論的方法，我們把它叫做歸納法。（板書：歸納法）我們剛才通過一一列舉，一個一個驗證，最后得出“人到齊了”這個結(jié)論。這里人的個數(shù)是有限的，倘若研究的個體是無限個呢？ 情景設(shè)置2: 師：我們來聽個笑話吧：從前，有個叫萬百千的小孩，家長送他上學(xué)，開始識字。第一天先生教他個“一”字。第二天先生又教了個“二”字。到了第三天，他想先生一定是教“三”字了，并予先在紙上劃了三橫。果然這天就教了個“三”字。于是他

8、得了一個結(jié)論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以此類推，萬事大吉。從此，便不再去上學(xué)，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學(xué)，他毫不猶豫得意地回答：“我都會了”。家長要他寫出自己的名字，“萬百千”寫名字結(jié)果可想而知。（學(xué)生笑倒一片，在笑聲中我又問） 師：萬百千在學(xué)習(xí)上犯了什么錯誤？ 生：一二三的寫法只是特殊情況，并不是所有的字都是這樣寫的，他根據(jù)這幾個特殊字的寫法推斷出所有的字都這樣寫就錯了。 師：僅考察部分特例而得出一般結(jié)論的推理方法叫不完全歸納法，它不可靠，所得結(jié)論不一定正確。 “萬百千”正是犯了這個錯誤。 情景設(shè)置3: 師：請同學(xué)們思考討論這兩個問題。（教師在屏幕上顯示以下問題） （1

9、）一個數(shù)列的通項公式是an=(n2-5n+5)2 容易驗證，a1=a2=a3=a4=1，所以說：對任何n∈N，an=（n2-5n+5）2=1。上述判斷正確嗎？（2）若數(shù)列{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，那么 a1=a0+d,a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d，……由此可以得出它的通項嗎？ 生1：（1）中的判斷是錯誤，可以舉反例，如a5=25≠1。 (2)等差數(shù)列的通項為：an=a1+(n-1)d。 生2：我覺得由此得到等差數(shù)列的通項公式是不可靠的，是不完全歸納法，感覺就象“萬百千”學(xué)字。只有經(jīng)過嚴格的證明，不完全歸納得出的結(jié)論才是正確的。

10、 師：不錯。只有經(jīng)過嚴格的證明，不完全歸納得出的結(jié)論才是正確的。那怎樣來解決這種無法窮盡驗證的命題的呢？如何用“有限”的步驟，去證明“無限” 的命題呢？這就是我們今天將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法。（投影并板書本節(jié)課課題 數(shù)學(xué)歸納法） （二）新課講授 師：有一列整齊排放的自行車，如果邊上一輛無意中被碰倒以后，會發(fā)生什么情況？ 生：后面幾輛也會倒下去。 師：大家把準備好的小長方形木塊拿出來，我們一起來做實驗吧。 （隨之，多米勒骨牌按一定間隔整齊地擺放在講臺上，把它當(dāng)作自行車模型，邊示范邊作下面講解。） 師：現(xiàn)在，我們把自行車放在我們的講臺上。（學(xué)生笑）這樣排放好以后，要讓他們?nèi)康瓜?/p>

11、，應(yīng)該怎么辦？ 生：只要推倒第一個就行了。 師：真的第一個倒了，其他就能倒嗎？（我把第三個和第四個的間距拉得足夠開），這樣能全部倒下嗎？ 生：不能。因為第三個和第四個的間距太大，相互碰不到，所以，只倒下了前面幾個。 師：好，這就說明一個問題，要讓他們?nèi)康瓜拢仨毾瓤刂坪盟麄兠總€之間的距離。也就是要保證做到：一個倒下去，后面一個也要被推倒。這是它們?nèi)康瓜氯サ囊罁?jù)、關(guān)鍵。 但是，如果我把距離控制好了，（把骨牌恢復(fù)原樣）使它能保證這一點，但什么也不干，能保證它們?nèi)康瓜聠幔? 生：不能，當(dāng)然還必須碰倒第一個。 師：只要滿足以下兩個條件，所有的多米諾骨牌都能倒下：（1）第一塊骨牌倒下；

12、（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一個倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。（板書：P（1）倒下；P（K）倒→P（K+1）倒） 師：請同學(xué)們思考：證明等差數(shù)列的通項公式與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？ （經(jīng)引導(dǎo)后小結(jié)，多媒體顯示） 多米諾骨牌游戲原理 通項公式的證明方法 （1）第一塊骨牌倒下。 （1）當(dāng)n=1時猜想成立 （2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。 （2）若當(dāng)n=k時猜想成立，即…，則當(dāng)n=k+1時猜想也成立，即… 。 根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。 根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。

13、（學(xué)生回答等差數(shù)列通項公式的證明過程,由教師將學(xué)生回答的內(nèi)容板書，師生共同總結(jié)出應(yīng)注意之處。） 師： 所謂的數(shù)學(xué)歸納法證題時有兩個步驟：（同時板書）（1）證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論成立。即驗證P（n）成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論正確，即由P（K）正確→P（K+1）正確；由（1）和（2）就可斷定命題對于從n開始的所有自然數(shù)n都成立。 同學(xué)們，是不是證明時這兩個步驟缺一不可呢？為什么完成了這兩個步驟就證明了對所有的自然數(shù)都成立？（同學(xué)們討論后，請一位回答） 生：這個原理跟剛才的實驗是一個道理，只要符合這兩點，再多的骨牌都能倒下。1）證明P（1）為真；；2）證明命題

14、“P（K）真P（k+1）真”正確；由1）、2）命題知，原命題對一切n∈N均成立。 師：步驟（1）是驗證，步驟（2）是以一次邏輯推理代替了無限次驗證過程，是證體題的關(guān)鍵，它保證這樣一個過程：P（n）正確（驗證） P（n+1）正確→P（n+2）正確→…（同時板書）上述無窮鏈條一環(huán)扣一環(huán)，形象地說明了數(shù)學(xué)歸納法證明P（n）的正確性的過程。 說明：此處畫龍點睛，多數(shù)學(xué)生至此都頓悟了數(shù)學(xué)歸納法的思想和方法，也在其個人的認知結(jié)構(gòu)中，借助感性認識，建構(gòu)了數(shù)學(xué)歸納法解題的模型。 （三）典例探究： 例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+7+ … +（2n-1）=n2 （在規(guī)范證明完本題之后，我再次

15、加以強調(diào)，在第2步由n=k成立向n=k+1成立過渡的過程中，必須使用歸納假設(shè)，否則就不叫用數(shù)學(xué)歸納法證題，而且兩個步驟缺一不可。為了加深對數(shù)學(xué)歸納法實質(zhì)的理解，我投影兩個不滿足兩個步驟的例子供學(xué)生辨析，進一步讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)歸納法的透徹理解。） 思考題： （1）以下證明命題的方法是數(shù)學(xué)歸納法嗎？ 假設(shè)n=k時,等式1+3+5+7+…+(2n-1)= n2成立 即 1+3+5+7+… (2k-1)=k2 成立 那么， 1+3+5+7+ …+(2k-1)+(2k+1) =(k+1)〔1+（2k+1）〕／2 =(k

16、+1)2 ∴當(dāng)n=k+1時等式也成立 所以等式對一切正整數(shù)都成立。 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列前n項和公式，證法如下： （1）當(dāng)n=1時，s=a,顯然成立。 （2）假設(shè)n=k時，公式成立，即s=ka+k(k-1)d/2 當(dāng)n=k+1時,s=a+a+…+a+a =a+(a+d)+(a+2d)+ …+[a+(k-1)d]+(a+kd) =(k+1)a+(k+1)[(k+1)-1]d/2 ∴當(dāng)n=k+1時公式成立。 （四）反饋練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明： （1）1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (n∈N)； （2）首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項

17、公式為：an=a1qn-1 (n∈N) （請學(xué)生板演，并集體批改指正） （五）總結(jié)： 1．本節(jié)課的主要內(nèi)容是什么？（數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟、關(guān)鍵、核心，要注意的問題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉） 2．從這節(jié)課的學(xué)習(xí)中你有何感想？你能否體會到數(shù)學(xué)歸納法的魅力？ 九.板書設(shè)計: 2.1數(shù)學(xué)歸納法 步驟：（略） P（n）正確（驗證） P（n+1）正確→P（n+2）正確→… 注意： 遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫明莫忘掉 例題板書：（略） 練習(xí)板演：（略） 投影屏幕

18、 十.作業(yè)設(shè)計:（1）練習(xí) P64 1，2，3 （2）預(yù)習(xí)課本P64-65 [案例研討] 這是一節(jié)“數(shù)學(xué)歸納法”的啟示課，初學(xué)者對數(shù)學(xué)歸納的原理不易理解，對證明方法感到陌生、抽象。教案中首先通過生動的實例引入課題，使學(xué)生學(xué)習(xí)積極性初步得到調(diào)動，增強了“參與感”與求知欲。進而應(yīng)用“骨牌游戲”深入淺出地提示了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)——遞推，并概括出數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟。最后以學(xué)生練習(xí)，讓他們從實際證題過程中，加深對數(shù)學(xué)歸納法的理解，并初步掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題過程中，加深對數(shù)學(xué)歸納法的理解，并初步掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題的操作程序。抓住了重點，突破了難點，較好地完成了預(yù)定的教學(xué)任務(wù)。 這節(jié)課上自始至終重視學(xué)生的活動。學(xué)生的認識過程，要由每個學(xué)生自己完成。學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情飽滿，思維活動積極，有利于學(xué)生對知識的理解和掌握，也有利于觀察能力、分析能力和抽象能力的提高。 [案例評議] 這是一節(jié)公開課，學(xué)生參與積極，通過作業(yè)的反饋，學(xué)生的確理解了“數(shù)學(xué)歸納法”的實質(zhì)含義，效果很好。 [參考文獻] 菲施拜因．理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難。數(shù)學(xué)研究導(dǎo)引．南京：江蘇教育出版社，1998．407～412 8