【成才之路】2014高中數(shù)學 2-3-1、2 變量之間的相關關系 兩個變量的線性相關能力強化提升 新人教A版必修3 一、選擇題 1．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(　　) A．都可以分析出兩個變量的關系 B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關系 C．都可以作出散點圖 D．都可以用確定的表達式表示兩者的關系 [答案]　C [解析]　給出一組樣本數(shù)據(jù)，總可以作出相應的散點圖，但不一定分析出兩個變量的關系，更不一定符合線性相關或有函數(shù)關系． 2．在畫兩個變量的散點圖時，下面敘述正確的是(　　) A．預報變量在x軸上，解釋變量在y軸上 B．解釋變量在x軸上，預報變量在y軸上 C．可以選擇兩個變量中任意一個變量在x軸上 D．可以選擇兩個變量中任意一個變量在y軸上 [答案]　B 3．由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回歸直線方程＝bx＋a，那么下面說法不正確的是(　　) A．直線＝bx＋a必經(jīng)過點(，) B．直線＝bx＋a至少經(jīng)過點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點 C．直線＝bx＋a的斜率為 D．直線＝bx＋a和各點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差yi－(bxi＋a)]2是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的直線． [答案]　B [解析]　由a＝－b 知＝－b ＋bx，∴必定過(，)點． 回歸直線方程對應的直線是與樣本數(shù)據(jù)距離最小的，但不一定過原始數(shù)據(jù)點，只須和這些點很接近即可． 4．下列說法正確的是(　　) A．對于相關系數(shù)r來說，|r|≤1，|r|越接近0，相關程度越大；|r|越接近1，相關程度越小 B．對于相關系數(shù)r來說，|r|≥1，|r|越接近1，相關程度越大；|r|越大，相關程度越小 C．對于相關系數(shù)r來說，|r|≤1，|r|越接近1，相關程度越大；|r|越接近0，相關程度越小 D．對于相關系數(shù)r來說，|r|≥1，|r|越接近1，相關程度越??；|r|越大，相關程度越大 [答案]　C 5．如圖是具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的散點圖和回歸直線，去掉哪個點后，剩下的5個點數(shù)據(jù)的相關系數(shù)最大？(　　) A．D　　　　B．E　　　　C．F　　　　D．A [答案]　C [解析]　第F組數(shù)據(jù)距回歸直線最遠，所以去掉第F組后剩下的相關系數(shù)最大． 6．以下關于線性回歸的判斷，正確的有________個．(　　) ①若散點圖中所有點都在一條直線附近，則這條直線為回歸直線 ②散點圖中的絕大多數(shù)點都線性相關，個別特殊點不影響線性回歸，如圖中的A，B，C點． ③已知回歸直線方程為＝0.50x－0.81，則x＝25時，y的估計值為11.69 ④回歸直線方程的意義是它反映了樣本整體的變化趨勢 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 [答案]　D [解析]　能使所有數(shù)據(jù)點都在它附近的直線不止一條，而據(jù)回歸直線的定義知，只有按最小二乘法求得回歸系數(shù)a，b得到的直線＝ax＋b才是回歸直線，∴①不對；②正確；將x＝25代入＝0.50x－0.81，解得＝11.69，∴③正確；④正確，∴選D. 7．為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩個同學各自獨立地作10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2.已知在兩個人的試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值恰好相等，都為s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值也恰好相等，都為t.那么下列說法正確的是(　　) A．直線l1和l2有交點(s，t) B．直線l1和l2相交，但是交點未必是點(s，t) C．直線l1和l2由于斜率相等，所以必定平行 D．直線l1和l2必定重合 [答案]　A [解析]　由題意，結合回歸直線易知只有選項A符合已知條件． 8．下表是某同學記錄的某地方在3月1日～3月12日的體檢中的發(fā)燒人數(shù)，并給出了散點圖. 日期 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 人數(shù) 100 109 115 118 121 131 日期 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 人數(shù) 141 152 158 175 186 203 下列說法： ①根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與發(fā)燒人數(shù)具有線性相關關系． ②根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與發(fā)燒人數(shù)具有一次函數(shù)關系． 其中正確的是(　　) A．② B．① C．①② D．都不正確 [答案]　B [解析]　由散點圖可以判斷日期與發(fā)燒人數(shù)具有正相關關系，但不是函數(shù)關系，更不是一次函數(shù)關系，因為所有點不在一條直線上，而是在一條直線附近． 二、填空題 9．下列關系： (1)煉鋼時鋼水的含碳量與冶煉時間的關系； (2)曲線上的點與該點的坐標之間的關系； (3)柑橘的產(chǎn)量與氣溫之間的關系； (4)森林的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關系． 其中具有相關關系的是________． [答案]　(1)(3)(4) [解析]　(1)煉鋼的過程就是一個降低含碳量進行氧化還原的過程，除了與冶煉時間有關外，還要受冶煉溫度等其他因素的影響，故具有相關關系． (2)曲線上的點與該點的坐標之間的關系是一一對應的，即是一種確定性關系． (3)柑橘的產(chǎn)量除了受氣溫影響以外，還要受肥量以及水分等因素的影響，故具有相關關系． (4)森林的同一種樹木，其橫斷面直徑隨高度的增加而增加，但是還受樹木的疏松及光照等因素的影響，故具有相關關系． 10．(2011遼寧高考)調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． [答案]　0.254 [解析]　由于＝0.254x＋0.321知，當x增加1萬元時，年飲食支出y增加0.254萬元． 11．某單位為了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關系，隨機抽查了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表： 氣溫(℃) 18 13 10 －1 用電量(度) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程＝x＋中＝－2，預測當氣溫為－4℃時，用電量約為________度． [答案]　68 [解析]　＝＝10，＝＝40，因為回歸方程一定過點(，)， 所以＝＋，則＝－＝40＋210＝60. 則＝－2x＋60，當x＝－4時，＝－2(－4)＋60＝68. 12．改革開放30年以來，我國高等教育事業(yè)迅速發(fā)展，對某省1990～2000年考大學升學百分比按城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村進行統(tǒng)計，將1990～2000年依次編號為0～10，回歸分析之后得到每年考入大學的百分比y與年份x的關系為： 城市：＝2.84x＋9.50； 縣鎮(zhèn)：＝2.32x＋6.67； 農(nóng)村：＝0.42x＋1.80. 根據(jù)以上回歸直線方程，城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村三個組中，________的大學入學率增長最快．按同樣的增長速度，可預測2010年，農(nóng)村考入大學的百分比為________%. [答案]　城市　10.2 [分析]　增長速度可根據(jù)回歸直線的斜率來判斷，斜率大的增長速度快，斜率小的增長速度慢． [解析]　通過題目中所提供的回歸方程可判斷，城市的大學入學率增長最快；2010年農(nóng)村考入大學的百分比為0.4220＋1.80＝10.2. 三、解答題 13．某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y之間有如下對應數(shù)據(jù)(單位：百萬元) x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)畫出散點圖； (2)從散點圖中判斷銷售金額與廣告費支出成什么樣的關系？ [解析]　(1)以x對應的數(shù)據(jù)為橫坐標，以y對應的數(shù)據(jù)為縱坐標，所作的散點圖如下圖所示： (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費支出與銷售金額之間具有相關關系，并且當廣告費支出由小變大時，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關關系． 14．某個服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內獲純利y(元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關系見表 x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知＝280，＝45209，iyi＝3487. (1)求，； (2)求回歸方程． [解析]　(1)＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6， ＝(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝. (2)＝＝， ∴＝－6＝， ∴所求回歸方程為＝x＋. 15．某工廠對某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)： 產(chǎn)量x(千件) 2 3 5 6 成本y(萬元) 7 8 9 12 (1)畫出散點圖； (2)求成本y與產(chǎn)量x之間的線性回歸方程． [解析]　(1)散點圖如下： (2)設成本y與產(chǎn)量x的線性回歸方程為＝x＋， ＝＝4，＝＝9. ＝＝＝1.1， ＝－ ＝9－1.14＝4.6. 所以，回歸方程為＝1.1x＋4.6. 16．(2011安徽高考)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(萬噸) 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程＝x＋a； (2)利用(1)中所求出的直線方程預測該地2012年的糧食需求量． [解析]　(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份這間是近似直線上升的，下面求回歸直線方程．為此對數(shù)據(jù)預算理如下： 年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 對預處理后的數(shù)據(jù)，容易算得 ＝0，＝3.2. ＝ ＝＝6.5， ＝－＝3.2. 由上述計算結果，知所求回歸直線方程為 ＝6.5(x－2006)＋260.2.① (2)利用回歸直線方程①，可預測2012年的糧食需求量為 6．5(2012－2006)＋260.2＝6.56＋260.2＝299.2(萬噸)≈300(噸)． 8