【成才之路】2014高中數(shù)學(xué) 2-3-1、2 變量之間的相關(guān)關(guān)系 兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)能力強(qiáng)化提升 新人教A版必修3 一、選擇題 1．對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是(　　) A．都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系 B．都可以用一條直線(xiàn)近似地表示兩者的關(guān)系 C．都可以作出散點(diǎn)圖 D．都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系 [答案]　C [解析]　給出一組樣本數(shù)據(jù)，總可以作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖，但不一定分析出兩個(gè)變量的關(guān)系，更不一定符合線(xiàn)性相關(guān)或有函數(shù)關(guān)系． 2．在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，下面敘述正確的是(　　) A．預(yù)報(bào)變量在x軸上，解釋變量在y軸上 B．解釋變量在x軸上，預(yù)報(bào)變量在y軸上 C．可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在x軸上 D．可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在y軸上 [答案]　B 3．由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回歸直線(xiàn)方程＝bx＋a，那么下面說(shuō)法不正確的是(　　) A．直線(xiàn)＝bx＋a必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，) B．直線(xiàn)＝bx＋a至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn) C．直線(xiàn)＝bx＋a的斜率為 D．直線(xiàn)＝bx＋a和各點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差yi－(bxi＋a)]2是該坐標(biāo)平面上所有直線(xiàn)與這些點(diǎn)的偏差中最小的直線(xiàn)． [答案]　B [解析]　由a＝－b 知＝－b ＋bx，∴必定過(guò)(，)點(diǎn)． 回歸直線(xiàn)方程對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)是與樣本數(shù)據(jù)距離最小的，但不一定過(guò)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，只須和這些點(diǎn)很接近即可． 4．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．對(duì)于相關(guān)系數(shù)r來(lái)說(shuō)，|r|≤1，|r|越接近0，相關(guān)程度越大；|r|越接近1，相關(guān)程度越小 B．對(duì)于相關(guān)系數(shù)r來(lái)說(shuō)，|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越大；|r|越大，相關(guān)程度越小 C．對(duì)于相關(guān)系數(shù)r來(lái)說(shuō)，|r|≤1，|r|越接近1，相關(guān)程度越大；|r|越接近0，相關(guān)程度越小 D．對(duì)于相關(guān)系數(shù)r來(lái)說(shuō)，|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越??；|r|越大，相關(guān)程度越大 [答案]　C 5．如圖是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸直線(xiàn)，去掉哪個(gè)點(diǎn)后，剩下的5個(gè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大？(　　) A．D　　　　B．E　　　　C．F　　　　D．A [答案]　C [解析]　第F組數(shù)據(jù)距回歸直線(xiàn)最遠(yuǎn)，所以去掉第F組后剩下的相關(guān)系數(shù)最大． 6．以下關(guān)于線(xiàn)性回歸的判斷，正確的有________個(gè)．(　　) ①若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在一條直線(xiàn)附近，則這條直線(xiàn)為回歸直線(xiàn) ②散點(diǎn)圖中的絕大多數(shù)點(diǎn)都線(xiàn)性相關(guān)，個(gè)別特殊點(diǎn)不影響線(xiàn)性回歸，如圖中的A，B，C點(diǎn)． ③已知回歸直線(xiàn)方程為＝0.50x－0.81，則x＝25時(shí)，y的估計(jì)值為11.69 ④回歸直線(xiàn)方程的意義是它反映了樣本整體的變化趨勢(shì) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) [答案]　D [解析]　能使所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在它附近的直線(xiàn)不止一條，而據(jù)回歸直線(xiàn)的定義知，只有按最小二乘法求得回歸系數(shù)a，b得到的直線(xiàn)＝ax＋b才是回歸直線(xiàn)，∴①不對(duì)；②正確；將x＝25代入＝0.50x－0.81，解得＝11.69，∴③正確；④正確，∴選D. 7．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線(xiàn)性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立地作10次和15次試驗(yàn)，并且利用線(xiàn)性回歸方法，求得回歸直線(xiàn)分別為l1和l2.已知在兩個(gè)人的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的平均值恰好相等，都為s，對(duì)變量y的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的平均值也恰好相等，都為t.那么下列說(shuō)法正確的是(　　) A．直線(xiàn)l1和l2有交點(diǎn)(s，t) B．直線(xiàn)l1和l2相交，但是交點(diǎn)未必是點(diǎn)(s，t) C．直線(xiàn)l1和l2由于斜率相等，所以必定平行 D．直線(xiàn)l1和l2必定重合 [答案]　A [解析]　由題意，結(jié)合回歸直線(xiàn)易知只有選項(xiàng)A符合已知條件． 8．下表是某同學(xué)記錄的某地方在3月1日～3月12日的體檢中的發(fā)燒人數(shù)，并給出了散點(diǎn)圖. 日期 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 人數(shù) 100 109 115 118 121 131 日期 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 人數(shù) 141 152 158 175 186 203 下列說(shuō)法： ①根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與發(fā)燒人數(shù)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系． ②根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與發(fā)燒人數(shù)具有一次函數(shù)關(guān)系． 其中正確的是(　　) A．② B．① C．①② D．都不正確 [答案]　B [解析]　由散點(diǎn)圖可以判斷日期與發(fā)燒人數(shù)具有正相關(guān)關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系，更不是一次函數(shù)關(guān)系，因?yàn)樗悬c(diǎn)不在一條直線(xiàn)上，而是在一條直線(xiàn)附近． 二、填空題 9．下列關(guān)系： (1)煉鋼時(shí)鋼水的含碳量與冶煉時(shí)間的關(guān)系； (2)曲線(xiàn)上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系； (3)柑橘的產(chǎn)量與氣溫之間的關(guān)系； (4)森林的同一種樹(shù)木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系． 其中具有相關(guān)關(guān)系的是________． [答案]　(1)(3)(4) [解析]　(1)煉鋼的過(guò)程就是一個(gè)降低含碳量進(jìn)行氧化還原的過(guò)程，除了與冶煉時(shí)間有關(guān)外，還要受冶煉溫度等其他因素的影響，故具有相關(guān)關(guān)系． (2)曲線(xiàn)上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的，即是一種確定性關(guān)系． (3)柑橘的產(chǎn)量除了受氣溫影響以外，還要受肥量以及水分等因素的影響，故具有相關(guān)關(guān)系． (4)森林的同一種樹(shù)木，其橫斷面直徑隨高度的增加而增加，但是還受樹(shù)木的疏松及光照等因素的影響，故具有相關(guān)關(guān)系． 10．(2011遼寧高考)調(diào)查了某地若干戶(hù)家庭的年收入x(單位：萬(wàn)元)和年飲食支出y(單位：萬(wàn)元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線(xiàn)方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線(xiàn)方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年飲食支出平均增加________萬(wàn)元． [答案]　0.254 [解析]　由于＝0.254x＋0.321知，當(dāng)x增加1萬(wàn)元時(shí)，年飲食支出y增加0.254萬(wàn)元． 11．某單位為了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽查了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表： 氣溫(℃) 18 13 10 －1 用電量(度) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得線(xiàn)性回歸方程＝x＋中＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量約為_(kāi)_______度． [答案]　68 [解析]?。剑?0，＝＝40，因?yàn)榛貧w方程一定過(guò)點(diǎn)(，)， 所以＝＋，則＝－＝40＋210＝60. 則＝－2x＋60，當(dāng)x＝－4時(shí)，＝－2(－4)＋60＝68. 12．改革開(kāi)放30年以來(lái)，我國(guó)高等教育事業(yè)迅速發(fā)展，對(duì)某省1990～2000年考大學(xué)升學(xué)百分比按城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將1990～2000年依次編號(hào)為0～10，回歸分析之后得到每年考入大學(xué)的百分比y與年份x的關(guān)系為： 城市：＝2.84x＋9.50； 縣鎮(zhèn)：＝2.32x＋6.67； 農(nóng)村：＝0.42x＋1.80. 根據(jù)以上回歸直線(xiàn)方程，城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村三個(gè)組中，________的大學(xué)入學(xué)率增長(zhǎng)最快．按同樣的增長(zhǎng)速度，可預(yù)測(cè)2010年，農(nóng)村考入大學(xué)的百分比為_(kāi)_______%. [答案]　城市　10.2 [分析]　增長(zhǎng)速度可根據(jù)回歸直線(xiàn)的斜率來(lái)判斷，斜率大的增長(zhǎng)速度快，斜率小的增長(zhǎng)速度慢． [解析]　通過(guò)題目中所提供的回歸方程可判斷，城市的大學(xué)入學(xué)率增長(zhǎng)最快；2010年農(nóng)村考入大學(xué)的百分比為0.4220＋1.80＝10.2. 三、解答題 13．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷(xiāo)售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬(wàn)元) x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)從散點(diǎn)圖中判斷銷(xiāo)售金額與廣告費(fèi)支出成什么樣的關(guān)系？ [解析]　(1)以x對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，以y對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點(diǎn)圖如下圖所示： (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費(fèi)支出與銷(xiāo)售金額之間具有相關(guān)關(guān)系，并且當(dāng)廣告費(fèi)支出由小變大時(shí)，銷(xiāo)售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線(xiàn)的附近，即x與y成正相關(guān)關(guān)系． 14．某個(gè)服裝店經(jīng)營(yíng)某種服裝，在某周內(nèi)獲純利y(元)與該周每天銷(xiāo)售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系見(jiàn)表 x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知＝280，＝45209，iyi＝3487. (1)求，； (2)求回歸方程． [解析]　(1)＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6， ＝(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝. (2)＝＝， ∴＝－6＝， ∴所求回歸方程為＝x＋. 15．某工廠(chǎng)對(duì)某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)： 產(chǎn)量x(千件) 2 3 5 6 成本y(萬(wàn)元) 7 8 9 12 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)求成本y與產(chǎn)量x之間的線(xiàn)性回歸方程． [解析]　(1)散點(diǎn)圖如下： (2)設(shè)成本y與產(chǎn)量x的線(xiàn)性回歸方程為＝x＋， ＝＝4，＝＝9. ＝＝＝1.1， ＝－ ＝9－1.14＝4.6. 所以，回歸方程為＝1.1x＋4.6. 16．(2011安徽高考)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(萬(wàn)噸) 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線(xiàn)方程＝x＋a； (2)利用(1)中所求出的直線(xiàn)方程預(yù)測(cè)該地2012年的糧食需求量． [解析]　(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份這間是近似直線(xiàn)上升的，下面求回歸直線(xiàn)方程．為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)算理如下： 年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得 ＝0，＝3.2. ＝ ＝＝6.5， ＝－＝3.2. 由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線(xiàn)方程為 ＝6.5(x－2006)＋260.2.① (2)利用回歸直線(xiàn)方程①，可預(yù)測(cè)2012年的糧食需求量為 6．5(2012－2006)＋260.2＝6.56＋260.2＝299.2(萬(wàn)噸)≈300(噸)． 8