2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應用 文.doc
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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應用 文 求數(shù)列的通項 訓練提示: 求數(shù)列通項的常用方法有累加法、累積法、構(gòu)造等比數(shù)列法或已知Sn與an關(guān)系,求an或利用方程思想聯(lián)立方程組,求出基本量,得出an.解題時應注意各自的適用范圍及注意驗證n=1的情況. 1.(xx寧夏石嘴山高三聯(lián)考)已知各項都不相等的等差數(shù)列{an}的前7項和為70,且a3為a1和a7的等比中項. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{}的前n項和Tn. 解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), 則 解得 所以an=2n+2. (2)因為bn+1-bn=an, 所以bn-bn-1=an-1=2n(n≥2,n∈N*) bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1 =n(n+1). 所以==-, 所以Tn=1-+-+…+- =1-=. 2.(xx東北三校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解:(1)當n=1時a2=S1+2=4=2a1, 當n≥2時,?an+1=2an, 數(shù)列{an}滿足an+1=2an(n∈N*),且a1=2, 所以an=2n(n∈N*). (2)bn=nan=n2n Tn=121+222+323+…+(n-1)2n-1+n2n 2Tn=122+223+324+…+(n-1)2n+n2n+1 兩式相減,得 -Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n2n+1 -Tn=-n2n+1, Tn=2+(n-1)2n+1(n∈N*). 求數(shù)列的前n項和 訓練提示: 在數(shù)列求和的幾種常見方法中,一定要注意其各自的適用范圍,其中在裂項相消法中注意裂項后的恒等變形,在錯位相減法中注意相減后,哪些項構(gòu)成等比數(shù)列. 3.(xx甘肅二診)已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*). (1)求a2,a3,并證明{an-n}是等比數(shù)列; (2)設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)得 a2=4,a3=7. an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)], 因為=2(n≥2,n∈N*). 所以{an-n}是以2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)得an-n=(a1-1)2n-1. 即an=2n-1+n. 所以bn==1+. 設cn=,且前n項和為Tn, 所以Tn=+++…+① Tn=+++…+② ①-②得Tn=1+(+++…+)- =-=2-. 所以Tn=4-,Sn=n+4-. 4.(xx鄭州第二次質(zhì)量預測)已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),a1=1,且a3,a4+,a11成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項公式; (2)設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解:(1)設等差數(shù)列公差為d,由題意知d>0. 因為a3,a4+,a11成等比數(shù)列,所以(a4+)2=a3a11, 所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d), 即44d2-36d-45=0, 所以d=(d=-舍去), 所以an=. (2)bn== =(-). 所以Tn=(-+-+…+-) =. 數(shù)列的綜合問題 訓練提示: 解答數(shù)列綜合問題要善于用化歸思想把非等差、等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題,并結(jié)合函數(shù)與方程的思想方法分析、解決問題.數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分,先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式,然后再利用數(shù)列知識和方法 求解. 5.(xx鄭州第二次質(zhì)量預測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求使(n-8)bn≥nk對任意n∈N*恒成立的實數(shù)k的取值范圍. 解:(1)由Sn=2an-2可得a1=2, 因為Sn=2an-2, 所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即=2. 數(shù)列{an}是以a1=2為首項,公比為2的等比數(shù)列, 所以an=2n(n∈N*). (2)bn=log2a1+log2a2+…+log2an =1+2+3+…+n =. 由(n-8)bn≥nk對任意n∈N*恒成立, 即實數(shù)≥k對n∈N*恒成立; 設cn=(n-8)(n+1), 則當n=3或4時,cn取得最小值為-10,所以k≤-10. 【教師備用】 (xx陜西卷)設fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2. (1)求f′n(2); (2)證明:fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個零點(記為an),且0
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