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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題 理(III) 一．選擇題：共12小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)． 1．“至多有三個(gè)”的否定為（ ） A．至少有三個(gè) B．至少有四個(gè) C． 有三個(gè) D．有四個(gè) 2．如果命題“ ”是假命題，則下列說法正確的是(　　) A． 均為真命題 B．中至少有一個(gè)為真命題 C．均為假命題 D．至少有一個(gè)為假命題 3．“ ”是“ ”的（　　） A．充分而不必要條件　 B．必要而不充分條件　　 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 4．已知橢圓的焦點(diǎn)是，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長到，使得，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是( ) A．圓 B． 橢圓 C．雙曲線的一支 D． 拋物線 5．“” 是“方程 表示的曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（ ） A．充分而不必要條件　 B．必要而不充分條件　　 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 6．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段 的中點(diǎn)到軸的距離為(　　) A． B． C． D． 7．已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在的漸近線上，則的方程為(　　) A． B． 　　C． D． 8．若圓心在軸上，半徑為的圓位于軸左側(cè)，且被直線截得的弦長為，則圓的方程是(　　) A． B． C． D． 9．已知 ，則有(　　) A．最大值為 B．最小值為 C．最大值為 D．最小值為 10．在以為中心， 為焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)，滿足，則該橢圓的離心率為(　　) A． B． C． D． 11．已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為(　　) A．5 B．7 C．13 D．15 12．點(diǎn)在直線上，若存在過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且 ，則稱點(diǎn)為“ 點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是 （ ） A．直線 上的所有點(diǎn)都是“ 點(diǎn)” B．直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“ 點(diǎn)” C．直線 上的所有點(diǎn)都不是“ 點(diǎn)” D．直線 上有無窮多個(gè)點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“ 點(diǎn)” 二．填空題：本大題共四小題，每小題5分,共20分． 13．設(shè) 滿足約束條件，則的取值范圍為______. 14. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，則該雙曲線的漸近線方程為_________. 15．過焦點(diǎn)為的拋物線上一點(diǎn)向其準(zhǔn)線作垂線，垂足為，若，則 ． 16 . 若關(guān)于的不等式對(duì)任意在 上恒成立，則實(shí)常數(shù)的取值范圍是________． 三.解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17．(本小題滿分10分) 已知命題“”，命題“ ”．若命題“ ”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 18．(本小題滿分12分) 在中，, . （1）求的值； (2)設(shè) ，求的面積 19．(本小題滿分12分) 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn) 在坐標(biāo)軸上，離心率為 ，且過點(diǎn)．點(diǎn) 在雙曲線上． (1)求雙曲線方程； (2)求證：； (3)求 的面積． 20．(本小題滿分12分) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足． （1） 求的值； （2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式． B 第21題圖 x y O A Q P 21. (本小題滿分12分) 如圖, 直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與直線交于Q點(diǎn). (1) 求點(diǎn)Q的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方 (含A、B) 的動(dòng)點(diǎn)時(shí), 求面積的最大值. 22.（本小題滿分10分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)． 第22題圖 x O y B P E A （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為，連結(jié)點(diǎn)與原點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積； （2）是否存在點(diǎn) ，使得 為 定值？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出 該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 第18題 湛江一中xx第一學(xué)期第二次考試 高二級(jí)理科數(shù)學(xué)參考答案 一．選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。 1．B 2．B 3．A 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C 11．B 12．A 12．解:設(shè) ， 則 ，∵在上，∴ 消去,整理得關(guān)于的方程 （1） ∵ 恒成立， ∴方程（1）恒有實(shí)數(shù)解，∴應(yīng)選A. 第Ⅱ卷 二．填空題：本大題共四小題，每小題5分． 13．　　14．　　15．　　16． 16 .解：由題意得 ，，∴ 或 . 又，． 三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17．解： ， ……………………3分 ，則 ， 得 或 . ------------------6分 若“ ”是真命題，則是真命題且是真命題， ----8分 即或， 或 . 18.解：（1）由，且，∴，………2分 ∴， ……………………………3分 ∴， …………………………5分 又，∴ ……………………6分 （2）由正弦定理得 ……………………7分 ∴， …………………9分 又 …………………11分 ∴ ………12分 19.解：(1)∵ ， ………1分 ∴可設(shè)雙曲線方程為 ． ………………2分 ∵雙曲線過點(diǎn)，∴ ，即 …………3分 ∴雙曲線方程為 . ……………………4分 (2)由(1)可知，在雙曲線中 ，∴ ， ∴ ． ………………5分 ∴ ， ………………………6分 又∵點(diǎn) 在雙曲線上，∴ . ∴……………………7分 ∴ …………………8分 (3)由(2)知 ∴ 為直角三角形．又 ，， 或，由兩點(diǎn)間距離公式得 ， ， ………10分 ＝． 即的面積為6. ………………………12分 20．解：(1)當(dāng) ，由已知有 ……………………………3分 （2） 時(shí)有 ① ②……………4分 ①-②得： ③………………………5分 再向后類推一次 ④………………………6分 ③-④得： 則………………………8分 ……………………………………………10分 是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列…………11分 ……………………12分 21.解：(1) 解方程組 得或 -------2分 即, 從而AB的中點(diǎn)為. ------------------3分 由 ,直線AB的垂直平分線方程 令 , 得 -----------------4分 (2) 直線OQ的方程為 , 設(shè). -------------------5分 ∵點(diǎn)P到直線OQ的距離=, ----------7分 ,∴==. ---------------8分 ∵P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn), 且P不在直線OQ上, ∴或. ----------10分 ∵函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增, ∴當(dāng)時(shí),的面積取到最大值 . ------------------12分 第18題 22.解：（1）將代入，解得， --------------1分 因點(diǎn)在第一象限，從而，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為， 聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得， ------------------------2分 又過原點(diǎn)，于是，，所以直線的方程為 ，所以點(diǎn)到直線的距離， -------------------4分 ---------------------------------------5分 （2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，設(shè)， 當(dāng)直線與軸重合時(shí)，有 --------6分 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，， ------------7分 由，解得，， 所以若存在點(diǎn)，此時(shí)，為定值2． -----8分 根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮直線過點(diǎn)，設(shè)，， 又設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立方程組， 化簡得，所以，， ------------9分 又， 所以， ------------11分 將上述關(guān)系代入，化簡可得． 綜上所述，存在點(diǎn)，使得為定值2．-------12分