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第六章IIR DF 無限長數(shù)字濾波器 的設(shè)計(jì),濾波的目的 為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例 濾波技術(shù)包括: 濾波器設(shè)計(jì):根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)， 濾波過程的實(shí)現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達(dá)到對輸入信號的進(jìn)行濾波的目的,6.1 數(shù)字濾波的基本概念,數(shù)字濾波器 輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定的運(yùn)算關(guān)系，濾除輸入信號中某些頻率成分或改變輸入信號頻譜中各頻率分量的相對比例的器件 具有某種特定頻率特性的線性時(shí)不變系統(tǒng) 廣義上，任何線性時(shí)不變離散系統(tǒng)都是一個(gè)數(shù)字濾波器,數(shù)字濾波器的特點(diǎn) 精度高、穩(wěn)定、靈活 不要求阻抗匹配、實(shí)現(xiàn)特殊的濾波器 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的任務(wù) 尋求一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性,對因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)：,:濾波器的傳輸函數(shù),1、數(shù)字濾波器的分類： 經(jīng)典濾波器： 有用頻率與濾掉頻率占用不同頻帶 現(xiàn)代濾波器 維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器,經(jīng)典濾波器 A、DF按頻率特性分類 可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通， 其特點(diǎn)為： （1）頻率變量以數(shù)字頻率 表示， ， 為模擬角頻率，T為抽樣時(shí)間間隔； （2）以數(shù)字抽樣頻率 為周期； （3）頻率特性只限于 范圍，這 是因?yàn)橐廊佣ɡ恚瑢?shí)際頻率特性只能為抽樣頻率的 一半。,理想濾波器的頻率響應(yīng),B、DF按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分類 可分為無限長脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器； 有限長脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器,二、DF的性能要求（低通為例）,通帶 阻帶 過渡帶,三、DF頻響的三個(gè)參量 1、幅度平方響應(yīng) 2、相位響應(yīng),從信號不失真角度講通常要求 相位線性,具有群恒時(shí)延特性,相位響應(yīng),四、DF設(shè)計(jì)內(nèi)容 1、按任務(wù)要求確定Filter的性能指標(biāo)； 2、用IIR或FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求； 3、選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)； 4、用軟件還是用硬件實(shí)現(xiàn)。,五、IIR數(shù)字filter的設(shè)計(jì)方法 1、借助模擬filter的設(shè)計(jì)方法 （1）將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AF的技術(shù)指標(biāo)； （2）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通filter的 ； （3）將 （4）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通 AF的技術(shù)指標(biāo)。 2、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法（最優(yōu)化設(shè)計(jì)法） 先確定一個(gè)最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則， 最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下 ， 確定系 統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。,6.2 模擬濾波器設(shè)計(jì),IIR濾波器的設(shè)計(jì)是基于模擬濾波器的成熟技術(shù)而完成的 簡單介紹模擬濾波器設(shè)計(jì)的一些基本概念，并介紹兩種常用的濾波器的設(shè)計(jì)方法 ： 巴特沃思(Butterworth)濾波器 切比雪夫(Chebyshev)濾波器,6．2．1模擬濾波器設(shè)計(jì)的基本概念,1 . 模擬濾波器的頻率特性與衰減特性,濾波器的頻率特性主要取決于構(gòu)成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),工程設(shè)計(jì)中給定的指標(biāo)往往是通帶和阻帶的衰減，它一般用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來定義,當(dāng)要求濾波器具有線性相位特性（延時(shí)τ為常數(shù)）時(shí)濾波器的頻率特性為,2. 歸一化與頻率變換,采用歸一化參數(shù) 設(shè)計(jì)結(jié)果具有普遍性 計(jì)算方便 歸一化包含： 電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無源元件的阻抗或運(yùn)算阻抗分別除以基準(zhǔn)電阻(系統(tǒng)的負(fù)載電阻值)。 頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準(zhǔn)頻率（濾波器的截止頻率） 計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時(shí)應(yīng)要將歸一化頻率乘以截止頻率，進(jìn)行反歸一化 頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法,3 . 從模方函數(shù) 求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s),當(dāng)不含有源器件，作為一個(gè)因果穩(wěn)定、物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)必須滿足的條件,a、是一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的s有理函數(shù),b、所有極點(diǎn)必須全部分布在s的左半平面內(nèi),c、分子多項(xiàng)式式N(s)的階次必須小于或等于分母多項(xiàng)式D(s)的階次,——正實(shí)函數(shù),實(shí)函數(shù)的傅立葉變換存在共軛對稱的性質(zhì),有,從給定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的方法,a、解析延拓,令s= 代入模方函數(shù)得到 , 并求其零極點(diǎn),b、取 所有在左半平面的極點(diǎn)作為 的極點(diǎn),c、按需要的相位條件(最小相位,混合相位等)取 一半的零點(diǎn)構(gòu)成 的零點(diǎn),4． 模擬濾波器的設(shè)計(jì)-逼近問題,：與通帶衰減、阻帶衰減有關(guān)的系數(shù),尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性——謂逼近問題 最常用的具有優(yōu)良性能的濾波器： 巴特沃思(Butterworth)濾波器 切比雪夫(Chebyshev)濾波器 橢圓(elliptic)函數(shù)或考爾（Cauer）濾波器 實(shí)現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器,6．2．2巴特沃思Butterworth低通濾波器,1．基本性質(zhì),BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù),BW的低通模平方函數(shù)表示,指定 、 后，帶 到上式，得,指定 、 后，帶 到上式，得,用3dB截止頻率 來規(guī)一化：對頻率進(jìn)行 ，下式變?yōu)?討論：,當(dāng) =0 時(shí)， =1 ,取最大值,當(dāng) 時(shí)， =0.5,取3dB值,阻帶內(nèi)，由于,或,幅度隨著 N的增加阻帶衰減近似為6N db/倍頻程。 N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性,上式的臺勞級數(shù)展開為 ：,=0處函數(shù)對2N—l階導(dǎo)數(shù)都等于零——曲線在 =0附近是最 “平坦”,——巴特沃思濾波器又叫做“最大平坦濾波器”,歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性,,2．設(shè)計(jì)過程,(a)按給定指標(biāo)確定階次N,實(shí)際計(jì)算時(shí)，要對上式求得的數(shù)值取整加1。,若給定的指標(biāo) =3dB, 即通帶邊頻 時(shí), ε=1,可求得,(b)從模方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(s),①求得極點(diǎn),分析討論,,在歸一化頻率的情況 =1，極點(diǎn)均勻分布在單位圓上,,對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng),它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在 s的左半平面上,②系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成,濾波器的極點(diǎn)求出后，可取左平面上的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù),對于低通濾波器，為了保證在頻率零點(diǎn) =0處， =1，可取,因此得,例6-2-1舉例說明系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成,設(shè)計(jì)一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標(biāo): 通帶邊頻 =100k rad/s, 通帶的最大衰減為 =3dB，阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dB,解:由于通帶邊頻就是3dB 截止頻率，即,確定階次N,求左半平面的極點(diǎn):,得極點(diǎn)：,構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)H(s)為,相對截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù),③一般N階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) 表示,是 =1時(shí)的極點(diǎn)，分布在單位圓上,分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過查表求得,見表5-2-1,表6-2-1 巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù),表6-2-2 巴特沃思多項(xiàng)式因式分解,上述歸一化公式和表格是相對3dB 截止頻率 給出的。由指定的技術(shù)指標(biāo) 利用上述公式和表格進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，最關(guān)鍵的2個(gè)參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù)N和3dB 截止頻率 。 N用來求巴特沃思多項(xiàng)式， 用來反歸一化，求實(shí)際濾波器的參數(shù)。,設(shè)計(jì)舉例二（巴特沃斯filter） 1、技術(shù)指標(biāo) 2、計(jì)算所需的階數(shù)及3dB截止頻率 將技術(shù)指標(biāo)，代入上式，可得,解上述兩式得：,因此，,取N=6，則,3、 的求得 查表，可得N=6時(shí)的歸一化原型模擬巴特 沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)為,將S用 代入，可得,6．2．3 切比雪夫?yàn)V波器,自學(xué), 6-3模擬濾波器頻率轉(zhuǎn)換 A、高通濾波器的設(shè)計(jì) 變換關(guān)系：,B、設(shè)計(jì)步驟 1、高通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 歸一化頻率指標(biāo),2、轉(zhuǎn)換為低通濾波器的歸一化技術(shù)指標(biāo),3、求歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),4、求高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),B、帶通濾波器的設(shè)計(jì) 技術(shù)指標(biāo)：,歸一化頻率是對B進(jìn)行歸一化 歸一化頻率技術(shù)指標(biāo)：,變換關(guān)系：,B、設(shè)計(jì)步驟 1、帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 歸一化頻率指標(biāo),2、轉(zhuǎn)換為低通濾波器的歸一化技術(shù)指標(biāo),3、求歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),4、求帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),C、帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 技術(shù)指標(biāo)：,歸一化頻率是對B進(jìn)行歸一化 歸一化頻率技術(shù)指標(biāo)：,變換關(guān)系：,B、設(shè)計(jì)步驟 1、帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo) 歸一化頻率指標(biāo),2、轉(zhuǎn)換為低通濾波器的歸一化技術(shù)指標(biāo),3、求歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),4、求帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),6-4 沖激響應(yīng)不變法 AF設(shè)計(jì)完畢以后，還應(yīng)將 變換成H（Z）， 也就是將S平面映射到Z平面。。,變換關(guān)系的基本要求： 1、因果穩(wěn)定的AF轉(zhuǎn)換為DF，也是因果穩(wěn)定； S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)部 2、DF的頻率響應(yīng)模仿AF的頻率響應(yīng)， S平面平面 的虛軸映射到Z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間 成線性關(guān)系。,通常有三種方法： （1）沖激響應(yīng)不變法； （2）階躍響應(yīng)不變法； （3）雙線性變換法。 我們這里只討論沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法,設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法,1．設(shè)計(jì)的基本原理和方法 原理：從時(shí)域響應(yīng)出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)的抽樣值。,如果：,則可有下式求的H（z）：,AF的數(shù)字化方法 A、一般方法 。先 ，再對 抽樣，使 ，最后 H（Z）=Z[h（n）]，一 般說來過程復(fù)雜。 B、方法的簡化 設(shè) 只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于分 子的階次， 可展成如下的部分公式,因此，,如果模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是穩(wěn)定的，其極點(diǎn)應(yīng)位于左半平面,對Z平面的極點(diǎn)有,位于單位園內(nèi)。因此H(z)是一個(gè)穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)，這說明由一個(gè)穩(wěn)定的模擬濾波器得到了一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)字濾波器,映射關(guān)系,脈沖響應(yīng)不變法的映射過程,2．脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng),根據(jù)抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓,原模擬濾波器的頻率響應(yīng)為 ，,由于h(n)是h(t)的等間隔抽樣,如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限于折疊頻率之內(nèi)，即,這樣數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能等于模擬濾波器的頻率響應(yīng),然而，高通和帶阻濾波器不能滿足(-2-)式的要求，將會產(chǎn)生混疊 脈沖響應(yīng)不變法不適合用來設(shè)計(jì)高通和帶阻數(shù)字濾波器。,3、幾點(diǎn)結(jié)論 （1）S平面的單極點(diǎn) 變?yōu)閆平面單極點(diǎn) 就可求得H（Z）。 （2） 與H（Z）的系數(shù)相同，均為 （3）AF是穩(wěn)定的，DF也是穩(wěn)定的。 （4）S平面的極點(diǎn)與Z平面的極點(diǎn)一一對應(yīng)，但兩 平面并不一一對應(yīng)。 例如，零點(diǎn)就沒有這種對應(yīng)關(guān)系。,4．修正,消去T的影響,由上式可見，數(shù)字頻率響應(yīng)與模擬頻率響應(yīng)的第一差別是具有一個(gè)乘法因子(1/T)= fS，當(dāng)采樣頻率fS很高時(shí)，將會使濾波器的增益很大，這往往是不希望的，為此可對下式作修正：,[例6-3] AF的系統(tǒng)函數(shù)為 試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIRDF，T=1 解： 設(shè)T=1，,6-5 雙線性變換法,,脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)： 對時(shí)域的采樣會造成頻域的混疊效應(yīng)，因而有可能使設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)與原來模擬濾波器的頻域響應(yīng)相差很大，而且不能用來設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器 原因：從S平面到Z平面的映射是多值的映射關(guān)系,雙線性變換的映射過程,脈沖響應(yīng)不變法的映射過程,雙線性變換法的改進(jìn),為避免頻域的混疊，分兩步完成S平面到Z平面的映射,將S平面壓縮到某一中介的S1平面的一條橫帶域,通過標(biāo)準(zhǔn)的變換將此橫帶域映射到整個(gè)Z平面上去，,實(shí)現(xiàn)方法：,再通過Z變換，將Ω1映射到Z平面的單位圓上,通過下面的正切變換， 將S平面的jΩ軸壓縮到S1平面的jΩ1軸上的,將正切變換延拓到整個(gè)S平面，得到S平面到S1平面的映射關(guān)系,再將S1平面按關(guān)系式 映射到Z平面得到,雙線性變換,或,雙線性變換的映射關(guān)系滿足 關(guān)于映射關(guān)系可行性的兩個(gè)條件,（1）S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上； （2）位于S左半平面的極點(diǎn)應(yīng)映射到Z平面的單位圓內(nèi)。,帶入表達(dá)式,得：,說明S平面的虛軸 映射成了Z平面的單位圓,,得：,,,顯然當(dāng) 時(shí)， 1，,S平面的左半平面軸映射到了Z平面的單位圓內(nèi)，保證系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)映射后穩(wěn)定性不變,雙線性變換的頻率對應(yīng)關(guān)系,模擬頻率與數(shù)字頻率是一種非線性的關(guān)系,模擬濾波器與數(shù)字濾波器的響應(yīng)與對應(yīng)的頻率關(guān)系上發(fā)生了畸變，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點(diǎn),雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設(shè)計(jì)外，仍然是應(yīng)用最為廣泛的設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法。,在?上刻度為均勻的頻率點(diǎn)映射到?上時(shí)變成了非均勻的點(diǎn)，而且隨頻率增加越來越密,2．頻率預(yù)畸變,為了保證各邊界頻率點(diǎn)為預(yù)先指定的頻率，在確定模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)之前必須按下式進(jìn)行所謂頻率預(yù)畸變,3、雙線性變換的特點(diǎn),a。S平面的虛軸（ ）映射到Z平面的單位圓上。,b。穩(wěn)定的AF，經(jīng)雙線性變換后所得DF也一定是穩(wěn)定的，這是,因?yàn)榉€(wěn)定的AF，其極點(diǎn)必全部位于S的左半平面上，經(jīng)雙線性變 換后，這些極點(diǎn)全部落在單位圓內(nèi)。,c。其突出的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻響的混疊失真。,變換關(guān)系近似于線性，隨著 的增加， 表現(xiàn)出嚴(yán)重 非線性 。因此， DF的幅頻響應(yīng) 相對于AF的幅頻響應(yīng)會產(chǎn)生畸變。只有能容忍或補(bǔ)償 這種失真時(shí)，雙線性變換法才是實(shí)用的。,d.頻率的非線性失真,從 的關(guān)系曲線可以看出，在零頻附近， 與 之間的,4、 設(shè)計(jì)方法,1。直接代入法,2.間接代入法,先將 AF的系統(tǒng)函數(shù)分解成級聯(lián)或并聯(lián)形式，然后在對每一個(gè)子,系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行雙線性變換。,例如,并聯(lián)形式與上述類似,3。表格法,由于代入法 在應(yīng)用時(shí)可能比較麻煩，因此如果能預(yù)先求出AF 與DF的系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)問題則變成查表，簡單易行。,例：利用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器,設(shè)計(jì)參數(shù)：通帶數(shù)字截止率 ，通帶內(nèi)最大衰減,阻帶數(shù)字截止率 ，阻帶內(nèi)最小衰減,解 第一步 進(jìn)行頻率預(yù)畸變求,第二步 計(jì)算巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器的階數(shù),取N=3,第三步 通過查表求得3階巴特沃斯低通濾波器原型的系統(tǒng)函數(shù),第四步 求3dB截止頻率 ，并反歸一化求得,解得： ，反歸一化求 得,第五步 求得H(z)代入雙線性變換公式，化簡后求得,,,,也可按下式將第三步與第四步可合并在一起進(jìn)行，求出H(z),設(shè)計(jì)濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng),6-6 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì),,設(shè)計(jì)思想：,例 設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃斯型高通數(shù)字濾波器，3dB數(shù)字截頻為0.2π弧度，求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。,解 三階巴特沃斯型歸一化模擬低通原型的系統(tǒng)函數(shù)為,頻率預(yù)畸變,得到數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,放映結(jié)束,