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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 專題突破訓練 圓錐曲線 文 一、選擇、填空題 1、（xx高考）拋物線上的動點到焦點的距離的最小值為1，則 . 2、（xx高考）拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準線方程為 ． 3、（xx高考）.設AB是橢圓的長軸，點C在上，且.若AB=4，BC=，則的兩個焦點之間的距離為 . 4、（奉賢區(qū)xx高三二模）以拋物線的焦點為圓心，與拋物線的準線相切的圓的標準方程為__________． 5、（虹口區(qū)xx高三二模）已知拋物線的焦點在圓上，則________ 6、（黃浦區(qū)xx高三二模）已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則雙曲線的漸近線方程是 7、（靜安、青浦、寶山區(qū)xx高三二模）已知拋物線的準線方程是，則 ． 8、（浦東新區(qū)xx高三二模）若直線與圓沒有公共點，設點的坐標，則過點的一條直線與橢圓的公共點的個數(shù)為 ( C ) 0 1 2 1或2 9、（普陀區(qū)xx高三一模）若方程+=1表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是?。ī?，2）∪（3，+∞）?。? 10、（閘北區(qū)xx高三一模）關于曲線C：=1，給出下列四個結論： ①曲線C是橢圓； ②關于坐標原點中心對稱； ③關于直線y=x軸對稱； ④所圍成封閉圖形面積小于8． 則其中正確結論的序號是?、冖堋。ㄗⅲ喊涯阏J為正確命題的序號都填上） 11、（長寧、嘉定區(qū)xx高三二模）拋物線的焦點到準線的距離是_____________ 12、（崇明縣xx高三一模）已知雙曲線的一條漸近線的法向量是，那么　　　　　　　 13、已知橢圓內(nèi)有兩點為橢圓上一點,則的最大值為_______. 14、若雙曲線:的焦距為,點在的漸近線上,則的方程為_________. 15、若雙曲線的漸近線方程為,它的一個焦點是,則雙曲線的標準方程是_____. 二、解答題 1、（xx高考）已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，設的面積為. （1）設，，用、的坐標表示點到直線的距離，并證明； （2）設，，，求的值； （3）設與的斜率之積為，求的值，使得無論與如何變動，面積保持不變. 2、（xx高考）在平面直角坐標系中，對于直線和點，記 ．若，則稱點被直線分隔．若曲線與直線沒有公共點，且曲線上存在點被直線分隔，則稱直線為曲線的一條分隔線． （1）求證；點被直線分隔； （2）若直線是曲線的分隔線，求實數(shù)的取值范圍； （3）動點到點的距離與到軸的距離之積為1，設點的軌跡為曲線．求的方程，并證明軸為曲線的分隔線． 3、（xx高考）如圖，已知雙曲線C1:，曲線C2:.P是平面內(nèi)一點.若存在過點P的直線與C1、C2都有共同點，則稱P為“C1-C2型點”. （1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）； （2）設直線y=kx與C2有公共點，求證＞1，進而證明圓點不是“C1-C2型點”； （3）求證：圓內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”. 4、（奉賢區(qū)xx高三二模）平面直角坐標系中，點、，平面內(nèi)任意一點滿足：直線的斜率，直線的斜率，，點的軌跡為曲線．雙曲線以曲線的上下兩頂點為頂點，是雙曲線上不同于頂點的任意一點，直線的斜率，直線的斜率． （1）求曲線的方程；(5分) （2）(文)如果，求雙曲線的焦距的取值范圍．(9分) 5、（虹口區(qū)xx高三二模）已知圓：，點(1, 0)，點在圓上運動， 的垂直平分線交于點. (1) 求動點的軌跡的方程； (2) 設分別是曲線上的兩個不同點，且點 在第一象限，點在第三象限，若, 為坐標原點，求直線的斜率； (3)過點的動直線交曲線于兩點， 求證：以為直徑的圓恒過定點 6、（黃浦區(qū)xx高三二模）已知點，平面直角坐標系上的一個動點滿足．設動點的軌跡為曲線． (1)求曲線的軌跡方程； (2)點是曲線上的任意一點，為圓的任意一條直徑，求的取值范圍； (3)（理科）已知點是曲線上的兩個動點，若(是坐標原點)，試證明：直線與某個定圓恒相切，并寫出定圓的方程． （文科）已知點是曲線上的兩個動點，若(是坐標原點)，試證明：原點到直線的距離是定值． 7、（靜安、青浦、寶山區(qū)xx高三二模）在平面直角坐標系中，已知橢圓的方程為，設是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線，是上與不重合的點． （1）求以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程； （2）若，當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程； （3） 記是與橢圓的交點，若直線的方程為，當△的面積為時，求直線的方程． 8、（浦東新區(qū)xx高三二模）已知直線與圓錐曲線相交于兩點，與軸、軸分別交于、兩點，且滿足、. （1）已知直線的方程為，拋物線的方程為，求的值； （2）已知直線：（），橢圓：，求的取值范圍； （3）已知雙曲線：，，求點的坐標. 9、（普陀區(qū)xx高三一模）已知P是橢圓+=1上的一點，求P到M（m，0）（m＞0）的距離的最小值． 10、（閘北區(qū)xx高三一模）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，橢圓C過點且與拋物線y2=﹣8x有一個公共的焦點． （1）求橢圓C方程； （2）直線l過橢圓C的右焦點F2且斜率為1與橢圓C交于A，B兩點，求弦AB的長； （3）以第（2）題中的AB為邊作一個等邊三角形ABP，求點P的坐標． 11、（長寧、嘉定區(qū)xx高三二模）已知橢圓（）的焦距為，且橢圓的短軸的一個端點與左、右焦點、構成等邊三角形． （1）求橢圓的標準方程； （2）設為橢圓上上任意一點，求的最大值與最小值； （3）試問在軸上是否存在一點，使得對于橢圓上任意一點，到的距離與到直線的距離之比為定值．若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由． 12、（崇明縣xx高三一模）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓的兩焦點與橢圓短軸的一個端點構成等邊三角形，右焦點到右頂點的距離為1． （1）求橢圓的標準方程； （2）是否存在與橢圓交于兩點的直線， 使得成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在， 請說明理由. 13、已知拋物線:,直線交此拋物線于不同的兩個點、. (1)當直線過點時,證明為定值; (2)當時,直線是否過定點?若過定點,求出定點坐標;若不過定點,請說明理由; (3)記,如果直線過點,設線段的中點為,線段的中點為.問是否存在一條直線和一個定點,使得點到它們的距離相等?若存在,求出這條直線和這個定點;若不存在,請說明理由. 14、動圓過定點,且與直線相切. 設圓心的軌跡方程為 (1)求; (2)曲線上一定點,方向向量的直線(不過P點)與曲線交與A、B兩點,設直線PA、PB斜率分別為,,計算; (3)曲線上的一個定點,過點作傾斜角互補的兩條直線分別與曲線交于兩點,求證直線的斜率為定值; 15、如圖,已知點,直線:,為平面上的動點,過點作的垂線,垂足為點,且. (1)求動點的軌跡的方程; (2)(文)過軌跡的準線與軸的交點作方向向量為的直線與軌跡交于不同兩點、,問是否存在實數(shù)使得?若存在,求出的范圍;若不存在,請說明理由; (3)(文)在問題(2)中,設線段的垂直平分線與軸的交點為,求的取值范圍. 參考答案 一、選擇、填空題 1、【答案】2 D B A C 【解析】依題意，點為坐標原點，所以，即. 2、解答：知拋物線的焦點坐標為，則其準線方程為： 3、【答案】 【解析】 如右圖所示。 4、　　　5、6　　6、　　　 7、4 8、C 9、解答： 解：∵程+=1表示雙曲線， ∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0， 解得k＞3或﹣2＜k＜2， ∴實數(shù)k的取值范圍是（﹣2，2）∪（3，+∞）． 故答案為：（﹣2，2）∪（3，+∞）． 10、解答： 解：對于①，∵曲線C：=1，不是橢圓方程，∴曲線C不是橢圓，∴①錯誤； 對于②，把曲線C中的（x，y ）同時換成（﹣x，﹣y ），方程不變，∴曲線C關于原點對稱，②正確； 對于③，把曲線C中的（x，y ）同時換成（y，x ），方程變?yōu)?x4=1，∴曲線C不關于直線y=x對稱，③錯誤； 對于④，∵|x|≤2，|y|≤1，∴曲線C：=1所圍成的封閉面積小于42=8，∴④正確． 綜上，正確的命題是②④． 故答案為：②④． 11、4 12、 13、 ; 14、 15、; 二、解答題 1、【答案】（1）詳見解析；（2）或；（3）. 由（1）得 由題意知， 解得或. （3）設，則，設，， 由，的， 同理， 由（1）知， ， 整理得， 由題意知與無關， 則，解得. 所以. 2、解答： （1）證明：因為，所以點被直線分隔． （2）解：直線與曲線沒有公共點的充要條件是方程組無解，即．當時，對于直線，曲線上的點和滿足，即點和被分隔．故實數(shù)的取值范圍是． （3）證明：設的坐標為，則曲線的方程為． 對任意的，不是上述方程的解，即軸與曲線沒有公共點． 又曲線上的點和對于軸滿足，即點和被軸分隔．所以軸為曲線的分隔線． 3、【答案】 （1） 【解析】 （1） 顯然，由雙曲線的幾何圖像性質可知，過.從曲線圖像上取點P(0,1),則直線。這時直線方程為 （2） 先證明“若直線y=kx與有公共點，則＞1”. 雙曲線 . . 所以直線y=kx與有公共點，則＞1 . （證畢） 。 所以原點不是“C1-C2型點”；（完） （3）設直線過圓內(nèi)一點，則直線斜率不存在時與曲線無交點。 設直線方程為：y = kx + m，則： 假設直線與曲線相交上方，則 4、（1） 5分 （2）設雙曲線方程為 6分 在雙曲線上，所以 8分 9分 10分 （理）雙曲線漸近線的方程 11分 設傾斜角為，則 或者 12分 所以一條漸近線的傾斜角的取值范圍是 13分 另一條漸近線的傾斜角的取值范圍是 14分 （文）焦距是 12分 14分 5、解：(1) 因為的垂直平分線交于點. 所以，從而 所以，動點的軌跡是以點為焦點的橢圓. ……3分 設橢圓的方程為，則，， 故動點的軌跡的方程為 ……5分 (2) 設，則 ① 因為，則 ② 由①、② 解得 ……8分 所以直線的斜率 . ……10分 (3)設直線的方程為則由，得 由題意知，點在橢圓的內(nèi)部，所以直線與橢圓必有兩個交點，設 ，則 ……12分 假設在軸上存在定點滿足題設，則 因為以為直徑的圓恒過點, 所以即 ……14分 因為故可化為 由于對于任意的,恒成立，故 解得 . 因此，在軸上存在滿足條件的定點，點的坐標為. …… 16分 6、解(1)依據(jù)題意，動點滿足. 又， 因此，動點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，且． 所以，所求曲線的軌跡方程是． (2) 設是曲線上任一點．依據(jù)題意，可得． 是直徑， ．又， 　　　　＝． 　由，可得，即． 　?。? 　　的取值范圍是． (另解：結合橢圓和圓的位置關系，有(當且僅當共線時，等號成立)，于是有．) (3)證明　設原點到直線的距離為，且是曲線上滿足的兩個動點． 若點在坐標軸上，則點也在坐標軸上，有，即． 若點不在坐標軸上，可設． 由 得 設點，同理可得， 于是，，， ． 利用，得． 綜合可知，總有，即原點到直線的距離為定值． (方法二：根據(jù)曲線關于原點和坐標軸都對稱的特點，以及，求出的一組坐標，再用點到直線的距離公式求解，也可以得出結論) 7、解：（1）橢圓一個焦點和頂點分別為，………………………1分 所以在雙曲線中，，，， 因而雙曲線方程為．……………………………………………………4分 （2）設，，則由題設知：，． 即………………………………………………………………5分 解得……………………………………………………………………7分 因為點在橢圓C上，所以，即…， 亦即．所以點M的軌跡方程為．…………………9分 （3）（文）因為AB所在直線方程為． 解方程組 得，， 所以，. 又 解得，，所以．………… 11分 由于……………14分 解得即 又，所以直線方程為或………………………………… 16分 8、解：（1）將，代入，求得點，， 又因為，，……………………………………………………2分 由 得到，，， 同理由得，.所以=.………………………4分 （2）聯(lián)立方程組： 得， ，又點， 由 得到，， 同理由 得到，， =，即，…6分 , ………………………………8分 因為，所以點在橢圓上位于第三象限的部分上運動，由分點的性質可知 ，所以.………………………………10分 （3）直線的方程為，代入方程 得到:. , (1) 而由、得到： (2) (3) …………………………………………………………………12分 由（1）（2）（3）得到：，， 所以點，………………………………………………………………14分 當直線與軸重合時，，或者，， 都有也滿足要求， 所以在軸上存在定點.……………………………………………16分 9、考點： 橢圓的簡單性質． 專題： 函數(shù)的性質及應用；圓錐曲線的定義、性質與方程． 分析： 設P（x，y），則，所以，﹣2≤x≤2，所以得到|PM|=，二次函數(shù)的對稱軸為x=2m，所以討論2m和區(qū)間[﹣2，2]的關系，根據(jù)二次函數(shù)的頂點及在區(qū)間[﹣2，2]上的單調(diào)性即可求出該二次函數(shù)的最小值，從而求出|PM|的最小值． 解答： 解：設P（x，y），則x，y滿足：； ∴； ∴|PM|====； ∴①若0＜2m＜2，即0＜m＜1時，x=2m時，函數(shù)取最小值2﹣m2； ∴此時|PM|的最小值為； ②若2m≥2，即m≥1時，二次函數(shù)在[﹣2，2]上單調(diào)遞減； ∴x=2時，函數(shù)取最小值（m﹣2）2； ∴此時|PM|的最小值為|m﹣2|． 10、解答： 解：（1）由題意得 F1（﹣2，0），c=2…（2分） 又， 得a4﹣8a2+12=0，解得a2=6或a2=2（舍去），…（2分） 則b2=2，…（1分） 故橢圓方程為．…（1分） （2）直線l的方程為y=x﹣2．…（1分） 聯(lián)立方程組，消去y并整理得2x2﹣6x+3=0．…（3分） 設A（x1，y1），B（x2，y2）． 故x1+x2=3，．…（1分） 則|AB|=|x1﹣x2|==．…（2分） （3）設AB的中點為M（x0，y0）． ∵x1+x2=3=2x0，∴，…（1分） ∵y0=x0﹣2，∴．…（1分） 線段AB的中垂線l1斜率為﹣1，所以l1：y=﹣x+1 設P（t，1﹣t）…（1分） 所以．…（1分） 當△ABP為正三角形時，|MP|=|AB|， 得，解得t=0或3．…（2分） 即P（0，1），或P（3，﹣2）．…（1分） 11、（1）已知，，， ……………………（2分） 所以， ……………………………………（3分） 所以橢圓的標準方程為． ……………………（4分） （2），，設，則，，（）， ……………………（2分） 因為，所以，，…（4分） 由，得的最大值為，最小值為． …………………………（6分） （3）假設存在點，設，到的距離與到直線的距離之比為定值，則有， ………………………………………………（1分） 整理得， ……………………………………（2分） 由，得對任意的都成立． ………………………………………………………………（3分） 令， 則由得 ① 由得 ② 由，得 ③ 由①②③解得得，． …………………………（5分） 所以，存在滿足條件的點，的坐標為． ………………………（6分） 12、解（1）設橢圓C的方程為，半焦距為， 則 解得： 所以，，橢圓方程為 （2）解：存在直線，使得成立。 由得 由得。 設，則 由得， 所以 化簡得 所以 由得， 因此， 13、解:(1)過點與拋物線有兩個交點,可知其斜率一定存在,設,其中(若時不合題意),由得, 注:本題可設,以下同. (2)當直線的斜率存在時,設,其中(若時不合題意). 由得. ,從而 假設直線過定點,則,從而,得,即,即過定點 當直線的斜率不存在,設,代入得,,,從而,即,也過. 綜上所述,當時,直線過定點 (3)依題意直線的斜率存在且不為零,由(1)得點的縱坐標為,代入得,即 設,則消得 由拋物線的定義知存在直線,點,點到它們的距離相等 14、(1)過點作直線的垂線,垂足為,由題意知:, 即動點到定點與定直線的距離相等, 由拋物線的定義知,點的軌跡為拋物線 其中為焦點,為準線,所以軌跡方程為; (2)證明:設 A()、B() 由題得直線的斜率 過不過點P的直線方程為 由得 則. == ==0 (3)設, == (***) 設的直線方程為 由 , 則 15分 同理,得 代入(***)計算得: 15、(文)(1)設,由題意,,,, ,, 由,得, 化簡得.所以,動點的軌跡的方程為 (2)軌跡為拋物線,準線方程為,即直線,所以, 當時,直線的方程為,與曲線只有一個公共點,故 所以直線的方程為,由 得,由△,得 設,,則,, 所以,, 若,則,即, ,, 解得.所以 (3)由(2),得線段的中點為,線段的垂直平分線的一個法向量為,所以線段的垂直平分線的方程為, 令,, 因為,所以. 所以的取值范圍是