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1、 電子技術(shù)課程設(shè)計 -巴特沃思帶通濾波器的設(shè)計 專業(yè)年級： 姓 名： 學(xué) 號： 指導(dǎo)教師： 日 期： 巴特沃思帶通濾波器的設(shè)計 一、 選題依據(jù) 數(shù)字濾波器一詞出現(xiàn)在60年代中期。由于電子計算機技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計算機軟件實現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實時實現(xiàn)。

2、 在現(xiàn)代電信設(shè)備和各類控制系統(tǒng)中，濾波器應(yīng)用非常廣泛；隨著信息通信技術(shù)的發(fā)展，信號處理已經(jīng)發(fā)展成為一門獨立的學(xué)科并成為信息科學(xué)的重要組成部分，在語音處理，圖像處理，雷達，航空航天，地質(zhì)勘探，通信等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。濾波器作為一個十分重要的部件，無論是在普通的電子線路中，還是高端的通信電子線路中，都發(fā)揮著極其重要的作用。 數(shù)字濾波器與模擬濾波器相比，它具有精度高、穩(wěn)定性好、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能等優(yōu)點。雙線性變換法目前是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)

3、要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。 根據(jù)所學(xué)的數(shù)字信號處理教程，設(shè)計一個基于雙線性變換法的數(shù)字巴特沃斯帶通濾波器。 二、設(shè)計要求及技術(shù)指標(biāo) 1.設(shè)計要求：設(shè)計一個數(shù)字巴特沃思帶通濾波器，其中通帶衰減：，；阻帶衰減：, ,；最后要求用雙線性變換法進行設(shè)計，并且用巴特沃思濾波器逼近法，求濾波器的系統(tǒng)的函數(shù)H（z）的表達式。 2.技術(shù)指標(biāo)： （1）通帶最大衰減：； 阻帶最小衰減：。 （2）通帶截止頻率：； 阻帶截止頻率：。 三、設(shè)計

4、原理 1.數(shù)字濾波器介紹 數(shù)字濾波器由數(shù)字乘法器、加法器和延時單元組成的一種算法或裝置。數(shù)字濾波器的功能是對輸入離散信號的數(shù)字代碼進行運算處理，以達到改變信號頻譜的目的。 數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應(yīng)用最廣的是線性、時不變數(shù)字濾波器。 2.設(shè)計原理 a： 雙線性變換法的原理 為了克服脈沖響應(yīng)不變法所存在的缺點，提出采用雙線性變換法。該法的基本思想是首先按給定的指標(biāo)設(shè)計一個模擬濾波器，其次將這個模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H (s)，通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換方法把無限寬的頻帶，變換成頻帶受限的系統(tǒng)函數(shù)

5、H (s~)。最后再將H (s~)進行常規(guī)z變換，求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H (z)。這樣由于在數(shù)字化以前已經(jīng)對頻帶進行了壓縮，所以數(shù)字化以后的頻響可以做到無混疊效應(yīng)。顯然，這里尋找壓縮頻帶而又能滿足上述映射條件的變換式是個關(guān)鍵。 上圖 雙線性變換法的映射關(guān)系 設(shè)將s平面映射到s~平面存在下列的關(guān)系式 （8.5） 式中s ~= σ~ + jω~，C為變換常數(shù)，在式的右邊是以ω~表示的周期函數(shù)，其周期為2π / T。如果考慮頻率特性則分別以s = jω， s~ = jω~代入式（8.5）故得： (8.6) 現(xiàn)以ω為縱坐標(biāo)，Ω~=ω~T為橫坐標(biāo)，則模擬與數(shù)字頻率變量間的關(guān)系將如圖8

6、.1所示。結(jié)合式（8.5）不難看出；s的左半平面與s~的左半平面相對應(yīng)；s的右半平面與s~的右半平面相對應(yīng)；s平面的虛軸與s~平面的虛軸相對應(yīng)。它們之間主要的區(qū)別在于s平面-∞<ω<∞的無限頻率范圍，被映射到s~平面的主值范圍內(nèi),即： 也就是說，通過變換式（8.5），把整個 s平面映射到s~平面以+-ωs/2為邊界的水平窄區(qū)內(nèi)。這避免數(shù)字化后可能出現(xiàn)的頻譜混疊提供了必要條件。 為了求出數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，最后還得通過常規(guī)z變換將s~平面變換到z平面上來，其關(guān)系式為： (8.7) 顯見，這時在s~左半平面的窄區(qū)就被映射到z平面的單位圓內(nèi)?，F(xiàn)將式（8.7）代入式(8.5)最后求得：

7、 或 (8.8） 該式是兩個線性函數(shù)之比，稱為線性分式變換，若把它展開求z，則得： （8.9） 可見，其反變換也是線性分式函數(shù)，所以這種變換是雙向的，因此叫做雙線性變換。雙線性變換仍然具有將s的左半平面映射到z平面單位圓內(nèi);jω軸映射到單位圓上的基本性質(zhì)。因為當(dāng)σ=0時，│z│=1，說明s平面jω軸映射到z平面單位圓上。當(dāng)σ<0時，上式中的分母大于分子│z│<1，說明s左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)。因而它們一一對應(yīng)，有著單值關(guān)系，是一種保角交換。因此一個穩(wěn)定的模擬濾波器，通過雙線性變換只能得到一個（唯一）穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。它不象脈沖響應(yīng)不變法那樣，由于在z平面與s平面之間的映射存在

8、著多值關(guān)系，以至在s平面上許多不同的ω值，映射到z平面后都重疊在一個點子上，造成頻譜混疊。由此可見，雙線性變換法將；頻帶嚴(yán)格限制在ωs/2范圍內(nèi)，從根本上消除了頻譜混疊。 雙線性變換法不僅解決了直接z變換中存在的混疊誤差，而且還因為它是個代數(shù)變換，所以只要將s與z之間存在的簡單代數(shù)關(guān)系，直接代入，模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)式中，就可以求得相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和頻響。這樣，模擬濾波器所具有的優(yōu)良特性就得以保存。但是在運用雙線性變換法時應(yīng)當(dāng)清楚看到，由于從s—s~的變換過程，頻率關(guān)系不是線性的只有在低頻段接近線性，頻率越高ω~被壓縮得越厲害，因而出現(xiàn)頻率非線性畸變（扭曲），原模擬濾波器的轉(zhuǎn)折點頻率

9、的位置因非線性而產(chǎn)生了變化，相頻特性也因非線性而出現(xiàn)了畸變。 b:巴特沃思的原理 巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在振幅的對數(shù)對角頻率的波特圖上,從某一邊界角頻率開始,振幅隨著角頻率的增加而逐步減少,趨向負(fù)無窮大。 3.設(shè)計過程 給出數(shù)字帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 用雙線性變換法得到模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 用模擬--模擬頻率得到低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 用數(shù)字—數(shù)字頻帶得數(shù)字帶通濾波器Hd（z） 用雙線性變換法得到數(shù)字低通濾波器Hl（s） 求出模擬低通濾波器 Ha（s） 查表求出歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)

10、 上圖 設(shè)計巴特沃思帶通濾波器的原理方框圖 （1）由數(shù)字帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)； 通帶最大衰減：=3dB，阻帶最小衰減：=20dB； 通帶截止頻率：=，=； 阻帶截止頻率：=，=。 （2）采用雙線性變換法， 求相應(yīng)的模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)（令T=2） 模擬帶通濾波器的設(shè)計指標(biāo)有中心頻率；通帶截止頻率,； 阻帶截止頻率,；通帶最大衰減，阻帶最小衰減。 a.把模擬頻率轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字頻率 通過公式（式中，T為采樣周期）可以把給定的模擬頻率轉(zhuǎn)換成數(shù)字

11、頻率。 b.通過頻率預(yù)畸變把數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬角頻率： =0.7265 =1.3764 =0.3249 =3.0777 （3）求出模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)；按模擬低通—模擬帶通的變換關(guān)系可得 通帶截止頻率：==0.6498 中心頻率： ==1 阻帶截止頻率：==2.7528 ==-2.7528 ==2.7528 （4）設(shè)計巴特沃思模擬低通濾波器，并求出模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha（S）； ?。呵箅A數(shù)N

12、。模擬巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)為 由 =-20lg =-20lg 化簡得到：==1.5598 故整數(shù)N=2。 ⅱ：根據(jù)階數(shù)去查表可以得到極點，求出H(s)。 a：查表得到歸一的2階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 H（s）= b：在此低通歸一模擬低通濾波器中，用代替其中的s，即可得到 H（s）=H（）=（） （5）用雙線性變換法，求出數(shù)字低通系統(tǒng)函數(shù)H（z）； 將雙線性變換公式：s=c （c==1）代人H（s）中可得到 H（z）= = （6）將數(shù)字低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器H（z）。 由模擬歸

13、一化原型低通濾波器截止頻率為=0.6498，雙線性變換后，數(shù)字低通濾波器的截止頻率應(yīng)滿足線性變換頻率間的關(guān)系式 仍取T=2，則有。 又有 =3.077683*0.64839=2 所以 因而 從而可得到 H（z）= H（z） = = 4、硬件實現(xiàn)圖 0.06743 X(n) y(n)

14、 -0.13486 -1.1428

15、 0.06743 -0.4127 上圖 巴特沃思數(shù)字帶通濾波器的信號流圖結(jié)構(gòu) 五、課程設(shè)計體會 通過這次設(shè)計我們學(xué)到了很多，并讓我們對教材有了更深的理解和認(rèn)識，教材中的定理和理對我們的設(shè)計起了很好的指導(dǎo)作用。這次設(shè)計對我們來說，它不僅讓我們把所學(xué)的與實踐相結(jié)合起來，提高自己的動手能力和獨立思考的能力。課程設(shè)計反映的是個人從理論到實際應(yīng)用的過程，是我們踏人社會的必要條件，而設(shè)計就是提升我們能力的過程. 為設(shè)計我們還查閱了大量資料，并復(fù)習(xí)、鞏固了以前學(xué)過的知識這使得我們對識的靈活應(yīng)用度也得到了提高。如果以后還有機會我們會繼續(xù)鍛煉自己的能力，使自己成為一個合格的社會人才。