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1、第九章 靜電場 (Electrostatic Field) 二、計算題 9.7 電荷為＋q和－2q的兩個點(diǎn)電荷分別置于x＝1 m和x＝－1 m處．一試驗(yàn)電荷置于x軸上何處，它受到的合力等于零？ 解：設(shè)試驗(yàn)電荷置于x處所受合力為零，根據(jù)電力疊加原理可得 即：。因點(diǎn)處于q、－2q兩點(diǎn)電荷之間，該處場強(qiáng)不可能為零．故舍去．得 m 9.8 一個細(xì)玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形，沿其上半部分均勻分布有電荷+Q，沿其下半部分均勻分布有電荷－Q，如題圖9.4所示．試求圓心O處的電場強(qiáng)度． 解：把所有電荷都當(dāng)作正電荷處理. 在q 處取微小電荷 dq = ldl = 2Qdq

2、 / p 它在O處產(chǎn)生場強(qiáng) 按q 角變化，將dE分解成二個分量： 對各分量分別積分，積分時考慮到一半是負(fù)電荷 ＝0 所以 9.9如圖9.5所示，一電荷線密度為的無限長帶電直導(dǎo)線垂直紙面通過A點(diǎn)；附近有一電量為的均勻帶電球體，其球心位于O點(diǎn)。是邊長為的等邊三角形。已知處場強(qiáng)方向垂直于，求:和間的關(guān)系。 解：如圖建立坐標(biāo)系。根據(jù)題意可知 9.10 如題圖9.6所示，一電荷面密度為s的“無限大”平面，在距離平面a處的一點(diǎn)的場強(qiáng)大小的一半是由平面上的一個半徑為R的圓面積范圍內(nèi)的電荷所產(chǎn)生的．試求該圓半徑的大小．

3、 解：電荷面密度為s的無限大均勻帶電平面在任意點(diǎn)的場強(qiáng)大小為 ：E=s / (2e0)。 以圖中O點(diǎn)為圓心，取半徑為r→r＋dr的環(huán)形面積，其電量為dq = s2prdr。它在距離平面為a的一點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng) 則半徑為R的圓面積內(nèi)的電荷在該點(diǎn)的場強(qiáng)為 由題意,令E=s / (4e0)，得到 R＝ 9.11 如題圖9.7所示,一均勻帶電直導(dǎo)線長為，電荷線密度為。過導(dǎo)線中點(diǎn)O作一半徑為（）的球面，P為帶電直導(dǎo)線的延長線與球面的交點(diǎn)。求： （1）、通過該球面的電場強(qiáng)度通量。 （2）、P處電場強(qiáng)度的大小和方向。 解：（1）利用靜電場的高斯定理即可得：。 （2

4、）如圖建立一維坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)與圓心重合。在帶電導(dǎo)線上坐標(biāo)為處取長度為的帶電元，其所帶電荷量為，在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為： 則p點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 9.12 題圖9.8中，虛線所示為一立方形的高斯面，已知空間的場強(qiáng)分布為：Ex＝bx，Ey＝0, Ez＝0。高斯面邊長a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(Cm)．試求該閉合面中包含的凈電荷．(真空介電常數(shù)＝8.8510-12 C2N-1m-2 ) 解：設(shè)閉合面內(nèi)包含凈電荷為Q．因場強(qiáng)只有x分量不為零，故只是二個垂直于x軸的平面上電場強(qiáng)度通量不為零．由高斯定理得： 則 9.13 體圖9

5、.9所示，有一帶電球殼，內(nèi)、外半徑分別為、，電荷體密度為，在球心處有一點(diǎn)電荷。證明：當(dāng)時，球殼區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度的大小與半徑無關(guān)。 證：用高斯定理求球殼內(nèi)場強(qiáng)： ,而 r Q a b r 圖9.9 要使的大小與r無關(guān)，則應(yīng)有 ： ， 即 9.14 如題圖9.10所示，一厚為b的“無限大”帶電平板，其電荷體密度分布為 (0≤x≤b )，式中k為一正的常量．求： (1) 平板外兩側(cè)任一點(diǎn)P1和P2處的電場強(qiáng)度大小； (2) 平板內(nèi)任一點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度； (3) 場強(qiáng)為零的點(diǎn)在何處？ 解： (1) 由對稱

6、分析知，平板外兩側(cè)場強(qiáng)大小處處相等、方向垂直于平面且背離平面．設(shè)場強(qiáng)大小為E．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小為S，如圖所示． 按高斯定理，即： 得到： ， (板外兩側(cè)) (2) 過P點(diǎn)垂直平板作一柱形高斯面，底面為S．設(shè)該處場強(qiáng)為，如圖所示．按高斯定理有： 得到： (0≤x≤b) (3) =0，必須是， 可得 9.15 一球體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為的正電荷,若保持電荷分布不變,在該球體挖去半徑為r的一個小球體,球心為,兩球心間距離,如題圖9.11所示。 求： (1) 在球形空腔內(nèi),球心處的電場強(qiáng)度； (2) 在球體內(nèi)P點(diǎn)處的

7、電場強(qiáng)度。設(shè)、O、P三點(diǎn)在同一直徑上，且。 解：挖去電荷體密度為r 的小球，以形成球腔時的求電場問題，可在不挖時求出電場，而另在挖去處放上電荷體密度為－r的同樣大小的球體，求出電場，并令任意點(diǎn)的場強(qiáng)為此二者的矢量疊加，即： 在圖(a)中，以O(shè)點(diǎn)為球心，d為半徑作球面為高斯面S，則可求出O與P處場強(qiáng)的大小。 得： 方向分別如圖所示。 在圖(b)中，以O(shè)點(diǎn)為小球體的球心，可知在O點(diǎn)E2=0. 又以O(shè) 為心，2d為半徑作球面為高斯面S 可求得P點(diǎn)場強(qiáng)E2P (1) 求O點(diǎn)的場強(qiáng) . 由圖(a)、(b)可得 EO’ = E1O’ =， 方向如圖(c)

8、所示. (2)求P點(diǎn)的場強(qiáng).由圖(a)、(b)可得 方向如(d)圖所示. E1P r P E2P EP 圖(d) O O P E1O’ r 圖(a) O r O d EO’=E1 O’ 圖(c) O P E2P -r O r E2O’=0 圖(b) E1P 9.16 如題圖9.12所示，兩個點(diǎn)電荷＋q和－3q，相距為d. 試求： (1) 在它們的連線上電場強(qiáng)度的點(diǎn)與電荷為＋q的點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)？ (2) 若選無窮遠(yuǎn)處電勢為零，兩點(diǎn)電荷之間電勢U=0的點(diǎn)與電荷為＋q的點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)？

9、解：設(shè)點(diǎn)電荷q所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸沿兩點(diǎn)電荷的連線． (1) 設(shè)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則  解出： 另有一解不符合題意，舍去． (2) 設(shè)坐標(biāo)x處U＝0，則 得： 9.17 一均勻靜電場，電場強(qiáng)度，空間有兩點(diǎn)和，（以米計）。求兩點(diǎn)之間的電勢差。 解：空間某點(diǎn)的位矢表示為，則 9.18 題圖9.13所示，為一沿x軸放置的長度為l的不均勻帶電細(xì)棒，其電荷線密度為，為一常量．取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢． 解：在任意位置x處取長度元dx，其上帶有電荷dq=l0 (x－a)dx 。它在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢 O

10、點(diǎn)總電勢： 9.19 題圖9.14所示，電荷q均勻分布在長為2l的細(xì)桿上。求 （1）、在桿外延長線上與桿端距離為a的P點(diǎn)的電勢(設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn))。 （2）、桿的中垂線上與桿中心距離為a的P點(diǎn)的電勢。(設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn))． 解：（1）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心O點(diǎn)，x軸沿桿的方向，如圖所示． 細(xì)桿的電荷線密度l＝q / (2l)，在x處取電荷元dq = ldx＝qdx / (2l)，它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為 整個桿上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢： （2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心O點(diǎn)，x軸沿桿的方向，如圖所示. 桿的電荷線密度l=q / (2l)．在x處取電

11、荷元dq．dq = ldx = qdx / (2l) 它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢 整個桿上電荷產(chǎn)生的電勢： 9.20 兩個帶等量異號電荷的均勻帶電同心球面，半徑分別為R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知兩者的電勢差為450 V，求內(nèi)球面上所帶的電荷． 解：設(shè)內(nèi)球上所帶電荷為Q，則兩球間的電場強(qiáng)度的大小為 (R1＜r＜R2） 兩球的電勢差： ∴ ＝2.1410-9 C 9.21 電荷以相同的面密度s 分布在半徑為r1＝10 cm和r2＝20 cm的兩個同心球面上．設(shè)無限遠(yuǎn)處電勢為零，球心處的電勢為U0＝300 V． ［＝8.8510-12 C2

12、/(Nm2)］ (1) 求電荷面密度． (2) 若要使球心處的電勢也為零，外球面上應(yīng)放掉多少電荷？ 解：(1) 球心處的電勢為兩個同心帶電球面各自在球心處產(chǎn)生的電勢的疊加，即 ＝8.8510-9 C / m2 (2) 設(shè)外球面上放電后電荷面密度為，則應(yīng)有： = 0 即 ： 外球面上應(yīng)變成帶負(fù)電，共應(yīng)放掉電荷： ＝6.6710-9 C 9.22如題圖9.15所示，半徑為R的均勻帶電球面，帶有電荷q．沿某一半徑方向上有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為，長度為l，細(xì)線左端離球心距離為r0．設(shè)球和線上的電

13、荷分布不受相互作用影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場力和細(xì)線在該電場中的電勢能(設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零)． 解：設(shè)x軸沿細(xì)線方向，原點(diǎn)在球心處，在x處取線元dx，其上電荷為，該線元在帶電球面的電場中所受電場力為： 整個細(xì)線所受電場力為： ，方向沿x正方向． 電荷元在球面電荷電場中具有電勢能： 整個線電荷在電場中具有電勢能： 9.23一真空二極管，其主要構(gòu)件是一個半徑R1＝510-4 m的圓柱形陰極A和一個套在陰極外的半徑R2＝4.510-3 m的同軸圓筒形陽極B，如題圖9.16所示．陽極電勢比陰極高300 V，忽略邊緣效應(yīng). 求電子剛從陰極射出時所受的電場

14、力．(基本電荷e＝1.610-19 C) 解：與陰極同軸作半徑為r (R1＜r＜R2 )的單位長度的圓柱形高斯面，設(shè)陰極上電荷線密度為l．按高斯定理有： 即兩極間的電場強(qiáng)度可表示為： ， (R1＜r＜R2)， 的方向沿半徑指向軸線．兩極之間電勢差 所以，兩極間的電場強(qiáng)度為： 在陰極表面處電子受電場力的大小為 ＝4.3710-14 N 方向沿半徑指向陽極． 9.24 題圖9.17為一球形電容器，在外球殼的半徑b及內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢差U維持恒定的條件下，內(nèi)球半徑a為多大時才能使內(nèi)球表面附近的電場強(qiáng)度最小？求這個最小電場強(qiáng)度的大小． 解：設(shè)內(nèi)

15、球殼帶電量為，則根據(jù)高斯定理可得出兩球殼之間間半徑為的同心球面上各點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小為 內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢差： 當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體間電勢差U為已知時，內(nèi)球殼上所帶電荷即可求出為： 內(nèi)球表面附近的電場強(qiáng)度大小為： 欲求內(nèi)球表面的最小場強(qiáng)，令，則 得到： 并有 可知這時有最小電場強(qiáng)度： 9.25 題圖9.18所示，一半徑為R的“無限長”圓柱形帶電體，其電荷體密度為： (r≤R)，式中A為常量．求： (1) 圓柱體內(nèi)、外各點(diǎn)場強(qiáng)大小分布； (2) 選與圓柱軸線的距離為l (l＞R) 處為電勢零點(diǎn)，計算圓柱體內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢分布． 解：

16、(1) 取半徑為r、高為h的高斯圓柱面(如圖所示)．面上各點(diǎn)場強(qiáng)大小為E并垂直于柱面．則穿過該柱面的電場強(qiáng)度通量為： 為求高斯面內(nèi)的電荷，時，取一半徑為r，厚d r、高h(yuǎn)的圓筒，其電荷為： 則包圍在高斯面內(nèi)的總電荷為 由高斯定理得： 解出： (r≤R) 時，包圍在高斯面內(nèi)總電荷為： 由高斯定理： 解出： (r >R) (2) 計算電勢分布 當(dāng)時： 當(dāng)r＞R時 ： 9.26已知某靜電場的電勢函數(shù) (SI)．求點(diǎn)(4，3，0)處的電場強(qiáng)度各分量值

17、． 解：由場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)系式得 =-1000 V/m；； 9.27 如題圖9.19所示，在電矩為的電偶極子的電場中，將一電荷為q的點(diǎn)電荷從A點(diǎn)沿半徑為R的圓?。▓A心與電偶極子中心重合，R>>電偶極子正負(fù)電荷之間距離）移到B點(diǎn)，求此過程中電場力所作的功。 解：用電勢疊加原理可導(dǎo)出電偶極子在空間任意點(diǎn)的電勢 式中為從電偶極子中心到場點(diǎn)的矢徑．于是知A、B兩點(diǎn)電勢分別為 ； q從A移到B電場力作功(與路徑無關(guān))為 第十章 靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì) 二、計算題 10.13 如題圖10.4所示，一內(nèi)半徑為a、外

18、半徑為b的金屬球殼，帶有電荷Q，在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q．設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，試求： (1) 球殼內(nèi)外表面上的電荷． (2) 球心O點(diǎn)處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢． (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢． 解：(1) 由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷-q，外表面上帶電荷q+Q． (2) 不論球殼內(nèi)表面上的感生電荷是如何分布的，因?yàn)槿我浑姾稍xO點(diǎn)的 距離都是a，所以由這些電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為 (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和

19、 10.14 有一"無限大"的接地導(dǎo)體板 ，在距離板面b處有一電荷為q的點(diǎn)電荷．如題圖10.5(a)所示，試求： (1) 導(dǎo)體板面上各點(diǎn)的感生電荷面密度分布(參考題圖10.5(b))； (2) 面上感生電荷的總電荷(參考題圖10.5(c))。 解：(1) 選點(diǎn)電荷所在點(diǎn)到平面的垂足O為原點(diǎn)，取平面上任意點(diǎn)P，P點(diǎn)距離原點(diǎn)為r，設(shè)P點(diǎn)的感生電荷面密度為s． 在P點(diǎn)左邊鄰近處(導(dǎo)體內(nèi))場強(qiáng)為零，其法向分量也是零，按場強(qiáng)疊加原理， ∴ (2) 以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑，dr為寬度取一小圓環(huán)面，其上電荷為 總電荷為

20、 10.15 如題圖10.6所示，中性金屬球A，半徑為R，它離地球很遠(yuǎn)．在與球心O相距分別為a與b的B、C兩點(diǎn)，分別放上電荷為qA和qB的點(diǎn)電荷，達(dá)到靜電平衡后，問： (1) 金屬球A內(nèi)及其表面有電荷分布嗎？ (2) 金屬球A中的P點(diǎn)處電勢為多大？(選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)) 解：(1) 靜電平衡后，金屬球A內(nèi)無電荷，其表面有正、負(fù)電荷分布，凈帶電荷為零． (2) 金屬球?yàn)榈葎蒹w，設(shè)金屬球表面電荷面密度為s． ∵ ∴ 10.16 三個電容器如題圖10.7聯(lián)接，其中C1 = 101

21、0-6 F，C2 = 510-6 F，C3 = 410-6 F，當(dāng)A、B間電壓U =100 V時，試求： (1) A、B之間的電容； (2) 當(dāng)C3被擊穿時，在電容C1上的電荷和電壓各變?yōu)槎嗌伲? 解：(1) 3.1610-6 F (2) C1上電壓升到U = 100 V，電荷增加到110-3 C 10.17 一個可變電容器，由于某種原因所有動片相對定片都產(chǎn)生了一個相對位移，使得兩個相鄰的極板間隔之

22、比為，問電容器的電容與原來的電容相比改變了多少？ 解：如下圖，設(shè)可變電容器的靜片數(shù)為，定片數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)情況下，極板間的距離為（圖a），極板相對面積為。則該電容器組為個相同的平行板電容器并聯(lián)（圖a）。總電容為。 當(dāng)動片由于某種原因發(fā)生相對位移而使相鄰的極板間隔變?yōu)楹?，總電容為? 所以電容增加了： 10.18 一平行板空氣電容器充電后，極板上的自由電荷面密度＝1.7710-6 C/m2．將極板與電源斷開，并平行于極板插入一塊相對介電常量為 的各向同性均勻電介質(zhì)板．計算電介質(zhì)中的電位移、場強(qiáng)和電極化強(qiáng)度的大小。(真空介電常量＝8.8510-12 C2 / Nm2) 解：由的

23、高斯定理求得電位移的大小為 由的關(guān)系式得到場強(qiáng)的大小為 ＝2.5104 V/m 介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度的大小為 10.19 如題圖10.8所示，一空氣平行板電容器，極板面積為，兩極板之間距離為，其中平行地放有一層厚度為 (、相對介電常量為的各向同性均勻電介質(zhì)．略去邊緣效應(yīng)，試求其電容值。 解：設(shè)極板上的自由電荷面密度為．應(yīng)用的高斯定理可得兩極板之間的電位移大小為 由得：空氣中的電場強(qiáng)度大小為；電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度的大小為。 兩極板之間的電勢差為 電容器的電容為 作法二： 看成二個電容串聯(lián)， ， ，則 10.20一平行板

24、電容器，極板間距離為10cm，其間有一半充以相對介電常量的各向同性均勻電介質(zhì)，其余部分為空氣，如題圖10.9所示．當(dāng)兩極間電勢差為100 V時，試分別求空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場強(qiáng)度矢量。 解：設(shè)空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場強(qiáng)度矢量分別為、和、，則 (1) (2) (3) 聯(lián)立解得 V/m ； 方向均相同,由正極板垂直指向負(fù)極板． 10.21 一導(dǎo)體球帶電荷，放在相對

25、介電常量為 的無限大各向同性均勻電介質(zhì)中．求介質(zhì)與導(dǎo)體球的分界面上的束縛電荷。 解：導(dǎo)體球處于靜電平衡時，其電荷均勻分布在球面上．以為半徑作一同心高斯球面．按的高斯定理，可求出介質(zhì)內(nèi)半徑的同心球面上各點(diǎn)電位移的的大小 介質(zhì)與導(dǎo)體球的分界面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為 電極化強(qiáng)度的大小為 極化電荷面密度為： 分界面上的束縛電荷為 10.22 半徑為的介質(zhì)球，相對介電常量為、其自由電體荷密度，式中為常量，是球心到球內(nèi)某點(diǎn)的距離．試求： (1) 介質(zhì)球內(nèi)的電位移和場強(qiáng)分布． (2) 在半徑多大處

26、場強(qiáng)最大？ 解：(1) 在介質(zhì)中，取半徑為→＋d的同心薄殼層，其中包含電荷 取半徑為的同心球形高斯面，應(yīng)用的高斯定理， 則介質(zhì)內(nèi)半徑為的球面上各點(diǎn)的電位移為： ，（ 為徑向單位矢量） 介質(zhì)內(nèi)半徑為的球面上各點(diǎn)的電位移為： ， (2) 對求極值 得，且因，所以： 處最大． 10.23 如題圖10.10，一各向同性均勻電介質(zhì)球，半徑為R，其相對介電常量為，球內(nèi)均勻分布有自由電荷，其體密度為．求球內(nèi)的束縛電荷體密度和球表面上的束縛電荷面密度。 解：∵介質(zhì)是球?qū)ΨQ的，且r0均勻分布，∴ r，s 也必為球?qū)ΨQ分布．因而電場必為球?qū)ΨQ分布．用的高

27、斯定理，可求得半徑為的同心球面上 ；； 在介質(zhì)內(nèi)，取半徑間的球殼為體元，則可求出介質(zhì)內(nèi)極化電荷體密度： 略去dr的高次項(xiàng)，則 ， (與異號) 介質(zhì)表面極化電荷面密度： , （與同號）． 10.24 如題圖10.11所示，一平行板電容器，極板面積為S，兩極板之間距離為d，中間充滿介電常量按規(guī)律變化的電介質(zhì)。在忽略邊緣效應(yīng)的情況下，試計算該電容器的電容。 解：設(shè)兩極板上分別帶自由電荷面密度，則介質(zhì)中的電場強(qiáng)度分布為 兩極板之間的電勢差為 該電容器的電容值為 10.25 如

28、題圖10.12所示，一電容器由兩個同軸圓筒組成，內(nèi)筒半徑為，外筒半徑為，筒長都是，中間充滿相對介電常量為的各向同性均勻電介質(zhì)。內(nèi)、外筒分別帶有等量異號電荷+Q和-Q．設(shè)，L >> b，可以忽略邊緣效應(yīng)，求： (1) 圓柱形電容器的電容； (2) 電容器貯存的能量． 解：（1）、由題給條件 (和，忽略邊緣效應(yīng), 應(yīng)用高斯定理可求出兩筒之間的場強(qiáng)為： 兩筒間的電勢差 電容器的電容 （2）、電容器貯存的能量 10.26兩個相同的空氣電容器,其電容都是,都充電到電壓各為后斷開電源,然后,把其中之一浸入煤油 (中,然后把兩個電容器并聯(lián),求:

29、 (1)、浸入煤油過程中損失的靜電能； （2）、并聯(lián)過程中損失的靜電能。 解：（1）電容器浸入煤油前的能量為 浸入煤油后，電容器的能量 在此過程中損失的能量為 （2）、并聯(lián)前，兩個電容器的總能量為 并聯(lián)后的總電容。并聯(lián)電容器上的總電量 并聯(lián)后電容器的總能量為 并聯(lián)過程中損失的能量為 10.27電容的電容器在的電勢差下充電,然后切斷電源,并將此電容器的兩個極板與原來不帶電、的電容器的兩極板相連，求： （1）、每個電容器極板所帶的電荷量； （2）、連接前后的靜電能。 解：1）、電容器的總電荷量為： 設(shè)兩個電容器極板所帶的電荷量分別為和

30、，則由： ， 得： 2） 、連接前的靜電場能就是連接前第一個電容器的能量，即： 連接后的靜電場能即并聯(lián)后電容器的能量，即： 10.28 一平行板電容器的極板面積為S = 1 m2，兩極板夾著一塊d = 5 mm厚的同樣面積的玻璃板．已知玻璃的相對介電常量為。電容器充電到電壓U = 12 V以后切斷電源。求把玻璃板從電容器中抽出來外力需做多少功。(真空介電常量e 0 = 8.8510-12 C2N-1m-2 ) 解：玻璃板抽出前后電容器能量的變化即外力作的功．抽出玻璃板前后的電容值分別為 ， 撤電源后再抽玻璃板．板上電荷不變，但電壓改變，即 ∴

31、 抽玻璃板前后電容器的能量分別為 外力作功 = 2.5510-6 J 10.29 一平行板電容器，極板面積為S，兩極板之間距離為d，中間充滿相對介電常量為的各向同性均勻電介質(zhì)．設(shè)極板之間電勢差為U．試求在維持電勢差U不變下將介質(zhì)取出，外力需作功多少？ 解：在兩極板之間電勢差U不變下，有介質(zhì)時電容器中的電場能量為 取出介質(zhì)后的電場能量為 在兩極板之間電勢差U不變下，由于電容值改變，極板上電荷發(fā)生變化 Dq = q2 -q1 = C2U -C1U 電源作功 設(shè)外力作功為A1，則根據(jù)功能原理，

32、 A1 +A2 = DW = W2 -W1 故外力作功 第十一章 穩(wěn)恒電流(Steady Current) 二、計算題 11.6 已知導(dǎo)線中的電流按的規(guī)律隨時間變化，式中各量均采用國際單位。計算在到的時間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電荷量。 解：導(dǎo)線中的電流不是恒定的，在時間間隔內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電量。 在時間段內(nèi)，通過導(dǎo)線截面的電量 11.7 內(nèi)外半徑分別為、的兩個同心球殼構(gòu)成一電阻元件，當(dāng)兩球殼間填滿電阻率為的材料后，求該電阻器沿徑向的電阻。 解：在半徑間取球殼（），該球殼沿經(jīng)向的電阻為 該電阻器沿經(jīng)向的總電阻應(yīng)為這些殼層電阻的串聯(lián)，即該電阻器沿徑向的

33、電阻為： 11.8 當(dāng)電流為，端壓為時，試求下列各情形中電流的功率以及內(nèi)產(chǎn)生的熱量。 （1）電流通過導(dǎo)線； （2）電流通過充電的蓄電池，該蓄電池的電動勢為； （3）電流通過充電的蓄電池，該蓄電池的電動勢為。 解：（1）、電流的功率。電流在內(nèi)產(chǎn)生的熱量。 （2）、電流的功率。當(dāng)給電動勢為、內(nèi)阻為的蓄電池充電時，有： 故電流在內(nèi)產(chǎn)生的熱量：。 （3）、電流的功率。當(dāng)電動勢為、內(nèi)阻為的蓄電池放電時，有： 故電流在內(nèi)產(chǎn)生的熱量：。 11.9在一由電動勢恒定的直流電源供電的載流導(dǎo)線表面某處帶有正電荷，已知其電荷面密度為，在該處導(dǎo)線表面內(nèi)側(cè)的電流密度為，其方向沿導(dǎo)線

34、表面切線方向，如圖11.4所示．導(dǎo)線的電導(dǎo)率為，求在該處導(dǎo)線外側(cè)的電場強(qiáng)度。 解：規(guī)定在導(dǎo)線內(nèi)側(cè)和導(dǎo)線外側(cè)各物理量分別用角標(biāo)1，2區(qū)分．由高斯定理可求得導(dǎo)線表面電場強(qiáng)度的垂直分量 ：。 由邊界條件和歐姆定律可求得導(dǎo)線外側(cè)電場強(qiáng)度的平行分量 ：。 則導(dǎo)線外側(cè)電場強(qiáng)度的大小 的方向： , 11.10在如題圖11.5所示的電路中，兩電源的電動勢分別為和，內(nèi)阻分別為和，電阻，求電阻兩端的電位差。 解：設(shè)各支路的電流為I1、I2和I3，如圖． ①

35、 ② ③ 由①、②、③三式聯(lián)立解得： A 11.11 如題圖11.6所示的電路中，電源電動勢分別為，，，內(nèi)阻為。，，。求： （1）a、b兩點(diǎn)間的電位差； （2）、短路后，電阻上電流大小和流向。 解：（1）、參考題圖11.6a，因?yàn)椋?，所以? （2）、a、b短接后，設(shè)各支路的電流方向如題圖11.6b所示。則： 解得： ,, 即，如果、短路，電阻上電流的大小為，方向自左向右。 11.12 在如題圖

36、11.7所示的電路中，已知，，，，，。O點(diǎn)接地，K為開關(guān)，C為電容。求： (1) 開關(guān)閉合前A點(diǎn)的電勢； (2) 開關(guān)閉合后A點(diǎn)的電勢。（開關(guān)閉合前后，A點(diǎn)的電勢及電容器極板上的電荷量均指電路穩(wěn)態(tài)時的值）。 解：（1）、開關(guān)閉合前，參考題圖11.7a，可得 （2）、開關(guān)閉合后， 設(shè)各支路電流參考方向如題圖11.7b標(biāo)出，列KCL、KVL方程， 解得結(jié)果為；；。故此時A點(diǎn)的電勢為： 11.13在如題圖11.8所示的電路中，已知，，，，。各電池的內(nèi)阻均可忽略。求： 1）、當(dāng)開關(guān)K打開時，求電路中B、C兩點(diǎn)間的電位差； 2）、當(dāng)開關(guān)K閉合后，若已知此時A、B兩點(diǎn)的

37、電位相等，求電阻。 解：1）、開關(guān)打開時，閉和回路中的電流為： ，（順時針流動） 在B、C兩點(diǎn)間取一段電路，如題圖11.8a，根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得： 2）、K閉和后，設(shè)三個支路中電流分別為，和，其參考方向如題圖11.8b表示。 因?yàn)锳、B兩點(diǎn)電勢相等，則根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得： ； 代入數(shù)值后： ； 解得： ，。 又因?yàn)椋?，所以：。再根?jù)一段含源電路的歐姆定律得： 所以： （本題亦可直接列基爾霍夫方程組求解） 11.14電容器由如圖所示的任意形狀的兩個導(dǎo)體A、B之間充滿各向同性的均勻電介質(zhì)組成。電介質(zhì)的相對介電常數(shù)為

38、。漏電電阻率為。試證明兩導(dǎo)體之間的電容和電阻之間的關(guān)系為：。 證明：如上圖，使A和B分別帶上自由電荷。包圍A（或B）作閉合曲面S，S為高斯面，運(yùn)用的高斯定理： 把各向同性電介質(zhì)的性能方程和歐姆定律的微分形式代入上式得： （1） 設(shè)導(dǎo)體A、B之間的電位差為，則根據(jù)電容的定義有： （2） 而A、B之間的漏電電阻為： （3） 把（2）、（3）帶入（1）得： 26