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2019-2020年高一期末考試 數(shù)學(xué) 說明：本試卷分第I 卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．滿分100分，考試時間100分鐘．答案寫在答題卷（卡）上，交卷時只交答題卷（卡）． 第I卷（選擇題） 一、選擇題(每小題4分，共40分，將答案寫在答題卡上) 1．直線的傾斜角是( )A A．150ｏ B．135ｏ C．120ｏ D． 30ｏ 2．直線3x＋4y－13=0與圓的位置關(guān)系是（ ）C A． 相離 B． 相交 C． 相切 D． 無法判定 3．若a,b是異面直線，且a∥平面α，則b和α的位置關(guān)系是（ ） D A．平行 B．相交 C．b在α內(nèi) D．平行、相交或b在α內(nèi) 4．直線與直線平行，則它們之間的距離為( )D A． B． C． D． 5．下列關(guān)于直線l,m與平面α,β的說法，正確的是（ ）B A．若且α⊥β,則l⊥α B．若l⊥β且α∥β則l⊥α C．若l⊥β且α⊥β則l∥α D．若αβ=m,且l∥m, 則l∥α 6．經(jīng)過直線：x－3y＋4=0和：2x+y＋5=0的交點，并且經(jīng)過原點的直線方程是（ ）C A．19x-9y=0 B．9x+19y=0 C．3x+19y=0 D．19x-3y=0 7．如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45ｏ　，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是( )D A． B． C． D． 8．已知m,n是兩條直線，α,β是兩個平面．有以下命題： ①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,則α∥β; ②若m∥α, m∥β , 則α∥β; ③若m∥α, n∥β , m∥n,則α∥β． 其中正確命題的個數(shù)是（ ）B A．0 B．1 C．2 D．3 9．一只蟲子從點O(0,0)出發(fā)，先爬行到直線l:x-y+1=0上的P點，再從P點出發(fā)爬行到點A(1,1)，則蟲子爬行的最短路程是（ ）B A． B．2 C．3 D．4 10．當(dāng)曲線與直線有兩個相異的交點時，實數(shù)k的取值范圍是（ ）C A． B． C． D． 第II卷（非選擇題） 二、填空題（每小題4分，共20分，將答案寫在答題卡上） A A1 B B1 C1 D1 C D 11．已知直線經(jīng)過點A(3,a)，B(a-1,2),直線經(jīng)過點C(1,2),D(-2,a+2),若⊥,則a的值為_____________．3或-4 12．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，其長分別是1、、，則此三棱錐的外接球的表面積是____________．6π 13．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AC所成的角是______；直線A1B和平面A1B1CD所成的角是_________．60,30 14．過點O(0,0)引圓C:的兩條切線OA,OB，A,B為切點，則直線AB的方程是______________．2x+2y-7=0 15．已知兩點A(-1,0),B(0,2),點C是圓上任意一點，則△ABC面積的最小值是______________． 第II卷（非選擇題） 二、填空題（每小題4分，共20分） 11． 3或-4 12．6π 13．60,30 14．2x+2y-7=0 15． 三、解答題(共40分) 16．（本小題8分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若F，E分別為PC,BD的中點，求證： P A B C D F E （l）EF∥平面PAD； （2）平面PDC⊥平面PAD 證明：（1）連結(jié)AC，∵ABCD是正方形，∴E為BD與AC的交點， ∵F，E分別為PC,AC的中點 ∴EF∥PA …………2分 ∵PA在面PAD內(nèi)，EF在面PAD外，∴EF∥平面PAD …………4分 （2）∵ABCD是正方形 ∴CD⊥AD 又∵面PAD與面ABCD的交線為AD ， 面PAD⊥面ABCD ∴CD⊥面PAD…………6分 又∵CD在面PDC內(nèi)，∴面PDC⊥面PAD…………8分 17．（本小題8分）已知線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動，且∣AB∣=2． （1）求線段AB的中點P的軌跡C的方程； （2）求過點M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程． 解: (1) 方法一：設(shè)P(x , y ), ∵∣AB∣=2,且P為AB的中點， ∴∣OP∣=1 ……………………2分 ∴點P的軌跡方程為x2+y2=1． ……………………4分 方法二：設(shè)P(x , y )， ∵P為AB的中點， ∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), ………………………2分 又∵∣AB∣=2 ∴(2x)2+(2y)2=2 化簡得點P的軌跡C的方程為x2+y2=1． ……………4分 (2) ①當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為x=1, 由條件易得 x=1符合條件; ………………5分 ②當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為 y-2=k(x-1) 即kx-y+2-k=0 由 得k=, ∴切線方程為y-2= (x-1) 即 3x-4y+5=0 綜上，過點M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程為： x=1 或3x-4y+5=0 ……………………8分 18．（本小題8分） 已知圓C: 及直線 （1）證明：不論m取何值，直線l與圓C恒相交； （2）求直線l被圓C截得的弦長最短時的直線方程． 解：由得 ∴圓C的圓心為(2,3),半徑為2……………2分 （1）由得 由得 ∴不論m取何值，直線l恒過點P(3,2)…………….4分 ∵ ∴點P(3,2)在圓C內(nèi)……………3分 所以不論m取何值，直線l與圓C恒相交…………….5分 （2）當(dāng)直線l垂直CP時，直線l被圓C截得的弦長最短 ∵…………….7分 所以所求的直線方程為y=x-1…………….8分 19． （本小題8分）已知三棱錐A—BCD及其三視圖如圖所示． （1）求三棱錐A—BCD的體積與點D到平面ABC的距離； （2）求二面角 B-AC-D的正弦值． (1) 由三視圖可得△ABC為直角三角形，∠DBC為直角，AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2…………….2分 作DE⊥AB于點E ∵AD⊥面DBC，∴AD⊥BC ∵∠DBC為直角 ∴BC⊥面ADB ∴BC⊥DE ∴DE⊥面ABC………3分 ∴DE的長為點D到面ABC的距離 ∵DB=1,AD=2 ∴DE= ∴點D到平面ABC的距離為………4分 ∵,∴………5分 (2) 作DF⊥AC于點F,連結(jié)EF， ∵DE⊥面ABC ∴DE⊥AC ∴AC⊥面DEF ∴AC⊥EF ∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角………7分 ∵DB=BC=1 ∴DC= ∴DF= ∴sin∠DFE= ∴二面角 B-AC-D的正弦值是………8分 20． （本小題8分）已知圓C過點M（0，-2）、N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上． （1）求圓C的方程； （2）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)a，使得過點P（2，0）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由． 解：（1）設(shè)圓C的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0 則有 …………………2分 解得 ∴圓C的方程為：x2+y2-6x+4y+4=0 …………4分 （2）設(shè)符合條件的實數(shù)存在， 由于l垂直平分弦，故圓心必在l上． 所以l的斜率， 而， 所以． …………5分 把直線ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圓的方程， 消去，整理得． 由于直線交圓于兩點， 故， 即，解得． 則實數(shù)的取值范圍是．…………………7分 由于， 故不存在實數(shù)，使得過點的直線l垂直平分弦．………8分