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考前過關(guān)訓(xùn)練(一)
常用邏輯用語
(30分鐘 50分)
一、選擇題(每小題3分,共18分)
1.(2016三明高二檢測)命題:“若x2<1,則-1
1或x<-1,則x2>1
D.若x≥1或x≤-1,則x2≥1
【解析】選D.x2<1的否定為x2≥1;-10,ex>1,則p是 ( )
A.?x0≤0,ex0≤1 B.?x0>0,ex0≤1
C.?x>0,ex≤1 D.?x≤0,ex≤1
【解析】選A.p是?x0>0,ex0≤1.
3.命題p:x>2是x2>4的充要條件;命題q:若ac2>bc2,則a>b,則 ( )
A.“p∨q”為真 B.“p∧q”為真
C.p真q假 D.p,q均為假
【解析】選A.命題p:x>2是x2>4的充要條件是假命題;命題q:“若ac2>bc2,則a>b”是真命題,所以“p∨q”為真.
4.(2016茂名高二檢測)“直線y=x+b與圓x2+y2=1相交”是“01
C.?x∈R,x2>x-1
D.?x∈(0,π),sinx>cosx
【解析】選C.由sinx0cosx0=35,得sin2x0=65>1,故A錯誤;結(jié)合指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象,可知B,D錯誤;
因為x2-x+1=x-122+34>0恒成立,所以C正確.
6.(2016安康高二檢測)“直線x-y-k=0與圓(x-1)2+y2=2有兩個不同的交點”的一個充分不必要條件可以是 ( )
A.-13
【解析】選C.“直線x-y-k=0與圓(x-1)2+y2=2有兩個不同交點”等價于|1-0-k|2<2,也就是k∈(-1,3).四個選項中只有(0,3)是(-1,3)的真子集,故充分不必要條件可以是0B”是“sinC>sinB”的充分不必要
條件;命題q:“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要條件,則下列選項中正確的
是 ( )
A.p真q假 B.p假q真
C.“p∨q”為假 D.“p∧q”為真
【解析】選C.在△ABC中,設(shè)角C與角B所對應(yīng)的邊分別為c,b,由C>B,知c>b,由正弦定理csinC=bsinB可得sinC>sinB,當(dāng)sinC>sinB時,易證C>B,故“C>B”是“sinC>sinB”的充要條件.當(dāng)c=0時,由a>b得ac2=bc2,由ac2>bc2易證a>b,故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件,即命題p是假命題,命題q也是假命題,所以“p∨q”為假.
二、填空題(每小題4分,共12分)
7.在下列結(jié)論中,
①“p∧q”為真是“p∨q”為真的充分不必要條件;
②“p∧q”為假是“p∨q”為真的充分不必要條件;
③“p∨q”為真是“p”為假的必要不充分條件;
④“p”為真是“p∧q”為假的必要不充分條件.
正確的是 .
【解析】①“p∧q”為真是同時為真,可得到“p∨q”為真,反之不成立;②“p∧q”為假說明至少一個為假,此時“p∨q”可真可假;③中當(dāng)“p”為假時可得到“p∨q”為真,所以“p∨q”為真是“p”為假的必要不充分條件;④“p”為真可得“p∧q”為假.
答案:①③
8.(2016嘉峪關(guān)模擬)已知命題p:不等式|x-1|>m的解集是R,命題q:f(x)=2-mx在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),若命題“p或q”為真,命題“p且q”為假,則實數(shù)m的范圍是 .
【解析】因為不等式|x-1|>m的解集是R,
所以m<0,即p:m<0.
若f(x)=2-mx在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),
則2-m>0,即m<2,即q:m<2.
若p或q為真命題,p且q為假命題,則p,q一真一假.
若p真,q假,則m<0,m≥2,此時m無解,若p假,q真,
則m≥0,m<2,解得0≤m<2.綜上:0≤m<2.
答案:0≤m<2
【補償訓(xùn)練】設(shè)p:方程x2+2mx+1=0有兩個不相等的正根;q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0無實根.則使p∨q為真,p∧q為假的實數(shù)m的取值范圍是 .
【解析】設(shè)方程x2+2mx+1=0的兩根分別為x1,x2,由Δ=4m2-4>0,x1+x2=-2m>0,得m<-1,
所以p:m<-1;
由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0無實根,可得Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,知-20.則命題“p∧(q)”是假命題;
②已知直線l1:ax+3y-1=0, l2:x+by+1=0,則l1⊥l2的充要條件是ab=-3;
③“設(shè)a,b∈R,若ab≥2,則a2+b2>4”的否命題為:“設(shè)a,b∈R,若ab<2,則a2+b2≤4”.
其中正確結(jié)論的序號為 .(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上).
【解析】在①中,命題p是真命題,命題q也是真命題,故“p∧(q)”是假命題是正確的.在②中l(wèi)1⊥l2?a+3b=0,所以②不正確.在③中“設(shè)a,b∈R,若ab≥2,則a2+b2>4”的否命題為:“設(shè)a,b∈R,若ab<2,則a2+b2≤4”,正確.
答案:①③
三、解答題(每小題10分,共20分)
10.(2016湛江高二檢測)已知a,b,c,d均為實數(shù),且2bd-c-a=0.
命題p:關(guān)于x的方程ax2+2bx+1=0有實根;
命題q:關(guān)于x的方程cx2+2dx+1=0有實根;
證明:“p或q”為真命題.
【證明】由ax2+2bx+1=0得Δ1=4b2-4a,
由cx2+2dx+1=0得Δ2=4d2-4c,
又因為2bd-c-a=0,所以a+c=2bd,
所以Δ1+Δ2=4[b2+d2-(a+c)]
=4(b2+d2-2bd)
=4(b-d)2≥0,
即Δ1,Δ2中至少有一個大于或等于0,
所以兩方程至少有一個有實根,即“p或q”為真命題.
11.(2016臨汾高二檢測)已知c>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=cx在R上為減函數(shù),命題q:當(dāng)x∈12,2時,函數(shù)fx=x+1x>1c恒成立.如果“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,求c的取值范圍.
【解題指南】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求出命題p為真命題時,c的取值范圍;根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),結(jié)合函數(shù)恒成立問題的解答思路,可求出命題q為真命題時,c的取值范圍,進而根據(jù)“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,可知p和q一真一假,分類討論后,綜合討論結(jié)果,即可求出答案.
【解析】因為c>0,所以如果命題p:函數(shù)y=cx在R上為減函數(shù),是真命題,那么01c恒成立是真命題,
又因為函數(shù)fx=x+1x≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1x時,即x=1時,函數(shù)f(x)=2,
所以當(dāng)x∈12,2,函數(shù)f(x)∈2,52>1c,所以1c<2,即c>12.
又因為p或q為真命題,p且q為假命題,所以p或q一個為真命題一個為假命題.
如果p為真命題q為假命題,那么012,所以c≥1.
綜上所述,c的取值范圍為0
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