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2.2 離散型隨機(jī)變量,,,,,一、離散型隨機(jī)變量 二、常見的離散型隨機(jī)變量,,,,,一、離散型隨機(jī)變量的分布律 1、離散型隨機(jī)變量定義,定義2.1 若隨機(jī)變量X的可能取值僅有有限或可列多個(gè), 則稱此隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。 即：X的可能取值為xk, 則離散型隨機(jī)變量可記為 X=xk k=1,2,3,…,,,,,2、離散型隨機(jī)變量的分布律,,,,,注：概率分布有三種表示方式,,,,,(3)圖形表示法,,,,,由隨機(jī)變量X的概率分布可以得到其分布函數(shù)，以X有n個(gè)可能取值為例：,,,,,(2) 離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)的圖形為一階梯形曲線；,注,(1)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)在X=xk處有跳躍，其跳躍值為pk=P{X=xk}，k=1,2,…；,,,,,練習(xí) 設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其分布律如下：,,,,,3、離散型隨機(jī)變量的分布律的求法,(1)利用古典概率、條件概率、獨(dú)立性等計(jì)算方法及其運(yùn)算法則求出事件{X=xk}的概率pk=P{X=xk}, k=1, 2,…求法步驟為： 第一步：先確定X的全部可能取值xk，k=1, 2,…; 第二步：具體求出事件{X=xk}的概率，即pk。,,,,,例2.1 設(shè)有甲、乙兩勢均力敵的排球隊(duì)，在每一局比賽中各隊(duì)取勝的概率都是1/2，求兩個(gè)隊(duì)在一場排球比賽中所打局?jǐn)?shù)的概率分布及分布函數(shù)。,,,,,解: 設(shè)一場排球比賽中所打局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X, 則按現(xiàn)行規(guī)則, X的取值只可能是3, 4或5. 而第k局比賽甲, 乙隊(duì)取勝的事件分別記為Ak, Bk,,則 P(Ak)=P(Bk)=1/2, k=1,2,3,4,5 且每個(gè)Ak與Bk間是相互獨(dú)立的。,,,,,P{X=5}＝1–P{X=3}–P{X=4}＝3/8,X的分布函數(shù)為：,即所求概率分布如下表：,,,,,(2)利用分布函數(shù)F(x)求概率分布,求法步驟為： 第一步：F(x)的各間斷點(diǎn)xk的取值為X的可能取值； 第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)–F(xk–0)求出事件{X=xk}的概率。,例2.2 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 試求X的概率分布。,,,,,解: (1) F(x)的間斷點(diǎn)為–1,1,3, 即為X的可能取值,(2) p1=P(X= –1)=F(–1)–F(–1–0)=0.4–0=0.4,p2=P(X=1)=F(1)–F(1–0)=0.8–0.4=0.4,p3=P(X=3)=F(3)–F(3–0)=1–0.8=0.2,(3) 利用分布律的基本性質(zhì)求分布律,,,,,例2.3 一批產(chǎn)品分為一、二、三級(jí)，其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍，三級(jí)品是二級(jí)品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個(gè)作質(zhì)量檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)的可能結(jié)果，試求出它的概率分布。,解: 設(shè)抽取產(chǎn)品的檢驗(yàn)等級(jí)數(shù)為X, 則X =1,2,3, 依題意知,,,,,二、常見的離散型隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為：,1、（0–1）分布（兩點(diǎn)分布）,,,,,例： (1)對(duì)新生嬰兒進(jìn)行性別登記，記女嬰出現(xiàn)的事件為A (2)檢查一件產(chǎn)品是否合格，記合格品的事件為A (3)檢查某車間電力消耗量是否超負(fù)荷，記超過負(fù)荷事件為A (4)拋擲硬幣一次，記正面出現(xiàn)的事件為A。,,,,,例2.4 設(shè)100件產(chǎn)品，其中有95件合格品，5件次品?，F(xiàn)從中任取一件，設(shè)隨機(jī)變量 試求X的概率分布及分布函數(shù)。,2、等可能分布(離散型均勻分布),,,,,如果隨機(jī)變量X可以取n個(gè)不同的值x1, x2,…, xn, 且取每個(gè)xk值的概率相等, 即 P{X=xk}=1/n k=1,2,…,n 則稱X服從等可能分布或離散型均勻分布, 其分布參數(shù)為n, 可記為X~U(n)。,其分布函數(shù)為,注: 等可能概型中, 試驗(yàn)E的可能結(jié)果只可能是有限個(gè),,,,,3、二項(xiàng)分布,若隨機(jī)變量X取值為0,1,2,…,n的概率為 則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p)。,其分布函數(shù)為,,,,,應(yīng)用模型： n重貝努利概型中事件A發(fā)生的次數(shù)X即服從B(n,p)。,,,,,例如： (1)n次投擲一枚硬幣，其中正面出現(xiàn)次數(shù)X的分布； (2)檢查n只產(chǎn)品(次品率一定)，其中次品個(gè)數(shù)X的分布； (3)n臺(tái)同型號(hào)機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)，每臺(tái)機(jī)床出故障的概率相同，則n臺(tái)機(jī)床在同一小時(shí)內(nèi)出故障的臺(tái)數(shù)的分布； (4)n個(gè)新生嬰兒中男嬰的個(gè)數(shù)的分布； (5)某射手向同一目標(biāo)射擊n次，n次射擊中擊中靶心的次數(shù)的分布。,,,,,注3 當(dāng)二項(xiàng)分布B(n,p)中的參數(shù)n=1時(shí), 化為兩點(diǎn)分布B(1,p), 即兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例,注1,注2 二項(xiàng)分布B(n,p)的分布律P{X=k}在,例2.5 設(shè)某種疾病在鴨子中傳染的概率為0.25。 (1)求在正常情況下(未注射防疫血清時(shí))，50只鴨子和39只鴨子中，受到感染的最大可能只數(shù)； (2)設(shè)對(duì)17只鴨子注射甲種血清后，仍有一只受到感染；對(duì)23只鴨子注射乙種血清后，仍有兩只受到感染。 試問這兩種血清是否有效？,,,,,注4 一般地, 當(dāng)n不大于10時(shí), F(x)的值可由《二項(xiàng)分布表》查出, 若n較大時(shí), 通常采用泊松分布函數(shù)或正態(tài)分布函數(shù)作近似計(jì)算。,,,,,解: 設(shè)n只鴨子中受感染的只數(shù)為X, 則X~B(n,0.25),,,,,由于假定血清無效, 而得出相應(yīng)事件出現(xiàn)的概率很小, 所以, 可以初步判斷兩種血清都是有效的。且由于F23(2)F17(1), 我們還可以認(rèn)為乙種血清的效果稍好一些。,,,,,4、泊松分布,如果隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,…, 取各值的概率為 其中?0為常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為?的泊松分布, 記作X~? (?); 其分布函數(shù)為,,,,,注1 泊松分布中的參數(shù)?表征平均特性, 如X表示單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)接到的呼叫次數(shù), 即?表示在這單位時(shí)間內(nèi)接到呼叫次數(shù)的平均數(shù)。,應(yīng)用模型： 作為描述大量獨(dú)立試驗(yàn)中稀有事件A出現(xiàn)次數(shù)的分布模型。,例如： (1)電話交換臺(tái)在一段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù); (2)一大批產(chǎn)品中的廢品數(shù); (3)某路段, 某時(shí)段內(nèi)交通事故出現(xiàn)的次數(shù); (4)某商店一天內(nèi)銷售的某種特殊商品數(shù); (5)一本書中某一頁上印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)。,,,,,注2 泊松分布常用于近似計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。 當(dāng)貝努利試驗(yàn)的次數(shù)n很大，而在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率p很小，且?=np適中時(shí)，可用泊松分布作二項(xiàng)分布概率的近似計(jì)算，即 從下表可看出近似程度。（見下頁）,注3 泊松分布? (?)的分布律P{X=k}在,,,,,,,,,例2.6 某電話交換臺(tái)在一般情況下, 一小時(shí)內(nèi)平均接到電話60次, 已知電話呼喚次數(shù)X服從泊松分布, 試求在一般情況下, 30秒內(nèi)接到電話次數(shù)不超過一次的概率。,,,,,例2.7 設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備, 各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01, 且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法, 其一是由4人維護(hù), 每人負(fù)責(zé)20臺(tái); 其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái), 試比較兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。,,,,,解: (1)按第一種方法, 設(shè)X為“第一人維護(hù)的20臺(tái)同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”, Ai (i=1,2,3,4)為“第i人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修”,則80臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為 P(A1?A2?A3?A4),依題意X~B(20,0.01), 此處?=np=0.2, 故,?P(A1),=P(X ?2),,,,,故 P(A1?A2?A3?A4) ?0.0175231,,,,,(2)按第二種方法, 設(shè)Y為“80臺(tái)中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”, 此時(shí)Y~B(80,0.01), 此處?=np=0.8,,則80臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為,查泊松分布表得 P(Y ?4)≈0.00908,所以，第二種方法更好。,例2.8 一臺(tái)總機(jī)共有300臺(tái)分機(jī), 總機(jī)擁有13條外線, 假設(shè)每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為3%, 試求每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線時(shí)能及時(shí)得到滿足的概率和同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù)。,,,,,解: 設(shè)300臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線的臺(tái)數(shù)為X, 則X~B(300,0.03),由注3知, 向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù)為8或9臺(tái)(因?=9為整數(shù)),,,,,例2.9(壽命保險(xiǎn)問題) 設(shè)在保險(xiǎn)公司里有2500個(gè)同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn), 在一年里每個(gè)人死亡的概率為0.002, 每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在每年一月一日付12元保險(xiǎn)費(fèi), 而死亡時(shí)家屬可到保險(xiǎn)公司領(lǐng)取賠付費(fèi)2000元。 試問： (1)“一年內(nèi)保險(xiǎn)公司虧本”(記為A)的概率是多少？ (2)“一年內(nèi)保險(xiǎn)公司獲利不少于10000, 20000元”(分別記為B1,B2)的概率是多少？,解：每年保險(xiǎn)公司收入為250012=30000元, 設(shè)X為2500人在一年中死亡的人數(shù), 則保險(xiǎn)公司應(yīng)賠付2000X元, 若A發(fā)生, 則有 2000X30000 得 X15（人） 即若一年中死亡人數(shù)超過15人, 則公司虧本(此處不計(jì)3萬元所得利息)。,,,,,,,,,依題意X~B(2500,0.002), 故,,,,,即一年內(nèi)保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上。,,,,,同理,即一年內(nèi)保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為0.62,