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第十三章軸對稱單元測試 一、單選題（共10題；共30分） 1、下列圖形中一定是軸對稱圖形的是( ) A、梯形 B、直角三角形 C、角 D、平行四邊形 2、如圖所示幾何圖形中，一定是軸對稱圖形的有幾個（ ） A、2 B、3 C、4 D、5 3、點A（3,4）關(guān)于x軸對稱的點B的坐標為（ ）． A、(6，4) B、(-3,5) C、(-3，-4) D、( 3，-4) 4、已知兩角及夾邊作三角形，所用的基本作圖方法是（　?。? A、作已知角的平分線 B、作已知線段的垂直平分線 C、過一點作已知直線的高 D、作一個角等于已知角和作一條線段等于已知線段 5、已知等腰三角形的一邊長為5，另兩邊的長是方程x2﹣6x+m=0的兩根，則此等腰三角形的周長為（　?。? A、10 B、11 C、10或11 D、11或12 6、如圖，直線l：y=﹣x+b，點M（3，2）關(guān)于直線l的對稱點M1落在y軸上，則b的值等于（　　） A、3 B、2 C、1或2 D、2或3 7、把經(jīng)過點（﹣1，1）和（1，3）的直線向右移動2個單位后過點（3，a），則a的值為（　?。? A、1 B、2 C、3 D、4 8、點N（a，﹣b）關(guān)于y軸的對稱點是坐標是（　?。? A、（﹣a，b） B、（﹣a，﹣b） C、（a，b） D、（﹣b，a） 9、若等腰三角形的兩邊長分別是3和6，則這個三角形的周長是（ ） A、12 B、15 C、12或15 D、9 10、下列幾何圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ） A、等腰三角形 B、正三角形 C、平行四邊形 D、正方形 二、填空題（共8題；共24分） 11、一個大的等腰三角形能被分割為兩個小等腰三角形，則該大等腰三角形頂角的度數(shù)是________． 12、已知等腰三角形的一邊長等于4cm，另一邊長等于9cm，則此三角形的周長為________cm． 13、如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E、F，連接CE，則CE的長為________ 14、如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，AC于D，E兩點，若AC=9cm，BC=5cm，則△BCE的周長為________cm． 15、如圖，在△ABC中，∠BAC=90，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任一點，則△ABP周長的最小值是________． 16、如圖，在正三角形ABC中，AD⊥BC于點D，則∠BAD=________． 17、一個汽車車牌在水中的倒影為 ，則該車的牌照號碼是________． 18、如圖：△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為________． 三、解答題（共5題；共30分） 19、小明、小亮兩個同學(xué)對于等腰三角形都很感興趣，小明說：“我知道有一種等腰三角形，過它的頂點作一條直線可以將原來的等腰三角形分成兩個等腰三角形，”小亮說：“你才知道一種??！我知道好幾種呢！”聰明的你知道幾種呢？（要求畫出圖形，標明角度，不要求證明，請注意有好幾種情況喲） 20、如圖，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105，求∠A，∠C度數(shù)． 21、已知如圖，A（3，0），B（0，4），C為x軸上一點． （1）畫出等腰三角形ABC； （2）求出C點的坐標． 22、已知甲村和乙村靠近公路a、b，為了發(fā)展經(jīng)濟，甲乙兩村準備合建一個工廠，經(jīng)協(xié)商，工廠必須滿足以下要求： （1）到兩村的距離相等； （2）到兩條公路的距離相等．你能幫忙確定工廠的位置嗎？ 23、如圖1，定義：在四邊形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180，則把四邊形ABCD叫做互補等對邊四邊形，如圖2，在等腰△ABE中，AE=BE，四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，求證：∠ABD=∠BAC=?∠E． 四、綜合題（共1題；共15分） 24、如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1，△ABC的三個頂點都在格點上，如果用（1，0）表示C點的位置，用（4，1）表示B點的位置，那么． (1)畫出直角坐標系； (2)畫出與△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△DEF； (3)P為x軸上的一個動點，是否存在P使PA+PB的值最?。咳舨淮嬖?，請說明理由；若存在請求出點P的坐標和PA+PB的最小值．  答案解析 一、單選題 1、【答案】 C 【考點】軸對稱圖形 【解析】【分析】如果一個圖形沿一條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此進行判斷． 【解答】根據(jù)軸對稱圖形的定義： A、梯形不一定是軸對稱圖形，故此選項錯誤； B、直角三角形，不一定是軸對稱圖形，故此選項錯誤； C、角的角平分線所在直線可以作為一條對稱軸，故是軸對稱圖形，故此選項正確； D、平行四邊形不是軸對稱圖形，故此選項錯誤． 故選：C． 【點評】本題考查軸對稱的定義，難度不大，掌握軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 2、【答案】 D 【考點】軸對稱圖形 【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，分析各圖形的特征求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．這條直線叫做對稱軸．【解答】所有圖形沿某條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合，那么一定是軸對稱圖形的有圓弧、角、扇形、菱形和等腰梯形共5個． 故選D．【點評】本題考查了軸對稱的知識，注意掌握軸對稱圖形的判斷方法：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形 3、【答案】 D 【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標 【解析】【解答】因為．點A（3,4）關(guān)于x軸對稱，所以點B的坐標為（3，-4）．故D項正確．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點橫坐標不變，縱坐標為相反數(shù)可完成此題． 4、【答案】D 【考點】作圖—基本作圖 【解析】【解答】解：兩角及夾邊作三角形，所用的基本作圖方法是作一個角等于已知角和作一條線段等于已知線段． 故選：D． 【分析】根據(jù)題意可得作圖過程中需要作一條線段等于已知線段，然后再作兩個角等于已知角． 5、【答案】B 【考點】等腰三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：設(shè)方程x2﹣6x+m=0的兩根是x1、x2 ， ∴x1+x2=6，且這兩根是等腰三角形的兩邊，都是正數(shù)， ∵x1+x2=6＞5，三邊滿足三角形中的兩邊之和大于第三邊， ∴這個三角形的周長是6+5=11． 故選：B． 【分析】根據(jù)兩邊長是方程x2﹣6x+m=0的兩根，由一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系可以得到：兩邊之和為6，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系進行分析，從而求得三角形的周長． 6、【答案】B 【考點】坐標與圖形變化-對稱 【解析】【解答】解：直線MM′的解析式為y=x+b1 ， 把M（3，2）代入函數(shù)解析式，得 3+b1=2．解得b1=﹣1． 直線MM′的解析式為y=x﹣1， 當x=0時，y=﹣1，即M′（0，﹣1） MM′的中點（， ）， 把MM′的中點（， ）代入y=﹣x+b，得 ﹣?+b=， 解得b=2， 故選：B． 【分析】根據(jù)對稱點所連的線段被對稱軸垂直平分，可得MM′的直線，根據(jù)直線解析式，可得自變量為零時的函數(shù)值，即M′，根據(jù)對稱點的中點坐標在它的對稱軸上，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案． 7、【答案】C 【考點】坐標與圖形變化-對稱 【解析】【解答】解：設(shè)直線解析式為y=kx+b， ∵經(jīng)過點（﹣1，1）和（1，3）， ∴， 解得， ∴直線解析式為y=x+2， ∵直線向右移動2個單位， ∴y=x﹣2+2=x， ∵過點（3，a）， ∴a=3． 故選：C． 【分析】首先設(shè)直線解析式為y=kx+b，再利用待定系數(shù)法計算出直線解析式y(tǒng)=x+2，然后根據(jù)平移可得直線解析式為y=x，然后再代入（3，a）計算出a的值． 8、【答案】 B 【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標 【解析】【解答】解：N（a，﹣b）關(guān)于y軸的對稱點是坐標是（﹣a，﹣b）， 故選：B． 【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，可得答案． 9、【答案】 B 【考點】等腰三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：①若3是腰，則另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不構(gòu)成三角形，舍去． ②若3是底，則腰是6，6． 3+6＞6，符合條件．成立． ∴C=3+6+6=15． 故選B． 【分析】根據(jù)題意，要分情況討論：①、3是腰；②、3是底．必須符合三角形三邊的關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊． 10、【答案】 D 【考點】軸對稱圖形 【解析】【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤； B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤； C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯誤； D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故正確． 故選D． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 二、填空題 11、【答案】108或90或36或． 【考點】等腰三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，求∠BAC的度數(shù)． ∵AB=AC，BD=AD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD， ∵∠CDA=2∠B， ∴∠CAB=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180， ∴5∠B=180， ∴∠B=36， ∴∠BAC=108． （2）如圖2，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD，求∠BAC的度數(shù)． ∵AB=AC，AD=BD=CD， ∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB ∴∠BAC=2∠B ∵∠BAC+∠B+∠C=180， ∴4∠B=180， ∴∠B=45， ∴∠BAC=90． （3）如圖3，△ABC中，AB=AC，BD=AD=BC，求∠BAC的度數(shù)． ∵AB=AC，BD=AD=BC， ∴∠B=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C ∵∠BDC=2∠A， ∴∠C=2∠A=∠B， ∵∠A+∠ABC+∠C=180， ∴5∠A=180， ∴∠A=36． （4）如圖4，△ABC中，AB=AC，BD=AD，CD=BC，求∠BAC的度數(shù)． 假設(shè)∠A=x，AD=BD， ∴∠DBA=x， ∵AB=AC， ∴∠DBC=﹣x， CD=BC， ∴∠BDC=2x=∠DBC=﹣x， 解得：x=． 故答案為：108或90或36或． 【分析】因為題中沒有指明這個等腰三角形是什么形狀，故應(yīng)該分四種情況進行分析，從而得到答案． 12、【答案】22 【考點】等腰三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：分兩種情況： 當腰為4時，4+4＜9，所以不能構(gòu)成三角形； 當腰為9時，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能構(gòu)成三角形，周長是：9+9+4=22． 故填22． 【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4cm和9cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形． 13、【答案】 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì) 【解析】【解答】解：EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=CO． 所以△AOE≌△COE． 設(shè)CE為x． 則DE=AD﹣x，CD=AB=2． 根據(jù)勾股定理可得x2=（3﹣x）2+22 解得CE= ． 故答案為 ． 【分析】本題首先利用線段垂直平分線的性質(zhì)推出△AOE≌△COE，再利用勾股定理即可求解． 14、【答案】 14 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線， ∴AE=BE， ∴△BCE的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC， ∵AC=9cm，BC=5cm， ∴△BCE的周長=9+5=14cm． 故答案為：14． 【分析】根據(jù)線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等可得AE=BE，然后根據(jù)三角形的周長的定義整理得到△BCE的周長=AC+BC． 15、【答案】7 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC， ∴B、C關(guān)于EF對稱， 連接AC交EF于D， ∴當P和D重合時，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長， ∴△ABP周長的最小值是4+3=7． 故答案為：7． 【分析】根據(jù)題意知點B關(guān)于直線EF的對稱點為點C，故當點P與點D重合時，AP+BP的最小值，求出AC長度即可得到結(jié)論． 16、【答案】30 【考點】等邊三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD= ∠BAC=30， 故答案為：30． 【分析】根據(jù)正三角形ABC得到∠BAC=60，因為AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠BAD的度數(shù)． 17、【答案】W5236499 【考點】生活中的軸對稱現(xiàn)象 【解析】【解答】解： W 5 2 3 6 4 9 9 ∴該車的牌照號碼是W5236499． 【分析】易得所求的牌照與看到的牌照關(guān)于水平的一條直線成軸對稱，作出相應(yīng)圖形即可求解． 18、【答案】 19 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線， ∴AD=CD，AC=2AE=6cm， 又∵△ABD的周長=AB+BD+AD=13cm， ∴AB+BD+CD=13cm， 即AB+BC=13cm， ∴△ABC的周長=AB+BC+AC=13+6=19cm． 故答案為19． 【分析】由已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到AD=CD，AC=2AE，結(jié)合周長，進行線段的等量代換可得答案． 三、解答題 19、【答案】 解：舉例如下，如圖所示： （1）AC=BC，∠ACB=90，CD=AD=DB； （2）AB=AC=CD，BD=AD； （3）AB=AC，AD=CD=BC； （4）AB=AC，AD=CD，BD=BC． 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【分析】首先要知道等腰三角形的定義，即有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．那么本題中要做出等腰三角形可以分兩種情況進行討論，一是過頂角截等腰三角形的底邊，二是過底角截等腰三角形的腰． 20、【答案】解：∵AB=BD， ∴∠BDA=∠A， ∵BD=DC， ∴∠C=∠CBD， 設(shè)∠C=∠CBD=x， 則∠BDA=∠A=2x， ∴∠ABD=180﹣4x， ∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180﹣4x+x=105， 解得：x=25，所以2x=50， 即∠A=50，∠C=25． 【考點】等腰三角形的性質(zhì) 【解析】【分析】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可設(shè)∠C=∠CDB=x，則∠BDA=∠A=2x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的推論，可以求出∠A，∠C度數(shù)． 21、【答案】解：設(shè)C（x，0）， （1）如圖 （2）①當A是頂點時，C1（﹣2，0），C2（8，0）， ②當B是頂點時，C3（﹣3，0） ③當C是頂點時，． 【考點】等腰三角形的性質(zhì) 【解析】【分析】（1）根據(jù)A（3，0），B（0，4），C為x軸上一點．利用兩點間的距離可分別求出C點坐標． （2）設(shè)C（x，0），分3種情況①當A是頂點時，②當B是頂點時，③當C是頂點時三種情況進行討論即可． 22、【答案】解：①以O(shè)為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交直線a、b于點A、B； ②分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫圓，兩圓相交于點C，連接OC； ③連接ED，分別以E、D為圓心，以大于ED為半徑畫圓，兩圓相交于F、G兩點，連接FG； ④FG與OC相交于點H，則H即為工廠的位置． 故點H即為工廠的位置． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì) 【解析】【分析】先作出兩條公路相交的角平分線OC，再連接ED，作出ED的垂直平分線FG，則OC與FG的交點H即為工廠的位置． 23、【答案】【解答】證明：∵AE=BE， ∴∠EAB=∠EBA， ∵四邊形ABCD是互補等對邊四邊形， ∴AD=BC， 在△ABD與△BAC中， ∴△ABD≌△BAC（SAS）， ∴∠ABD=∠BAC，∠ADB=∠BCA， ∵∠ADB+∠BCA=180， ∴∠BCA=90， 在等腰△ABE中，∠EAB=∠EBA=（180﹣∠E）2=90﹣?∠E， ∴∠ADB=90﹣∠EAB=90﹣（90﹣∠E）=∠E， ∴∠ABD=∠BAC=∠E． 【考點】等腰三角形的性質(zhì) 【解析】【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠EAB=∠EBA，根據(jù)四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，可得AD=BC，根據(jù)SAS可證△ABD≌△BAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠BAC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明． 四、綜合題 24、【答案】（1）解：如圖所示： （2）解：如圖所示： （3）解：存在，連接BD交x軸于點P，連接PA，由對稱可知D（0，﹣2）， 設(shè)直線BD的表達式為y=kx+b，則有B=﹣2，4k+b=1， 解得：k= ，b=﹣2， 所以直線BD的表達式為y= x﹣2， 當y=0時，有 x﹣2=0， 解得x= ， 所以P（ ，0）， 由對稱可知PA=PD，所以PA+PB=PD+PB=DB= =5． 【考點】作圖-軸對稱變換 【解析】【分析】（1）根據(jù)C點坐標可確定原點位置，然后可畫出坐標系；（2）首先確定A、B、C三點關(guān)于x軸對稱的對稱點位置，然后連接即可；（3）連接BD交x軸于點P，連接PA，設(shè)直線BD的表達式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法確定解析式，然后根據(jù)解析式確定P點坐標，再利用勾股定理計算出BD的長．