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解析幾何,第五章 二次曲線的一般理論,在平面上，由二元二次方程,所表示的曲線，叫做二次曲線。在這一章里，我們將討論二次曲線的幾何性質，以及二次曲線的化簡，最后對二次曲線進行分類。,二次曲線的一般理論,為了方便起見，特引進一些記號：,二次曲線與直線的相關位置,討論二次曲線,與直線,的交點，可以采用把直線方程（2）代入曲線方程（1）然后討論關于t的方程,（1）,（2）,（3）,（4）,對（3）或（4）可分以下幾種情況來討論：,二次曲線的漸近方向,定義滿足條件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向.,定義 沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的，有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的，有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的.,1)橢圓型：I20 2)拋物型： I2＝0 3)雙曲型： I20,二次曲線的中心與漸近線,定義 如果點C是二次曲線的通過它的所有弦的中點(C是二次曲線的對稱中心)，那么點C叫做二次曲線的中心.,定理 點C(x0 ,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：,推論 坐標原點是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含x與y的一次項.,二次曲線(1)的的中心坐標由下方程組決定：,如果I2≠0，則(5.2－2)有唯一解，即為唯一中心坐標,如果I2＝0，分兩種情況：,定義1 有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線，沒有中心的二次曲線叫無心二次曲線，有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線，無心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線.,定義2 通過二次曲線的中心，而且以漸近方向為方向的直線叫做二次曲線的漸近線.,定理 二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點，或者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的組成部分.,二次曲線的切線,定義1 如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個點，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個重合的交點叫做切點，如果直線全部在二次曲線上，我們也稱它為二次曲線的切線，直線上的每個點都可以看作切點.,定義2 二次曲線(1)上滿足條件F1(x0,y0)=0 F2(x0,y0)=0的點(x0,y0)叫做二次曲線的奇異點，簡稱奇點；二次曲線的非奇異點叫做二次曲線的正常點.,定理1 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點，那么通過(x0,y0)的切線方程是 (x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切點. 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的奇異點，那么通過(x0,y0)的切線不確定，或者說過點(x0,y0)的每一條直線都是二次曲線(1)的切線.,推論 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點，那么通過(x0,y0)的切線方程是：,例1 求二次曲線x2-xy+y2+2x-4y-3=0在點(2,1)的切線方程,解：因為F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0 所以(2,1)是二次曲線上的正常點，因此得在 點(2,1)的切線方程為： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0,二次曲線的直徑,定理1 二次曲線的一族平行弦的中點軌跡是一條直線.,定義 二次曲線的平行弦中點軌跡叫做這個二次曲線的直徑，它所對應的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑.,推論 二次曲線的一族平行弦的斜率為k，那么共軛于這族平行弦直徑方程為 F1(x,y)+kF2(x,y)=0,定理 2 中心二次曲線的直徑通過曲線的中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向，線心二次曲線的直徑只有一條，即曲線的中心直線,共軛方向與共軛直徑,中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向.,定義 中心曲線的一對具有相互共軛方向的直徑叫做一對共軛直徑.,定義1 二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑叫做二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向． 顯然，主直徑是二次曲線的對稱軸，因此主直徑也叫做二次曲線的軸，軸與曲線的交點叫做曲線的頂點．,二次曲線的主直徑與主方向,主方向與主直徑的求法,二次曲線方程的化簡與分類,1.平面直角坐標變換,為轉軸公式，其中α為坐標軸的旋轉角.,二次曲線方程的化簡和分類,定理1 適當選取坐標系，二次曲線的方程總可以化成下列三個簡化方程中的一個：,定理2 通過適當選取坐標系，二次曲線的方程總可以寫成下面九種標準方程的一種形式：,,本章學習結束,謝謝大家,