《傅里葉變換性質(zhì)-傅里葉變換的性質(zhì)證明》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《傅里葉變換性質(zhì)-傅里葉變換的性質(zhì)證明(57頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、傅里葉變換的性質(zhì)
對(duì)稱性質(zhì)
主要內(nèi)容
奇偶虛實(shí)性
線性性質(zhì) 尺度變換性質(zhì)
時(shí)移特性 微分性質(zhì)
頻移特性 時(shí)域積分性質(zhì)
忌乂
傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了
信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。 討論傅里葉變換的性質(zhì),目的在于:
?了解特性的內(nèi)在聯(lián)系;
?用性質(zhì)求F((o);
?了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用
一.對(duì)稱性質(zhì)
1 ?性質(zhì)
港/ (z) G 列⑼ 則(- 6)
豹(f丹偶函數(shù) 則F&21!睛斶
2?意義
若戸⑷形狀與珥)
2、相同,@ T J
BlF(z)的頻譜函數(shù)形狀與/(『涉狀相同,&T砒 幅度差2疫
…線性性質(zhì)
1 ?性質(zhì)
若過)分片9),矗⑵少血⑷)
則 cifi “) + 5 fi “) ◎ c\^\ 9)+勺碼 9) s 勺為 常數(shù)
2.例
(/)=-+- Sgn()分歹(6)=打 <5(g)+丄
2 2 jay
?奇偶虛實(shí)性
證明:
由定義 F[f⑺卜匸/ (以一佔(zhàn)日"再⑷)
可以得到
F|/(-/)]=匸列-論如肛=匸/何戶宀du=F(-^
四?尺度變換性質(zhì)
劫*砂,則如㈠捫 2為非零畫數(shù)
意義
(1) 0l時(shí)域
3、壓縮,頻域擴(kuò)屜倍。 說明
(3) a=-l 歹()T歹(一血 說明
3?意義
J
E
7(/)
(1) 0\時(shí)域壓縮,頻域擴(kuò)展a倍。
持續(xù)時(shí)間短,變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加,頻
帶展寬,各分量的幅度下降a倍。
此例說明:信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比, 有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞,要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮,則 要以展開頻帶為代價(jià)。
⑶ a = -l 于(f)T子(T)FS)TF(—。)=跖(G)
4、
S/(z0實(shí)函數(shù)時(shí),戸(-6)=礦(町共輒
■/渥(m軸偶 礙 X(o>b奇爵數(shù)
用一毎)=鳳一 e)+jX(—?dú)埃?鳳國(guó)—=礦⑷)
五?時(shí)移特性
W (4宀珥嘰 81/ (―邙㈠卩何訂%;
若戸9)=叭呵胃如 則/"一即“列叭pmiwl 幅度頻譜無變化,只影響相位頻譜,
相移%_ar 理區(qū)
I左 血0
時(shí)移加尺度變換
[仿才伽)=命
港/ &心戸㈣ 勉f如+方)分占F
證明過程
六.頻移特性
1?性質(zhì)
若/⑷分叭國(guó)
則")嚴(yán)"(廠叫%為常拓注竜土號(hào)
2.證明
F[“)嚴(yán)卜匸[“)嚴(yán)汁缶
二「為尸戸@一呦)
3?說明
5、
時(shí)劈⑷乘』燈,頻域頻譜撅一一右移碣
時(shí)埠⑷乘*5,頻域頻譜搬一一左移碣 4?應(yīng)用
通信中調(diào)制與解調(diào),頻分復(fù)用。
七?微分性質(zhì)
時(shí)域微分性質(zhì)
fir) o 卩9), ujrczj 一j 窗 頻域微分性質(zhì)
蘢f (z)一列叭則裁兇分但戸3)但at
-jtf何分d列血陽如
(-腫“宀啤
1?時(shí)域微分
/(/)分F9),則嚴(yán)分j亦9)
一般情況下/何(M㈠G f 9)
若已知科/”測(cè)則歹(血二件廠卩
鞏嚴(yán)⑷]=j亦㈣:
J幅度乘G
(相住增如jT剜1
6、
注意
如果/⑴中有確定的直流分量,應(yīng)先取出單獨(dú)求傅里 變換,余下部分再用微分性質(zhì)。
(t )分F(血 直流1/ ◎加5@) 余下部分百 = M-| = jsgnM,
A &爐分八(工卜死心1, A⑷料占
d/
2?頻域微分性質(zhì)
若右⑷分理礎(chǔ)則芽⑷分詛尸9)皿歸
或—j芽?jī)捶?
推廣
(―忒如一
d B 歹(g)
八?時(shí)域積分性質(zhì)
若兀)分尸(專則
呦=附丄/簡(jiǎn) ---
也可以記作:
F((d)-丄-+拠
i
證明
<0. a
因?yàn)?
7、心仏)]二匸/廖弓7
x 1
當(dāng) > 05 4\x: = ffjtj z = —, d = — d a: 砒3)] 2匸衣嚴(yán)
— at — -\a\i ; z = —= —
鞏/(&)]=計(jì)匚f ^x
a l心丿
丨 f 二一]—i d x
= r-|P Jfl Adx= ”卩F
綜合上述馬種情況
等效耶2中寬度與等效頻霸寬度
八"八 八d/加
/(0)
F(0
%)
G)
/(Z)dz = /(O)r
=2 匸 F()d
???兔=竺
r=o
J" F(6>)d^ = F(0)B
F(O)= /0dA
Bf=
T
o
等效脈沖寬 度與占
8、有的 等效帶寬成
反比。 ?
丿
例3—7-1
占("好 1, F(z) =1O 171^
例3-7-2
已 ^>F[sgn(z)] = ^-,
W
2
則「分 2jrsgn(—
9、,教材3?2)
令九((康示矩形單脈沖 信號(hào),其頻譜函數(shù)卩0@),
F0(fi>) = ErSa
⑹
,柑②-勻的頻譜密度函數(shù).
atr\
c f (ur
vb = -5,對(duì)耐移沐向右)/①一即宀匚-S趨〒
1 2 \ 4
8T
~2~
相同
例 3-7-9
已坷贏
方法一:先標(biāo)度變換,再時(shí)延
■ =2 .. f(2z) |
方法二:先時(shí)延再標(biāo)度變換
對(duì)耐移5(向右):/(if-5)^>KTSa
Et
例3-7-6 (教材例3?4)
已知矩形調(diào)幅信號(hào)/(r) = G0COS(d>o^ 譏)
其中G0為矩形脈沖,脈沖幅勘
■?
脈寬為G
10、試求其頻譜函數(shù)。
E
(a)矩形調(diào)幅信號(hào)的波形
G(d>)=ErSa
a)Ty
幾)=丄G(淤斶+訂如)
2
2 2
頻譜圖
F(a))=丄G-叫)+ 丄+ ty )
2 2
q_U)t
""2
「6+小「
2 將包絡(luò)線的頻譜一分為二,向左、右各平移%
例3-7-5
求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù).
三角形圏數(shù)—方波
方波一蘭T沖激函數(shù)
11、
8
T T
J。% _4E十2E尹球
2+r 吃 1
F”?仙=匚[竿+貝-炎)+竽彳* -
滬,?
二2E尹% -竺+ 2E亡-弘% = G砧戸何=-亦歹何
T
%)=厶
—at
_ 1 2E
-G^ T
一嚴(yán)
sm
4 )
8
已樹梢◎ Fg), 解:
唄-2)旳]
例3-7-8
求唄—2)旳卜?
胡必)-叭)]
8
例3了7廠9
解:
tn=ri
1 <-> 2 開(5(g)二 F(at)
dot
譏g嚀]
2/
d" [2開&血]
12、
例3-7-10
1 ?求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換
解:已知 (z) = Jr 郭)肛 (5(/) O 1
1 +7T規(guī)Q)1=丄+打盤國(guó)
2
2 ■求門畫麹7上湫分的頻譜畫數(shù).
1
解:務(wù)曲戸書血(器)
” * Sa(O) = i,知鞏D)hD
&ZT)十上 Sil i at
OfT
T
證明
關(guān)于的躍函數(shù)
衛(wèi)(般)二1?(—廚)
誅AO是實(shí)函數(shù)(為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似,略)
羞(。)=[/(^)smai^d關(guān)于。的奇畫數(shù) f J 天@
13、)=-A (-
尸(-血二尸(6)
已知沖”卜F(-Q)
砒(-詐尸(。)
證明
覽0)=匸和加+恥*肛
當(dāng)住〉証時(shí))設(shè)血+占=x3f>Jz = -—— j dr = — dX a
k(q)=E/w 幻
當(dāng)=
..>:-d
x — h
a
a? 1J
e 11 - —dx
a
s設(shè)加+方二心則/=□=□
a匕丿
dz = — r~
dx=lf/(xk
a J
山池)嚴(yán)
證明
14、
打匸伽卡理
農(nóng))+l
■7) * 習(xí)
二桃)+法
續(xù)
變上限積分用帶時(shí)移的 單位階躍的無限積分表 示,成為/ ◎切(”
交換積分順序先上后百 即先求時(shí)移的單位階躍 信號(hào)的傅里葉變換
對(duì)積分變量T而言為 常數(shù).移到積分外
牝)+書
女■果歹(d)=ci,則第一項(xiàng)為零
二 th5(g)+ 訝匸
=扛<5(6)+丄 ”()
=勿(6護(hù)()+丄~打@)
二沁)如+理
1 0
1■好 F()? th5(g) +
J-O ■
=碩哪何+曲
de
證%
"卜匕1匸曠⑷)i血曲11 q
二/農(nóng))㈠歹⑷)詢二jMg)
即
札廠⑷卜j亦⑷)
(flash)