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內(nèi)蒙古呼和浩特市2013年中考數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．（3分）（2013?呼和浩特）﹣3的相反數(shù)是（　?。? 　 A． 3 B． ﹣3 C． D． ﹣ 考點(diǎn)： 相反數(shù)．3718684 分析： 根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可． 解答： 解：﹣3的相反數(shù)是3， 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“﹣”號(hào)；一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0． 　 2．（3分）（2013?呼和浩特）下列運(yùn)算正確的是（　　） 　 A． x2+x3=x5 B． x8x2=x4 C． 3x﹣2x=1 D． （x2）3=x6 考點(diǎn)： 同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；冪的乘方與積的乘方．3718684 專題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)同底數(shù)冪的乘法與除法，冪的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可． 解答： 解：A、x2與x3不是同類項(xiàng)不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、應(yīng)為x8x2=x6，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、應(yīng)為3x﹣2x=x，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、（x2）3=x6，正確． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查同底數(shù)冪的除法，冪的乘方的性質(zhì)以及合并同類項(xiàng)的法則；合并同類項(xiàng)時(shí)，只把系數(shù)相加減，字母與字母的次數(shù)不變，不是同類項(xiàng)的一定不能合并． 　 3．（3分）（2013?呼和浩特）觀察下列圖形，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有（　?。? 　 A． 1個(gè) B． 2個(gè) C． 3個(gè) D． 4個(gè) 考點(diǎn)： 中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形．3718684 分析： 根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解． 解答： 解：第一個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 第二個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形； 第三個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形； 第四個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形； 所以，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形共有3個(gè)． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 　 4．（3分）（2013?呼和浩特）下列說法正確的是（　?。? 　 A． “打開電視劇，正在播足球賽”是必然事件 　 B． 甲組數(shù)據(jù)的方差=0.24，乙組數(shù)據(jù)的方差=0.03，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定 　 C． 一組數(shù)據(jù)2，4，5，5，3，6的眾數(shù)和中位數(shù)都是5 　 D． “擲一枚硬幣正面朝上的概率是”表示每拋硬幣2次就有1次正面朝上 考點(diǎn)： 方差；中位數(shù)；眾數(shù)；隨機(jī)事件；概率的意義．3718684 分析： 根據(jù)方差、中位數(shù)、眾數(shù)、隨機(jī)事件和概率的意義分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可． 解答： 解：A、“打開電視劇，正在播足球賽”是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、甲組數(shù)據(jù)的方差=0.24，乙組數(shù)據(jù)的方差=0.03，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，故本選項(xiàng)正確； C、一組數(shù)據(jù)2，4，5，5，3，6的眾數(shù)是5，中位數(shù)是4.5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、“擲一枚硬幣正面朝上的概率是”表示每拋硬幣2次可能有1次正面朝上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了方差、中位數(shù)、眾數(shù)、隨機(jī)事件和概率的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方差、中位數(shù)、眾數(shù)、隨機(jī)事件和概率的定義和計(jì)算方法． 　 5．（3分）（2013?呼和浩特）用激光測(cè)距儀測(cè)得兩地之間的距離為14 000 000米，將14 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。? 　 A． 14107 B． 14106 C． 1.4107 D． 0.14108 考點(diǎn)： 科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．3718684 專題： 應(yīng)用題． 分析： 科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)數(shù)． 解答： 解：14 000 000=1.4107． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值． 　 6．（3分）（2013?呼和浩特）只用下列圖形中的一種，能夠進(jìn)行平面鑲嵌的是（　　） 　 A． 正十邊形 B． 正八邊形 C． 正六邊形 D． 正五邊形 考點(diǎn)： 平面鑲嵌（密鋪）．3718684 分析： 根據(jù)密鋪的知識(shí)，找到一個(gè)內(nèi)角能整除周角360的正多邊形即可． 解答： 解：A、正十邊形每個(gè)內(nèi)角是180﹣36010=144，不能整除360，不能單獨(dú)進(jìn)行鑲嵌，不符合題意； B、正八邊形每個(gè)內(nèi)角是180﹣3608=135，不能整除360，不能單獨(dú)進(jìn)行鑲嵌，不符合題意； C、正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120，能整除360，能整除360，可以單獨(dú)進(jìn)行鑲嵌，符合題意； D、正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180﹣3605=108，不能整除360，不能單獨(dú)進(jìn)行鑲嵌，不符合題意； 故選：C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平面密鋪的知識(shí)，注意幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角． 　 7．（3分）（2013?呼和浩特）從1到9這九個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)，是偶數(shù)的概率是（　　） 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 概率公式．3718684 分析： 先從1～9這九個(gè)自然數(shù)中找出是偶數(shù)的有2、4、6、8共4個(gè)，然后根據(jù)概率公式求解即可． 解答： 解：1～9這九個(gè)自然數(shù)中，是偶數(shù)的數(shù)有：2、4、6、8，共4個(gè)， ∴從1～9這九個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)，是偶數(shù)的概率是：． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率中概率的求法．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 8．（3分）（2013?呼和浩特）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．3718684 分析： 本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限的問題，關(guān)鍵是m的正負(fù)的確定，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下．對(duì)稱軸為x=，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）． 解答： 解：當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，﹣m＞0，m＜0， 對(duì)稱軸x=＜0， 這時(shí)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)， 一次函數(shù)圖象過二、三、四象限．故選D． 點(diǎn)評(píng)： 主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題． 　 9．（3分）（2013?呼和浩特）（非課改）已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足+=﹣1，則m的值是（　?。? 　 A． 3或﹣1 B． 3 C． 1 D． ﹣3或1 考點(diǎn)： 根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．3718684 分析： 由于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得△＞0，由此可以求出m的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和+=1，可以求出m的值，最后求出符合題意的m值． 解答： 解：根據(jù)條件知： α+β=﹣（2m+3），αβ=m2， ∴=﹣1， 即m2﹣2m﹣3=0， 所以，得， 解得m=3． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 1、考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與根的判別式及不等式組的綜合應(yīng)用能力．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根． 2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=﹣，x1?x2=． 　 10．（3分）（2013?呼和浩特）如圖，下列圖案均是長度相同的火柴按一定的規(guī)律拼搭而成：第1個(gè)圖案需7根火柴，第2個(gè)圖案需13根火柴，…，依此規(guī)律，第11個(gè)圖案需（　?。└鸩瘢? 　 A． 156 B． 157 C． 158 D． 159 考點(diǎn)： 規(guī)律型：圖形的變化類．3718684 分析： 根據(jù)第1個(gè)圖案需7根火柴，7=1（1+3）+3，第2個(gè)圖案需13根火柴，13=2（2+3）+3，第3個(gè)圖案需21根火柴，21=3（3+3）+3，得出規(guī)律第n個(gè)圖案需n（n+3）+3根火柴，再把11代入即可求出答案． 解答： 解：根據(jù)題意可知： 第1個(gè)圖案需7根火柴，7=1（1+3）+3， 第2個(gè)圖案需13根火柴，13=2（2+3）+3， 第3個(gè)圖案需21根火柴，21=3（3+3）+3， …， 第n個(gè)圖案需n（n+3）+3根火柴， 則第11個(gè)圖案需：11（11+3）+3=157（根）； 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了圖形的變化類，關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形，通過觀察思考，歸納總結(jié)出規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題，難度一般偏大，屬于難題． 　 二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分，本題要求把正確結(jié)果填在答題紙規(guī)定的橫線上，不需要解答過程） 11．（3分）（2013?呼和浩特）如圖，AB∥CD，∠1=60，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2=　30　度． 考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì)；角平分線的定義．3718684 分析： 根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD=∠1，再由FG平分∠EFD即可得到． 解答： 解：∵AB∥CD ∴∠EFD=∠1=60 又∵FG平分∠EFD． ∴∠2=∠EFD=30． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了兩直線平行，同位角相等． 　 12．（3分）（2013?呼和浩特）大于且小于的整數(shù)是　2?。? 考點(diǎn)： 估算無理數(shù)的大?。?718684 分析： 根據(jù)=2和＜＜即可得出答案． 解答： 解：∵=2，＜＜， ∴大于且小于的整數(shù)有2， 故答案為：2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的北京兩個(gè)無理數(shù)大小的能力． 　 13．（3分）（2013?呼和浩特）一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角是　180?。? 考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．3718684 分析： 根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍可得到圓錐底面半徑和母線長的關(guān)系，利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長=底面周長即可得到該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角度數(shù)． 解答： 解：設(shè)母線長為R，底面半徑為r， ∴底面周長=2πr，底面面積=πr2，側(cè)面面積=πrR， ∵側(cè)面積是底面積的2倍， ∴2πr2=πrR， ∴R=2r， 設(shè)圓心角為n，有=πR， ∴n=180． 故答案為：180． 點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，以及利用扇形面積公式求出是解題的關(guān)鍵． 　 14．（3分）（2013?呼和浩特）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間比原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同，現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)　200　臺(tái)機(jī)器． 考點(diǎn)： 分式方程的應(yīng)用．3718684 分析： 根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器的時(shí)間相同．所以可得等量關(guān)系為：現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器時(shí)間=原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)時(shí)間． 解答： 解：設(shè)：現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，則原計(jì)劃可生產(chǎn)（x﹣50）臺(tái)． 依題意得：=． 解得：x=200． 檢驗(yàn)：當(dāng)x=200時(shí)，x（x﹣50）≠0． ∴x=200是原分式方程的解． 答：現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)200臺(tái)機(jī)器． 故答案為：200． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系，這是列方程的依據(jù)．而難點(diǎn)則在于對(duì)題目已知條件的分析，也就是審題，一般來說應(yīng)用題中的條件有兩種，一種是顯性的，直接在題目中明確給出，而另一種是隱性的，是以題目的隱含條件給出．本題中“現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器”就是一個(gè)隱含條件，注意挖掘． 　 15．（3分）（2013?呼和浩特）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)．若AC=8，BD=6，則四邊形EFGH的面積為　12?。? 考點(diǎn)： 中點(diǎn)四邊形．3718684 分析： 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．利用中位線定理可得出四邊形EFGH矩形，根據(jù)矩形的面積公式解答即可． 解答： 解：∵點(diǎn)E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn)， ∴EF∥BD，且EF=BD=3． 同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF=BD， 又∵AC⊥BD， ∴EF∥GH，F(xiàn)G∥HE且EF⊥FG． 四邊形EFGH是矩形． ∴四邊形EFGH的面積=EF?EH=34=12，即四邊形EFGH的面積是12． 故答案是：12． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是中點(diǎn)四邊形．解題時(shí)，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有： （1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形； （2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形； （3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形． 　 16．（3分）（2013?呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（﹣6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為?。?，12）或（0，﹣12）?。? 考點(diǎn)： 圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理．3718684 分析： 如解答圖所示，構(gòu)造含有90圓心角的⊙P，則⊙P與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C． 注意點(diǎn)C有兩個(gè)． 解答： 解：設(shè)線段BA的中點(diǎn)為E， ∵點(diǎn)A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）． （1）如答圖1所示，過點(diǎn)E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，則易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA=90，PA=PB=； 以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C， ∵∠BCA為⊙P的圓周角， ∴∠BCA=∠BPA=45，即則點(diǎn)C即為所求． 過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，則OF=PE=5，PF=1， 在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7， ∴OC=OF+CF=5+7=12， ∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）； （2）如答圖2所示，在第3象限可以參照（1）作同樣操作，同理求得y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣12）． 綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）或（0，﹣12）． 故答案為：（0，12）或（0，﹣12）． 點(diǎn)評(píng)： 本題難度較大．由45的圓周角聯(lián)想到90的圓心角是解題的突破口，也是本題的難點(diǎn)所在． 　 三、解答題（本大題共9小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、證明過程或文字說明） 17．（10分）（2013?呼和浩特）（1）計(jì)算： （2）化簡(jiǎn)：． 考點(diǎn)： 分式的混合運(yùn)算；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．3718684 分析： （1）本題涉及到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪四個(gè)考點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序和法則計(jì)算即可求解； （2）首先把括號(hào)里的式子進(jìn)行通分，然后把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)． 解答： 解：（1） =3﹣|﹣2+|+1 =3﹣2++1 =2+； （2） =? =． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算，通分、因式分解和約分是解答的關(guān)鍵． 　 18．（6分）（2013?呼和浩特）如圖，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求證：DE=AB． 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)．3718684 專題： 證明題． 分析： 根據(jù)三角形全等的判定，由已知先證∠ACB=∠DCE，再根據(jù)SAS可證△ABC≌△DEC，繼而可得出結(jié)論． 解答： 證明：∵∠1=∠2， ∴∠1+ECA=∠2+∠ACE， 即∠ACB=∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ∵ ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE=AB． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形全等的判定方法和性質(zhì)，由∠1=∠2得∠ACB=∠DCE是解決本題的關(guān)鍵，要求我們熟練掌握全等三角形的幾種判定定理． 　 19．（6分）（2013?呼和浩特）某次知識(shí)競(jìng)賽共有20道題，每一題答對(duì)得10分，答錯(cuò)或不答都扣5分，小明得分要超過90分，他至少要答對(duì)多少道題？ 考點(diǎn)： 一元一次不等式的應(yīng)用．3718684 分析： 根據(jù)小明得分要超過90分，就可以得到不等關(guān)系：小明的得分≤90分，設(shè)應(yīng)答對(duì)x道，則根據(jù)不等關(guān)系就可以列出不等式求解． 解答： 解：設(shè)應(yīng)答對(duì)x道，則：10x﹣5（20﹣x）＞90 解得x＞12， ∵x取整數(shù)， ∴x最小為：13， 答：他至少要答對(duì)13道題． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式，正確表示出小明的得分是解決本題的關(guān)鍵． 　 20．（6分）（2013?呼和浩特）如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地經(jīng)過C地沿折線A→C→B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知AC=10千米，∠A=30，∠B=45．則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)） 考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用．3718684 分析： 過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根據(jù)AC=10，∠A=30，解直角三角形求出AD、CD的長度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的長度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解． 解答： 解：過C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中， ∵AC=10，∠A=30， ∴DC=ACsin30=5， AD=ACcos30=5， 在Rt△BCD中， ∵∠B=45， ∴BD=CD=5，BC=5， 則用AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）． 答：汽車從A地到B地比原來少走（5+5﹣5）千米． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形． 　 21．（6分）（2013?呼和浩特）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)B，BC丄x軸于點(diǎn)C，OC=2AO．求雙曲線的解析式． 考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題．3718684 專題： 綜合題． 分析： 先利用一次函數(shù)與圖象的交點(diǎn)，再利用OC=2AO求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入一次函數(shù)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得反比例函數(shù)的解析式即可． 解答： 解：由直線與x軸交于點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）， ∴OA=1． 又∵OC=2OA， ∴OC=2， ∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2， 代入直線，得y=， ∴B（2，）． ∵點(diǎn)B在雙曲線上， ∴k=xy=2=3， ∴雙曲線的解析式為y=． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)求出反比例函數(shù)與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)． 　 22．（8分）（2013?呼和浩特）某區(qū)八年級(jí)有3000名學(xué)生參加“愛我中華知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)．為了了解本次知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)分布情況，從中抽取了200名學(xué)生的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)． 請(qǐng)你根據(jù)不完整的表格，回答下列問題： 成績(jī)x（分） 頻數(shù) 頻率 50≤x＜60 10 　0.05　 60≤x＜70 16 0.08 70≤x＜80 　10　 0.02 80≤x＜90 62 　0.47　 90≤x＜100 72 0.36 （1）補(bǔ)全頻率分布直方圖； （2）若將得分轉(zhuǎn)化為等級(jí)，規(guī)定50≤x＜60評(píng)為“D”，60≤x＜70評(píng)為“C”，70≤x＜90評(píng)為“B”，90≤x＜100評(píng)為“A”．這次全區(qū)八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生約有多少學(xué)生參賽成績(jī)被評(píng)為“D”？如果隨機(jī)抽查一名參賽學(xué)生的成績(jī)等級(jí)，則這名學(xué)生的成績(jī)等級(jí)哪一個(gè)等級(jí)的可能性大？請(qǐng)說明理由． 考點(diǎn)： 頻數(shù)（率）分布直方圖；頻數(shù)（率）分布表；可能性的大小．3718684 專題： 計(jì)算題． 分析： （1）由60≤x＜70分?jǐn)?shù)段的人數(shù)除以所占的百分比，求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出70≤x＜80分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)，以及80≤x＜90分?jǐn)?shù)段的頻率，補(bǔ)全表格即可； （2）找出樣本中評(píng)為“D”的百分比，估計(jì)出總體中“D”的人數(shù)即可；求出等級(jí)為A、B、C、D的概率，表示大小，即可作出判斷． 解答： 解：（1）根據(jù)題意得：160.08=200（人）， 則70≤x＜80分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)為200﹣（10+16+62+72）=10（人），50≤x＜60分?jǐn)?shù)段頻率為0.05，80≤x＜90分?jǐn)?shù)段的頻率為0.47，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示： ； 故答案為：0.05；10；0.47； （2）由表格可知：評(píng)為“D”的頻率是=，由此估計(jì)全區(qū)八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生約有3000=150（人）被評(píng)為“D”； ∵P（A）=0.36；P（B）=0.51；P（C）=0.08；P（D）=0.05， ∴P（B）＞P（A）＞P（C）＞P（D）， ∴隨機(jī)調(diào)查一名參數(shù)學(xué)生的成績(jī)等級(jí)“B”的可能性較大． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了頻數(shù)（率）分布直方圖，頻數(shù)（率）分布表，以及可能性大小，弄清題意是解本題的關(guān)鍵． 　 23．（9分）（2013?呼和浩特）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=1，∠AEP=90，且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F， （1）的值為　　； （2）求證：AE=EP； （3）在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．3718684 分析： （1）由正方形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=90，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據(jù)同角的正弦值相等即可解答； （2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結(jié)合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結(jié)論得出； （3）作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進(jìn)而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出． 解答： （1）解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D， ∵∠AEP=90， ∴∠BAE=∠FEC， 在Rt△ABE中，AE==， ∵sin∠BAE==sin∠FEC=， ∴=， （2）證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE， ∵∠B=90，BK=BE， ∴∠BKE=45， ∴∠AKE=135， ∵CP平分外角， ∴∠DCP=45， ∴∠ECP=135， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE， 即：AK=EC， 易得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE和△ECP中， ， ∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP； （3）答：存在． 證明：作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M， 則有：DM∥EP，連接ME、DP， ∵在△ADM與△BAE中， ， ∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP， ∴MDEP， ∴四邊形DMEP為平行四邊形． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇． 　 24．（9分）（2013?呼和浩特）如圖，AD是△ABC的角平分線，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求證：點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半徑CD的長． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形．3718684 分析： （1）由AD是△ABC的角平分線，∠B=∠CAE，易證得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得EF⊥AD，由三線合一的知識(shí)，即可判定點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)； （2）首先連接DM，設(shè)EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的長，繼而求得DM與ME的長，由余弦的定義，即可求得答案； （3）易證得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得方程：（5k）2=k?（10+5k），解此方程即可求得答案． 解答： （1）證明：∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， ∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA， ∵ED為⊙O直徑， ∴∠DFE=90， ∴EF⊥AD， ∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)； （2）解：連接DM， 設(shè)EF=4k，df=3k， 則ED==5k， ∵AD?EF=AE?DM， ∴DM===k， ∴ME==k， ∴cos∠AED==； （3）解：∵∠B=∠3，∠AEC為公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE， ∴AE2=CE?BE， ∴（5k）2=k?（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2， ∴CD=k=5． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 　 25．（12分）（2013?呼和浩特）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）、B（﹣2，0）和點(diǎn)C（0，﹣8）． （1）求該二次函數(shù)的解析式； （2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，若點(diǎn)K為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△KCM的周長最小時(shí)，點(diǎn)K的坐標(biāo)為?。?，0）??； （3）連接AC，有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒8個(gè)單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OPQ的面積為S． ①請(qǐng)問P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由； ②請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍； ③設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S0的值． 考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．3718684 分析： （1）根據(jù)已知的與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和經(jīng)過的一點(diǎn)利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式即可； （2）首先根據(jù)上題求得的函數(shù)的解析式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)C′，從而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可； （3）（3）①如果DE∥OC，此時(shí)點(diǎn)D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，先求出這個(gè)區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時(shí)t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個(gè)t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t． ②本題要分三種情況進(jìn)行討論： 當(dāng)E在OC上，D在OA上，即當(dāng)0≤t≤1時(shí)，此時(shí)S=OE?OD，由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)E在CA上，D在OA上，即當(dāng)1＜t≤2時(shí)，此時(shí)S=ODE點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)E，D都在CA上時(shí)，即當(dāng)2＜t＜相遇時(shí)用的時(shí)間，此時(shí)S=S△AOE﹣S△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式； 綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達(dá)式． ③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值． 解答： 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）（x﹣6） ∵圖象過點(diǎn)（0，﹣8） ∴a= ∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣x﹣8； （2）∵y=x2﹣x﹣8=（x2﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）2﹣ ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣） ∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣8）， ∴點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（0，8） ∴直線C′M的解析式為：y=﹣x+8 令y=0 得﹣x+8=0 解得：x= ∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，0）； （3）①不存在PQ∥OC， 若PQ∥OC，則點(diǎn)P，Q分別在線段OA，CA上， 此時(shí)，1＜t＜2 ∵PQ∥OC， ∴△APQ∽△AOC ∴ ∵AP=6﹣3t AQ=18﹣8t， ∴ ∴t= ∵t=＞2不滿足1＜t＜2； ∴不存在PQ∥OC； ②分情況討論如下， 情況1：0≤t≤1 S=OP?OQ=3t8t=12t2； 情況2：1＜t≤2 作QE⊥OA，垂足為E， S=OP?EQ=3t=﹣+ 情況3：2＜t＜ 作OF⊥AC，垂足為F，則OF= S=QP?OF=（24﹣11t）=﹣+； ③當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=12t2，函數(shù)的最大值是12； 當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=﹣+，函數(shù)的最大值是； 當(dāng)2＜t＜，S=QP?OF=﹣+，函數(shù)的最大值為； ∴S0的值為． 點(diǎn)評(píng)： 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．