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試卷類(lèi)型：A 2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二） 數(shù) 學(xué)（文科） 2010．4 本試卷共4頁(yè)，21小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘. 注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”. 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上. 3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效. 4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題組號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效. 5．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回. 一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿(mǎn)分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 設(shè)全集，集合，，則= 開(kāi)始 輸入 輸出 結(jié)束 是 否 A. B. C. D. 2. 已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 A． B． C． D．或 3. 在長(zhǎng)為3m的線(xiàn)段上任取一點(diǎn), 則點(diǎn)與線(xiàn)段兩 端點(diǎn)、的距離都大于1m的概率是 A. B. C. D. 4. 如圖1的算法流程圖, 若, 則的值為 (注:框圖中的賦值符號(hào)“=”也可以寫(xiě)成“” 或“：=”) A. B. C. D. 圖1 5. 命題“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是 A．若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù) B．若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù) C．若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù) D．若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù) 6. 設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 A. B. C. D. 7. 若且, 則下列不等式成立的是 A. B. C. D. 8. 函數(shù)是 A. 最小正周期為的偶函數(shù) B. 最小正周期為的偶函數(shù) C. 最小正周期為的奇函數(shù) D. 最小正周期為的奇函數(shù) 9. 高m和m的兩根旗桿筆直地豎在水平地面上, 且相距m , 則地面上觀(guān)察兩旗桿頂端 仰角相等的點(diǎn)的軌跡為 A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線(xiàn) D. 拋物線(xiàn) 10. 已知函數(shù),若且,則下列不等式中 正確的是 A. B. C. D. 二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分． （一）必做題（11～13題） 11．已知向量,滿(mǎn)足,=2, , 則與的夾角大小是 . 12. 已知雙曲線(xiàn):的離心率, 且它的 一個(gè)頂點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離為, 則雙曲線(xiàn)的方程為 . 13.圖2是一個(gè)有層的六邊形點(diǎn)陣.它的中心是一個(gè)點(diǎn),算作第一層, 第2層每邊有2個(gè)點(diǎn),第3層每邊有3個(gè)點(diǎn) ,…,第層每邊有個(gè)點(diǎn), 則這個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)共有 個(gè). 圖2 （二）選做題（14~ 15題，考生只能從中選做一題） 14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為(參數(shù)R), 圓的參數(shù)方程為(參數(shù)), 則直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為 . 15.(幾何證明選講選做題)如圖3, 半徑為5的圓的兩條弦 和相交于點(diǎn), 為的中點(diǎn), , 則弦的長(zhǎng)度為 . 三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟， 16. （本小題滿(mǎn)分12分） 已知. (1) 求的值; (2) 求的值. 17. （本小題滿(mǎn)分12分） 某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取高二年級(jí)20名學(xué)生某次考試成績(jī)（滿(mǎn)分100分）如下表所示： 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 數(shù)學(xué)成績(jī) 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83 物理成績(jī) 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 86 若單科成績(jī)85分以上（含85分），則該科成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀． （1）根據(jù)上表完成下面的22列聯(lián)表(單位:人)： 數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀 數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀 合 計(jì) 物理成績(jī)優(yōu)秀 物理成績(jī)不優(yōu)秀 合 計(jì) 20 （2）根據(jù)題（1）中表格的數(shù)據(jù)計(jì)算，有多大的把握，認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間有 關(guān)系？ （3）若從這20個(gè)人中抽出1人來(lái)了解有關(guān)情況，求抽到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)至少有一門(mén) 不優(yōu)秀的概率. 參考數(shù)據(jù): ① 假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量和,它們的值域分別為和,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱(chēng) 合計(jì) 合計(jì) 為列聯(lián)表)為: 則隨機(jī)變量,其中為樣本容量； ②獨(dú)立檢驗(yàn)隨機(jī)變量的臨界值參考表： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. （本小題滿(mǎn)分14分） 在長(zhǎng)方體中, , 點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn). (1) 求證: 平面; (2) 過(guò)三點(diǎn)的平面把長(zhǎng)方體截成 兩部分幾何體, 求所截成的兩部分幾何體的體積的比值. 19. （本小題滿(mǎn)分14分） 我國(guó)是水資源比較貧乏的國(guó)家之一,各地采用價(jià)格調(diào)控等手段以達(dá)到節(jié)約用水的目的. 某市用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：水費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)定額損耗費(fèi),且有如下三條規(guī)定： ① 若每月用水量不超過(guò)最低限量立方米時(shí)，只付基本費(fèi)9元和每戶(hù)每月定額損耗費(fèi)元； ② 若每月用水量超過(guò)立方米時(shí)，除了付基本費(fèi)和定額損耗費(fèi)外，超過(guò)部分每立方米付元的超額費(fèi)； ③ 每戶(hù)每月的定額損耗費(fèi)不超過(guò)5元. (1) 求每戶(hù)每月水費(fèi)（元）與月用水量（立方米）的函數(shù)關(guān)系； (2) 該市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的費(fèi)用如下表所示： 月份 用水量（立方米） 水費(fèi)（元） 一 4 17 二 5 23 三 2.5 11 試分析該家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超過(guò)最低限量，并求的值. 20. （本小題滿(mǎn)分14分） 已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合， 橢圓與拋物線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，.圓的圓心是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn), 圓與軸交于兩點(diǎn)，且. （1）求橢圓的方程； （2）證明:無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過(guò)橢圓上一定點(diǎn). 21. （本小題滿(mǎn)分14分） 已知數(shù)列和滿(mǎn)足,且對(duì)任意N都有, . (1) 判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列, 并說(shuō)明理由; (2) 證明: . 2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二） 數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如 果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)． 2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容 和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半； 如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分． 一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共10小題，每小題5分，滿(mǎn)分50分． 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B C C B D A C 二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分， 滿(mǎn)分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題． 11． 12. 13. 14. 15. 三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟. 16．（本小題滿(mǎn)分12分） (本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的正切等知識(shí), 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法 和運(yùn)算求解能力) (1) 解:∵ ∴ . …2分 ∴. …4分 (2)解法1:∵, ∴ …6分 . …8分 ∴ …10分 . …12分 解法2: ∵, ∴ …6分 . …8分 ∴ …10分 . …12分 17．（本小題滿(mǎn)分12分） (本小題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用和概率等知識(shí), 考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法， 以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)) （1）解：22列聯(lián)表為(單位:人): 數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀 數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀 合 計(jì) 物理成績(jī)優(yōu)秀 5 2 7 物理成績(jī)不優(yōu)秀 1 12 13 合 計(jì) 6 14 20 …4分 （2）解：提出假設(shè)：學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間沒(méi)有關(guān)系. 根據(jù)列聯(lián)表可以求得. …6分 當(dāng)成立時(shí)，. 所以我們有的把握認(rèn)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間有關(guān)系. …8分 （3）解：由(1)可知數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)都優(yōu)秀的學(xué)生的人數(shù)為5人， 則數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)至少有一門(mén)不優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為15人. …10分 故從20名學(xué)生中抽出1名,抽到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)至少有一門(mén)不優(yōu)秀的概率為. …12分 18. （本小題滿(mǎn)分14分） (本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法， 以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力) （1）證法1：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接. ∵ 點(diǎn)是的中點(diǎn), ∴ . ∵ 平面,平面, ∴ 平面. …2分 ∵ 點(diǎn)是的中點(diǎn), ∴ . ∵ 平面,平面, ∴ 平面. …4分 ∵ ,平面,平面, ∴ 平面平面. ∵ 平面, ∴平面. …6分 證法2: 連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn), 連接, ∵ 點(diǎn)是的中點(diǎn), ∴ . ∵ , , ∴ RtRt. …2分 ∴ . ∵ 點(diǎn)是的中點(diǎn), ∴ . …4分 ∵ 平面,平面, ∴ 平面. …6分 (2) 解: 取的中點(diǎn), 連接,, ∵ 點(diǎn)是的中點(diǎn), ∴ . ∵ , ∴ . ∴ 過(guò)三點(diǎn)的平面把長(zhǎng)方體截成兩部分幾何體, 其中一部分幾何體為直三棱柱, 另一部分幾何體為直四棱柱. …8分 ∴ , ∴ 直三棱柱的體積, …10分 ∵ 長(zhǎng)方體的體積, ∴直四棱柱體積. …12分 ∴ . ∴ 所截成的兩部分幾何體的體積的比值為. …14分 (說(shuō)明: 也給分) 19．（本小題滿(mǎn)分14分） (本小題主要考查函數(shù)和方程、分段函數(shù)等知識(shí), 考查函數(shù)與方程、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象 概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)) （1）解：依題意，得 其中. …2分 （2）解：∵， ∴. 由于該家庭今年一、二月份的水費(fèi)均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于 最低限量立方米. …4分 將和分別代入， 得 …6分 兩式相減, 得. 代入得. …8分 又三月份用水量為2.5立方米， 若，將代入，得， 這與矛盾. …10分 ∴，即該家庭三月份用水量2.5立方米沒(méi)有超最低限量. 將代入，得， 由 解得 …13分 答：該家庭今年一、二月份用水超過(guò)最低限量，三月份用水沒(méi)有超過(guò)最低限量， 且. …14分 20．（本小題滿(mǎn)分14分） (本小題主要考查直線(xiàn)、圓、拋物線(xiàn)、橢圓等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、函數(shù) 與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)) （1）解法1：∵拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， …1分 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∴橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線(xiàn)的定義可知, ∵, ∴，解得. 由，且,得. ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. …3分 在橢圓:中，. . ∴. ∴橢圓的方程為. …6分 解法2：∵拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， …1分 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∴ 拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線(xiàn)的定義可知, ∵, ∴，解得. 由，且得. ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. …3分 在橢圓:中，. 由解得. ∴橢圓的方程為. …6分 （2）證法1: 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為， ∵ 圓與軸交于兩點(diǎn)，且, ∴ . ∴. ∴圓的方程為. …8分 ∵ 點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn), ∴ (). ∴. 把代入 消去整理得:. …10分 方程對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立， ∴ 解得 …12分 ∵點(diǎn)在橢圓:上, ∴無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過(guò)橢圓上一定點(diǎn). …14分 證法2: 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為， ∵ 點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn), ∴ (). …7分 ∵ 圓與軸交于兩點(diǎn)，且, ∴ . ∴ . ∴ 圓的方程為. …9分 令,則,得. 此時(shí)圓的方程為. …10分 由解得 ∴圓:與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、. …12分 分別把點(diǎn)、代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)， 可知點(diǎn)恒符合方程，點(diǎn)不恒符合方程. ∴無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過(guò)橢圓上一定點(diǎn). …14分 21．（本小題滿(mǎn)分14分） (本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、數(shù)列、不等式等知識(shí), 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括 能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)) (1) 解: 數(shù)列為等差數(shù)列. …1分 理由如下: ∵對(duì)任意N都有,, ∴. ∴,即. …3分 ∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列. …4分 (2) 證明: ∵, 且, ∴. 由(1)知. ∴ , . …6分 所證不等式,即, 也即證明. 令, 則. 再令, 則. …8分 當(dāng)時(shí), , ∴函數(shù)在上單調(diào)遞減. ∴當(dāng)時(shí),,即. ∴當(dāng)時(shí), . ∴函數(shù)在上單調(diào)遞減. …10分 ∵, ∴. ∴. …12分 ∴. ∴. ∴成立. …14分