浙江省2019年中考數(shù)學復習 第四章 幾何初步與三角形 第五節(jié) 直角三角形與勾股定理課件.ppt
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第五節(jié) 直角三角形與勾股定理,考點一 直角三角形的性質與判定 例1 (2017江蘇宿遷中考)如圖,在△ABC中, ∠ACB=90,點D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的 中點,若CD=2,則線段EF的長是 .,【分析】首先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AB的長,然后根據(jù)三角形的中位線定理求解. 【自主解答】∵Rt△ABC中,∠ACB=90,D是AB的中點,即CD是直角三角形斜邊上的中線, ∴AB=2CD=22=4. 又∵E,F(xiàn)分別是BC,CA的中點,即EF是△ABC的中位線, ∴EF= AB= 4=2.故答案為2.,應用勾股定理的注意問題 (1)應用勾股定理的前提必須是在直角三角形中; (2)當直角三角形的斜邊不確定時,要注意分類討論.,1.(2018江蘇揚州中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90, CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于點E,則下列結論一定成 立的是( ) A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC,C,2.(2017四川瀘州中考)在△ABC中,已知BD和CE分別是邊 AC,AB上的中線,且BD⊥CE,垂足為O,若OD=2 cm,OE= 4 cm,則線段AO的長為_______cm.,考點二 俯角、仰角 例2(2018四川瀘州中考)如圖,甲建筑物 AD,乙建筑物BC的水平距離AB為90 m,且 乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍,從 E(A,E,B在同一水平線上)點測得D點的仰 角為30,測得C點的仰角為60,求這兩座建筑物頂端C, D間的距離(計算結果用根號表示,不取近似值).,【分析】在直角三角形中,利用三角函數(shù)用AD表示出AE,DE, 用BC表示出CE,BE.根據(jù)BC=6AD,AE+BE=AB=90 m,求出 AD,DE,CE的長.在Rt△DEC中,利用勾股定理求出CD的長.,【自主解答】由題意知BC=6AD,AE+BE=AB=90 m.,3.(2018湖北咸寧中考)如圖,航拍無人機從 A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45,測得 底部C的俯角為60,此時航拍無人機與該建 筑物的水平距離AD為110 m,那么該建筑物的高 度BC約為______m(結果保留整數(shù), ≈1.73).,300,4.(2018四川達州中考)在數(shù)學實踐活動課上,老師帶領同學們到附近的濕地公園測量園內雕塑的高度.用測角儀在A處測得雕塑頂端點C的仰角為30,再往雕塑方向前進4米至B處,測得仰角為45.問:該雕塑有多高?(測角儀高度忽略不計,結果不取近似值),解:如圖,過點C作CD⊥AB,交AB延長線于點D.,設CD=x米. ∵∠CBD=45,∠BDC=90, ∴BD=CD=x米. ∵∠A=30,AD=AB+BD=(4+x)米,,考點三 勾股定理逆定理的應用 例3(2017浙江溫州中考)四個全等的直角三角形按圖示方 式圍成正方形ABCD,過各較長直角邊的中點作垂線,圍成面 積為S的小正方形EFGH.已知AM為Rt△ABM較長直角邊,AM= 2 EF,則正方形ABCD的面積為( ),A.12S B.10S C.9S D.8S,【分析】設AM=2a,BM=b,則正方形ABCD的面積=4a2+b2, 由題意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b,由 此即可解決問題.,【自主解答】設AM=2a,BM=b,則正方形ABCD的面積= 4a2+b2. 由題意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b. ∵AM=2 EF, ∴2a=2 b,∴a= b. ∵正方形EFGH的面積為S,∴b2=S, ∴正方形ABCD的面積=4a2+b2=9b2=9S.故選C.,5.如圖,數(shù)軸上點A對應的數(shù)為2,AB⊥OA于A,且AB=1, 以O為圓心,OB長為半徑作弧,交數(shù)軸于點C,則OC長為 ( ),D,考點四 直角三角形全等的判定 例4(2017湖南常德中考)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC= 90,D在BC上,連結AD,作BF⊥AD分別交AD于點E,AC于 點F. (1)如圖1,若BD=BA,求證:△ABE≌△DBE; (2)如圖2,若BD=4DC,取AB的中點G,連結CG交AD于點M, 求證:①GM=2MC;②AG2=AFAC.,【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結論; (2)①過點G作GH∥AD交BC于點H,由AG=BG得到BH=DH,根據(jù)已知條件及平行線分線段成比例定理求解; ②過點C作CN⊥AC,交AD的延長線于點N,則CN∥AG,根據(jù)相似三角形的性質得到結論.,【自主解答】(1)∵BF⊥AD, ∴∠AEB=∠DEB=90. 在Rt△ABE和Rt△DBE中, ∵ ∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).,(2)①如圖,過點G作GH∥AD交BC于點H. ∵BD=4DC,G是AB的中點,GH∥AD, ∴H是BD的中點, ∴HD=BH=2DC. 由GH∥AD得 ∴GM=2MC.,②如圖,過點C作CN⊥AC,交AD的延長線于點N,則AB∥CN, ∴△ADB∽△NDC. ∵BD=4DC, 又∵BF⊥AD,∠BAC=90, ∴∠ABE+∠BAE=∠FAE+∠BAE, ∴∠ABE=∠FAE,即∠ABF=∠CAN.,在△ABF與△CAN中, ∴△ABF∽△CAN,∴ ∴AFCA=ABCN= AB2=AG2, ∴AG2=AFAC.,6.(2017黑龍江齊齊哈爾中考)如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點D,BD=AD,DG=DC,E,F(xiàn)分別是BG,AC的中點. (1)求證:DE=DF,DE⊥DF; (2)連結EF,若AC=10,求EF的長.,(1)證明:∵AD⊥BC于點D, ∴∠BDG=∠ADC=90. ∵BD=AD,DG=DC, ∴Rt△BDG≌Rt△ADC,∴BG=AC. ∵AD⊥BC于點D,E,F(xiàn)分別是BG,AC的中點, ∴DE=BE= BG,DF=AF= AC, ∴DE=DF.,∵DE=DF,BD=AD,BE=AF, ∴△BDE≌△ADF, ∴∠BDE=∠ADF, ∴∠EDF=∠EDG+∠ADF=∠EDG+∠BDE=∠BDG=90, ∴DE⊥DF.,(2)解:如圖所示. ∵AC=10, ∴DE=DF= AC= 10=5. ∵∠EDF=90, ∴EF=,7.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90,CE⊥BD于點E,AB=EC. (1)求證:△ABD≌△ECB; (2)若∠EDC=65,求∠ECB的度數(shù); (3)若AD=3,AB=4,求DC的長.,(1)證明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBC. ∵∠A=90,CE⊥BD,∴∠A=∠CEB. 又∵AB=EC,∴△ABD≌△ECB. (2)解:由(1)證得△ABD≌△ECB, ∴BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=65. ∵∠DCE=90-65=25, ∴∠ECB=∠BCD-∠DCE=40.,(3)解:由(1)證得△ABD≌△ECB, ∴AB=CE=4,BE=AD=3, ∴BD=BC=5,∴DE=BD-BE=2, ∴CD=,易錯易混點一 先入為主,高線在三角形內 例1 在△ABC中,AB=13 cm,AC=15 cm,高線AD=12 cm,則BC= .,易錯易混點二 忽略分類討論直角邊和斜邊而漏解 例2 如圖所示,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3. 設邊AB上的一點P,使得以P,A,D為頂點的三角形和以P, B,C為頂點的三角形相似,那么這樣的點P有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,- 配套講稿:
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