四川省八年級數(shù)學下冊 第一章 三角形的證明 等腰與直角三角形課件(新版)北師大版.ppt
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等腰、直角三角形,基礎(chǔ)知識 自主學習,1.等腰三角形: (1)性質(zhì): 相等, 相等,底邊上的高線、中線、 頂角的角平分線“三線合一”; (2)判定:有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰 三角形. 2.等邊三角形: (1)性質(zhì): 相等,三內(nèi)角都等于 ; (2)判定:三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個角是60的等腰三 角形是等邊三角形.,要點梳理,兩腰,兩底角,三邊,60,3.直角三角形:在△ABC中,∠C=90. (1)性質(zhì):邊與邊的關(guān)系:(勾股定理)a2+b2= ; (2)角與角的關(guān)系:∠A+∠B= ; (3)邊與角的關(guān)系: 若∠A=30,則a=c,b=c; 若a=c,則∠A=30; 若∠A=45,則a=b=c; 若a=c,則∠A=45; 斜邊上的中線m=c=R.其中R為三角形外接圓的半徑. (4)判定:有一個角是直角的三角形是直角三角形;如果三角形 的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三 角形;如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半,那么 這個三角形是直角三角形.,c2,90,[難點正本 疑點清源] 1.等腰三角形的特殊性 “等邊對等角”是今后我們證明角相等的又一個重要依據(jù).“等 角對等邊”可以判定一個三角形是等腰三角形,同時也是今后證明 兩條線段相等的重要依據(jù). 等邊三角形是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等邊三角 形,等邊三角形擁有等腰三角形的所有性質(zhì),但不分頂角、底角、 腰、底邊.因為等邊三角形任何一個角都為60,任何一條邊都 可看做腰或底邊. 解答等腰三角形的有關(guān)問題時,常作輔助線,構(gòu)造出“三線合 一”的基本圖形.在添加輔助線時,要根據(jù)具體情況而定,表達輔 助線的語句,不能限制條件過多,如一邊上的高并且要平分這條 邊;作一邊上的中線并且垂直平分這條邊;作一個角的平分線并 且垂直對邊等等,這些都是不正確的.,基礎(chǔ)自測,1.(2011濟寧)如果一個等腰三角形的兩邊長分別是5 cm和6 cm,那么此三角形的周長是( ) A.15 cm B.16 cm C.17 cm D.16 cm或17 cm 答案 D 解析 這個三角形的周長是5+5+6=16或6+6+5=17.,2.(2011銅仁)下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯誤的是( ) A.等腰三角形兩底角相等 B.等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互 相重合 C.等腰三角形是中心對稱圖形 D.等腰三角形是軸對稱圖形 答案 C 解析 等腰三角形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形.,3.(2011蕪湖)如圖,已知△ABC中,∠ABC=45, F是高AD和BE的交點,CD=4,則線段DF的長度為( ) A.2 B.4 C.3 D.4 答案 B 解析 在Rt△ABD中,∠ABD=45,可得AD=BD,易證△BDF≌△ADC,所以DF=CD=4.,5.(2011雞西)如圖,在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折疊,使AB落在AC上,點B與AC上的點E重合,展開后,折痕AD交BO于點F,連結(jié)DE、EF.下列結(jié)論: ①tan∠ADB=2; ②圖中有4對全等三角形; ③若將△DEF沿EF折疊, 則點D不一定落在AC上; ④BD=BF; ⑤S四邊形DFOE=S△AOF, 上述結(jié)論中正確的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,答案 C,題型分類 深度剖析,【例 1】 (1)方程x2-9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰,則這個三角形的周長為( ) A.12 B.12或15 C.15 D.不能確定 答案 C 解析 解方程x2-9x+18=0,得x1=3,x2=6,周長為3+6+6=15,應選C. (2)如果等腰三角形的一個內(nèi)角是80,那么頂角是________度. 答案 80或20 解析 頂角是80,或當?shù)捉鞘?0時,頂角是180-280=20. 探究提高 在等腰三角形中,如果沒有明確底邊和腰,某一邊可以是底, 也可以是腰.同樣,某一角可以是底角也可以是頂角,必須仔細分類討 論.,題型一 等腰三角形有關(guān)邊角的討論,知能遷移1 (1)(2011株洲)如圖, △ABC中,AB=AC,∠A=36,AC的垂直平分線交AB于E,D為垂足,連接EC. ①求∠ECD的度數(shù); ②若CE=5,求BC長.,解 ①解法一: ∵DE垂直平分AC, ∴CE=AE,∠ECD=∠A=36. 解法二: ∵DE垂直平分AC, ∴AD=CD,∠ADE=∠CDE=90. 又∵DE=DE,∴△ADE≌△CDE,∠ECD=∠A=36.,②解法一: ∵AB=AC,∠A=36,∴∠B=∠ACB=72. ∵∠ECD=∠A=36, ∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36, ∴∠BEC=180-36-72=72=∠B, ∴ BC=EC=5. 解法二: ∵AB=AC,∠A=36, ∴∠B=∠ACB=72, ∴∠BEC=∠A+∠ECD=72, ∴∠BEC=∠B, ∴BC=EC=5.,(2)(2011煙臺)等腰三角形的周長為14,其一邊長為4,那么,它的底邊為___________________. 答案 4或6 解析 ①等腰三角形的底邊為4;②等腰三角形的兩腰為4時,則底邊等于14-4-4=6.,題型二 等腰三角形的性質(zhì),【例 2】 如圖,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90,點D是BC的中點,且AE=BF,試判斷△DEF的形狀.,解題示范——規(guī)范步驟,該得的分,一分不丟!,解:連接AD,在等腰Rt△ABC中, ∵AD是中線, ∴AD⊥BC,∠DAE=∠BAC=45,AD=BD. 又∵∠B=∠C=45, ∴∠B=∠DAE.[2分] 在△BDF和△ADE中, ∴△BDF≌△ADE(SAS).[4分] ∴DF=DE,∠1=∠2. 又∵∠3+∠1=90, ∴∠2+∠3=90,即∠EDF=90. ∴△DEF也是等腰直角三角形.[6分],探究提高 作等腰三角形的底邊中線,構(gòu)造等腰三角形“三線合一”的基本圖形,是常見的輔助線的作法之一.,知能遷移2 已知:如圖,D是等腰△ABC底邊BC上一點,它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF.當D點在什么位置時,DE=DF?并加以證明.,解 當點D在BC的中點時,DE=DF. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠DEB=∠DFC=90. ∵點D是BC的中點, ∴BD=CD, ∴△BDE≌△CDF(AAS), ∴DE=DF.,題型三 等邊三角形,【例 3】 (1)已知:如圖,P、Q是△ABC邊BC上兩點,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度數(shù).,解 ∵AP=PQ=AQ,∴△APQ是等邊三角形. ∴∠PAQ=60,∠APQ=60. ∵AP=BP,∴∠B=∠BAP=60=30. 同理:∠C=∠CAQ=30, ∴∠BAC=30+60+30=120.,(2)(2012大興安嶺)如圖所示,已知△ABC和△DCE均是等邊 三角形,點B、C、E在同一條直線上,AE與BD交于點 O,AE與CD交于點G,AC與BD交于點F,連接OC、FG, 則下列結(jié)論: ①AE=BD; ②AG=BF; ③FG∥BE; ④∠BOC=∠EOC. 其中正確結(jié)論的個數(shù)( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 答案 D,解析 由△BCD≌△ACE, 可得①AE=BD成立; 由△ACG≌△BCF, 可得②AG=BF成立; ∵△ACG≌△BCF, ∴CG=CF, 又∠ACD=60, ∴△FCG是等邊三角形, ∴∠CFG=60=∠ACB, ∴③FG∥BE成立; 過C畫CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分別是M、N, ∵△BCD≌△ACE, ∴CM=CN, ∴點C在∠BOE的角平分線上,OC平分∠BOE, 即④∠BOC=∠EOC成立.,探究提高 在解題的過程中要充分利用等邊三角形特有的性質(zhì),每個角都相等,每條邊都相等,這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件.,知能遷移3 如圖,在等邊△ABC中,點D、E分別在邊BC、AB上,且BD=AE,AD與CE交于點F. (1)求證:AD=CE; (2)求∠DFC的度數(shù).,解 (1)在等邊△ABC中, AB=AC,∠BAC=∠CBA=60, 又BD=AE, ∴△ABD≌△CAE, ∴AD=CE. (2)∵△ABD≌△CAE, ∴∠BAD=∠ECA. ∵∠DFC是△AFC的外角, ∴∠DFC=∠ECA+∠DAC =∠BAD+∠DAC =∠BAC=60.,答題規(guī)范,考題再現(xiàn) 在△ABC中,高AD和高BE相交于H,且BH=AC,求∠ABC的度數(shù). 學生作答 解:如圖1, 在Rt△BHD和Rt△ACD中, ∠C+∠CAD=90, ∠C+∠HBD=90, ∴∠HBD=∠CAD. 又∵BH=AC,∴△BHD≌△ACD, ∴BD=AD. ∵∠ADB=90,∴∠ABC=45.,9.三角形的高可能在形外,圖1,規(guī)范解答 解:這里的∠ABC有兩種情況,∠ABC是銳角(圖1)或 ∠ABC是鈍角(圖2). 如圖2,在Rt△BHD和Rt△ACD中, 易得∠DCA=∠DHB. 又∵AC=BH, ∴△DHB≌△DCA, ∴AD=DB, ∴∠DBA=45, ∴∠ABC=135. 綜上:∠ABC=45或∠ABC=135.,圖2,10.易出錯的等腰三角形問題,考題再現(xiàn) 已知△ABC是等腰三角形,由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半,試求∠BAC的度數(shù). 學生作答,圖3,規(guī)范解答 解:題目中并沒有指明BC是等腰△ABC的底或腰. 當BC為底時,可求得∠BAC=90; 當BC為腰時,還應對∠B的大小進行討論:,圖4,圖5,- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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