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2019/12/1,數(shù)字信號處理,第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點 7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器 7.3 利用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器 7.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計FIR濾波器 7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,2019/12/1,數(shù)字信號處理,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點,本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點。 1. 線性相位條件 對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為,(7.1.1),(7.1.2),2019/12/1,數(shù)字信號處理,式中，Hg(ω)稱為幅度特性，θ(ω)稱為相位特性。注意，這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)為ω的實函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ejω)|總是正值。H(ejω)線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，即 θ(ω)=τω, τ為常數(shù) (7.1.3) 如果θ(ω)滿足下式： θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位 (7.1.4) 嚴(yán)格地說，此時θ(ω)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即,2019/12/1,數(shù)字信號處理,也稱這種情況為線性相位。一般稱滿足(7.1.3)式是第一類線性相位；滿足(7.1.4)式為第二類線性相位。 下面推導(dǎo)與證明滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2偶對稱，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5) 滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2奇對稱，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6),2019/12/1,數(shù)字信號處理,(1) 第一類線性相位條件證明：,將(7.1.5)式代入上式得,令m=N-n-1,則有,(7.1.7),2019/12/1,數(shù)字信號處理,按照上式可以將H(z)表示為,將z=e jω代入上式，得到：,按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)Hg(ω)和相位函數(shù)分別為,(7.1.8),(7.1.9),2019/12/1,數(shù)字信號處理,(2) 第二類線性相位條件證明：,(7.1.10),令m=N-n-1,則有,同樣可以表示為,2019/12/1,數(shù)字信號處理,因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為,(7.1.11),(7.1.12),2019/12/1,數(shù)字信號處理,2019/12/1,數(shù)字信號處理,2019/12/1,數(shù)字信號處理,2. 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特點 1) h(n)=h(N-n-1),N=奇數(shù) 按照(7.1.8)式，幅度函數(shù)H g(ω)為,式中，h(n)對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶對稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為,2019/12/1,數(shù)字信號處理,令m=(N-1)/2-n,則有,(7.1.13),(7.1.14),式中,2019/12/1,數(shù)字信號處理,按照(7.1.13)式，由于式中cosωn項對ω=0,π,2π皆為偶對稱，因此幅度特性的特點是對ω=0,π,2π是偶對稱的。 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù) 推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點是由于N=偶數(shù)，Hg(ω)中沒有單獨項，相等的項合并成N/2項。,2019/12/1,數(shù)字信號處理,3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇數(shù) 將(7.1.11)式重寫如下：,令m=N/2-n,則有,(7.1.15),(7.1.16),2019/12/1,數(shù)字信號處理,4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶數(shù) 類似上面3)情況，推導(dǎo)如下：,令m=(N-1)/2-n，則有,(7.1.17),(7.1.18),令m=N/2-n,則有,2019/12/1,數(shù)字信號處理,(7.1.19),(7.1.20),2019/12/1,數(shù)字信號處理,3. 線性相位FIR濾波器零點分布特點 第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(7.1.7)式和(7.1.10)式，綜合起來用下式表示：,(7.1.21),圖7.1.1 線性相位FIR濾波器零點分布,2019/12/1,數(shù)字信號處理,4. 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè)N為偶數(shù)，則有,令m=N-n-1,則有,2019/12/1,數(shù)字信號處理,(7.1.22),如果N為奇數(shù)，則將中間項h［(N-1)/2］單獨列出，,(7.1.23),2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.1.2 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.1.3 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),2019/12/1,數(shù)字信號處理,7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器,設(shè)希望設(shè)計的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ejω),hd(n)是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此,2019/12/1,數(shù)字信號處理,相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)h-d(n)為,(7.2.1),(7.2.2),為了構(gòu)造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將h-d(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3),2019/12/1,數(shù)字信號處理,我們實際實現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為h(n),長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，,圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗,2019/12/1,數(shù)字信號處理,以上就是用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的思路。另外，我們知道Hd(e jω)是一個以2π為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級數(shù)，即,對(7.2.3)式進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理，得到：,(7.2.4),式中，Hd(e jω)和RN(e jω)分別是hd(n)和RN(n) 的傅里葉變換，即,(7.2.5),2019/12/1,數(shù)字信號處理,RN(ω)稱為矩形窗的幅度函數(shù)；將Ha(ejω)寫成下式：,按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd(ω)為,將Hd(e jω)和RN(e jω)代入(7.2.4)式，得到：,2019/12/1,數(shù)字信號處理,將H(ejω)寫成下式：,(7.2.6),2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.2.2 矩形窗對理想低通 幅度特性的影響,2019/12/1,數(shù)字信號處理,通過以上分析可知，對hd(n)加矩形窗處理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差別有以下兩點： (1)在理想特性不連續(xù)點ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN(ω)主瓣寬度，即4π/N。 (2)通帶內(nèi)增加了波動，最大的峰值在ωc-2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在ωc+2π/N處。 在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN(ω)可近似為,2019/12/1,數(shù)字信號處理,下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè) h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析過，按照(7.2.5)式，其頻率響應(yīng)為,2019/12/1,數(shù)字信號處理,2. 三角形窗(Bartlett Window),(7.2.8),其頻率響應(yīng)為,(7.2.9),2019/12/1,數(shù)字信號處理,3. 漢寧(Hanning)窗——升余弦窗,當(dāng)N1時，N-1≈N，,2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.2.3 漢寧窗的幅度特性,2019/12/1,數(shù)字信號處理,4. 哈明(Hamming)窗——改進(jìn)的升余弦窗,(7.2.11),其頻域函數(shù)WHm (e jω)為,其幅度函數(shù)WHm(ω)為,當(dāng)N1時，可近似表示為,2019/12/1,數(shù)字信號處理,5. 布萊克曼(Blackman)窗,(7.2.13),其頻域函數(shù)為,其幅度函數(shù)為,(7.2.14),2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.2.4 常用的窗函數(shù),2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性 (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,2019/12/1,數(shù)字信號處理,6. 凱塞—貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window),式中,I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算：,2019/12/1,數(shù)字信號處理,一般I0(x)取15~25項，便可以滿足精度要求。α參數(shù)可以控制窗的形狀。一般α加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4α9。當(dāng)α=5.44時，窗函數(shù)接近哈明窗。α=7.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為,(7.2.16),2019/12/1,數(shù)字信號處理,表7.2.1 凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響,2019/12/1,數(shù)字信號處理,表7.2.2 六種窗函數(shù)的基本參數(shù),2019/12/1,數(shù)字信號處理,下面介紹用窗函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的步驟。 (1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ejω)，那么單位取樣響應(yīng)用下式求出：,(7.2.17),(7.2.18),根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系：,2019/12/1,數(shù)字信號處理,例如，理想低通濾波器如(7.2.1)式所示，求出單位取樣響應(yīng)hd(n)如(7.2.2)式，重寫如下： (2)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口長度N。設(shè)待求濾波器的過渡帶用Δω表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。 (3) 計算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)， h(n)=hd(n)w(n),2019/12/1,數(shù)字信號處理,(4)驗算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。設(shè)計出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計算：,2019/12/1,數(shù)字信號處理,例7.2.1 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計FIR低通濾波器，設(shè)N=11,ωc=0.2πrad。 解 用理想低通作為逼近濾波器，按照(7.2.2)式，有,2019/12/1,數(shù)字信號處理,用漢寧窗設(shè)計：,用布萊克曼窗設(shè)計：,2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性,2019/12/1,數(shù)字信號處理,7.3 利用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器,設(shè)待設(shè)計的濾波器的傳輸函數(shù)用Hd(ejω)表示，對它在ω=0到2π之間等間隔采樣N點，得到Hd(k)，,再對N點Hd(k)進(jìn)行IDFT，得到h(n)，,(7.3.1),(7.3.2),2019/12/1,數(shù)字信號處理,式中，h(n)作為所設(shè)計的濾波器的單位取樣響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,(7.3.3),(7.3.4),2019/12/1,數(shù)字信號處理,1.用頻率采樣法設(shè)計線性相位濾波器的條件 FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實序列，且滿足h(n)=h(N-n-1)，在此基礎(chǔ)上我們已推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：,(7.3.5),(7.3.6),(7.3.7),奇數(shù),偶數(shù),2019/12/1,數(shù)字信號處理,在ω=0~2π之間等間隔采樣N點，,將ω=ωk代入(7.3.4)~(7.3.7)式中，并寫成k的函數(shù)：,(7.3.8),(7.3.9),奇數(shù),偶數(shù),(7.3.10),(7.3.11),2019/12/1,數(shù)字信號處理,設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計的濾波器，截止頻率為ωc，采樣點數(shù)N，Hg(k)和θ(k)用下面公式計算： N=奇數(shù)時，,(7.3.12),2019/12/1,數(shù)字信號處理,N=偶數(shù)時，,(7.3.13),2019/12/1,數(shù)字信號處理,2. 逼近誤差及其改進(jìn)措施 如果待設(shè)計的濾波器為Hd(ejω),對應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為hd(n)，,則由頻率域采樣定理知道，在頻域0~2π之間等間隔采樣N點，利用IDFT得到的h(n)應(yīng)是hd(n)以N為周期，周期性延拓乘以RN(ω)，即,2019/12/1,數(shù)字信號處理,由采樣定理表明，頻率域等間隔采樣H(k)，經(jīng)過IDFT得到h(n)，其Z變換H(z)和H(k)的關(guān)系為,2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.3.1 理想低通濾波器增加過渡點,2019/12/1,數(shù)字信號處理,例7.3.1 利用頻率采樣法設(shè)計線性相位低通濾波器，要求截止頻率ωc=π/2rad，采樣點數(shù)N=33，選用h(n)=h(N-1-n)情況。 解 用理想低通作為逼近濾波器。按照(7.3.12)式，,對理想低通幅度特性采樣情況如圖7.3.2所示。將采樣得到的,2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.3.2 對理想低通進(jìn)行采樣,2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.3.3 例7.3.1的幅度特性,2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.3.4 例7.3.1——(N=65)有兩個過渡點幅度特性,2019/12/1,數(shù)字信號處理,7.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計FIR濾波器,如果用E(ejω)表示Hd(ejω)和所設(shè)計濾波器H(ejω)之間的頻響誤差 E(ejω)=H-d(ejω)-H(ejω) (7.4.1) 其均方誤差為,(7.4.2),2019/12/1,數(shù)字信號處理,1. 切比雪夫最佳一致逼近準(zhǔn)則 設(shè)希望設(shè)計的濾波器幅度特性為Hd(ω)，實際設(shè)計的濾波器幅度特性為Hg(ω)，其加權(quán)誤差E(ω)用下式表示： E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-Hg(ω)］ (7.4.3) 為設(shè)計具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)或幅度特性必須滿足一定條件。假設(shè)設(shè)計的是h(n)=h(n-N-1),N=奇數(shù)情況，,2019/12/1,數(shù)字信號處理,將Hg(ω)代入(7.4.3)式，則,(7.4.4),式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問題是選擇 M+1個系數(shù)a(n),使加權(quán)誤差E(ω)的最大值為最小， 即,2019/12/1,數(shù)字信號處理,該定理指出最佳一致逼近的充要條件是E(ω)在A上至少呈現(xiàn)M+2個“交錯”，使得,2019/12/1,數(shù)字信號處理,2019/12/1,數(shù)字信號處理,2.利用最佳一致逼近準(zhǔn)則設(shè)計線性相位FIR濾波器 設(shè)我們希望設(shè)計的濾波器是線性相位低通濾波器，其幅度特性為,如果我們知道了A上的M+2個交錯點頻率：ω0,ω1,:,ωM+1,按照(7.4.4)式，并根據(jù)交錯點組準(zhǔn)則，可寫出,(7.4.5),2019/12/1,數(shù)字信號處理,將(7.4.5)式寫成矩陣形式，,(7.4.6),2019/12/1,數(shù)字信號處理,(1)在頻域等間隔取M+2個頻率ω0,ω1,:,ωM+1，作為交錯點組的初始值。按下式計算ρ值：,(7.4.7),(7.4.8),2019/12/1,數(shù)字信號處理,一般初始值ωi并不是最佳的極值頻率，ρ也不是最優(yōu)估計誤差，它是相對于初始值產(chǎn)生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg(ω)，即,(7.4.9),(7.4.10),(7.4.11),2019/12/1,數(shù)字信號處理,(2)對上次確定的ω0,ω1,:,ωM+1中每一點，都檢查其附近是否存在某一頻率|E(ω)|ρ，如有，再在該點附近找出局部極值點，并用該點代替原來的點。 (3)利用和第二步相同的方法，把各頻率處使|E(ω)||ρ|的點作為新的局部極值點，從而又得到一組新的交錯點組。,2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.4.2 雷米茲算法流程圖,2019/12/1,數(shù)字信號處理,3. 線性相位FIR濾波器的四種類型統(tǒng)一表示式 在7.1節(jié)，我們已推導(dǎo)出線性相位的四種情況，它們的幅度特性H-g(ω)分別如下式：,奇數(shù),奇數(shù),偶數(shù),偶數(shù),2019/12/1,數(shù)字信號處理,經(jīng)過推導(dǎo)可把H-g(ω)統(tǒng)一表示為 Hg(ω)=Q(ω)P(ω) (7.4.13) 式中，P(ω)是系數(shù)不同的余弦組合式，Q(ω)是不同的常數(shù)，四種情況的Q(ω)和P(ω)如表7.4.1所示。,2019/12/1,數(shù)字信號處理,表7.4.1 線性相位FIR濾波器四種情況,2019/12/1,數(shù)字信號處理,表中 、 和 與原系數(shù)b(n)，c(n)和d(n)之間關(guān)系如下：,(7.4.14),2019/12/1,數(shù)字信號處理,(7.4.15),(7.4.16),2019/12/1,數(shù)字信號處理,將(7.4.13)式代入(7.4.3)式，得到:,(7.4.17),(7.4.18),2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.4.3 利用切比雪夫逼近法設(shè)計線性相位 FIR濾波器程序框圖,2019/12/1,數(shù)字信號處理,圖7.4.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計的低通濾波器幅度特性,2019/12/1,數(shù)字信號處理,7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,首先，從性能上來說，IIR濾波器傳輸函數(shù)的極點可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟而效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。,2019/12/1,數(shù)字信號處理,從結(jié)構(gòu)上看，IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點位置必須在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。 從設(shè)計工具看，IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設(shè)計公式可供準(zhǔn)確計算，計算工作量比較小，對計算工具的要求不高。,