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2019-2020年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)（理）試卷 考生須知 本試卷共6頁，150分.考試時間長120分鐘．請將所有試題答案答在答題卡上． 題號 一 二 三 總分 15 16 17 18 19 20 分?jǐn)?shù) 第Ⅰ卷 選擇題 一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．設(shè)集合，,,則（ ） A． B． C． D． 2． 已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為（　?。? A． 2 B． C．1 D． 0 3．在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)是（ ?。? A． B． C． D． 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 4．如圖，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖 為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 邊長為2，那么這個幾何體的體積為（　?。? A． B． C．4 D． 5．執(zhí)行右面的框圖，若輸出結(jié)果為， 則輸入的實(shí)數(shù)的值是（ ） A． B． C． D． 6.設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 7.以下四個命題中，真命題的個數(shù)是（ ） ①命題“若，則”的逆否命題為“若，則”； ②若為假命題，則、均為假命題； ③命題：存在,使得，則：任意,都有；④在中,是的充分不必要條件. A．1 B．2 C．3 D．4 8.對于使成立的所有常數(shù)中，我們把的最小值1叫做的 上確界,若，且，則的上確界為（ ） A． B． C． D．-4 第Ⅱ卷 非選擇題 二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分． 9．在中，若，則 ． P A B C O ? 10．如圖，從圓外一點(diǎn)引圓的切線和 割線，已知，， 圓心到的距離為，則圓的 半徑為 ． 11．已知向量，，，若與垂直，則 ． 12．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 ． 13．若把英語單詞“”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有 種． 14.已知函數(shù)，當(dāng)且時， 函數(shù)的零點(diǎn)，則 ． 三、解答題：本大題共6個小題，共80分．應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值． 16．（本小題滿分13分） 甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在四場比賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)以莖葉圖記錄如下： 甲 乙 1 8 6 0 0 2 4 4 2 3 0 （Ⅰ）求乙球員得分的平均數(shù)和方差； （Ⅱ）分別從兩人得分中隨機(jī)選取一場的得分，求得分和Y的分布列和數(shù)學(xué)期望． （注：方差 其中為，，的平均數(shù)） 17．（本小題滿分14分） 如圖，矩形與梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，為的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求證：平面平面； （Ⅲ）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值． 18．（本小題滿分14分） 已知 （Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）若在處有極值，求的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間的最小值是3，若存在，求出的值； 若不存在，說明理由. 19．（本小題滿分13分） 已知橢圓（）過點(diǎn)（0，2），離心率. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)（2，0）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線傾斜角的取值范圍. 20．（本小題滿分13分） 對于給定數(shù)列，如果存在實(shí)常數(shù),使得對于任意都成立，我們稱數(shù)列是 “類數(shù)列”． （Ⅰ）若，，，數(shù)列、是否為“類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)，若不是，請說明理由； （Ⅱ）證明：若數(shù)列是“類數(shù)列”，則數(shù)列也是“類數(shù)列”； （Ⅲ）若數(shù)列滿足，，為常數(shù)．求數(shù)列前xx項(xiàng)的和．并判斷是否為“類數(shù)列”，說明理由． 石景山區(qū)2011—xx學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分． 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B D B C B 二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分． 題號 9 10 11 12 13 14 答案 -3 72 11 2 三、解答題：本大題共6個小題，共80分． 15．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ） ……………5分 ……………7分 （Ⅱ）因?yàn)椋? …………9分 當(dāng)時，即時，的最大值為,………11分 當(dāng)時，即時，的最小值為. ………13分 16．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由莖葉圖可知，乙球員四場比賽得分為18,24,24,30，所以平均數(shù) ； ……………………2分 ……5分 （Ⅱ）甲球員四場比賽得分為20,20,26,32，分別從兩人得分中隨機(jī)選取一場的 得分，共有16種情況： （18，20）（18，20）（18，26）（18，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………8分 得分和可能的結(jié)果有：38,44,50,56,62 …………9分 得分和Y的分布列為： Y 38 44 50 56 62 …………11分 數(shù)學(xué)期望 ………………13分 17．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)． 在△中，分別為的中點(diǎn)， 所以∥，且． 由已知∥，， 所以∥，且． 所以四邊形為平行四邊形． ………2分 所以∥． 又因?yàn)槠矫?，且平面? 所以∥平面． ………………………………4分 （Ⅱ）證明：在矩形中，． 又因?yàn)槠矫嫫矫妫? 且平面平面， 所以平面． 所以． ………………………………5分 在直角梯形中，，，可得． 在△中，， 因?yàn)?，所以? 因?yàn)?所以平面．………………………7分 又因?yàn)槠矫妫? 所以平面平面．…………………………………………8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面，且． 以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系． ． …………………………………9分 易知平面的一個法向量為．…………………………10分 設(shè)為平面的一個法向量， 因?yàn)? 所以， 令，得． 所以為平面的一個法向量． …………………………12分 設(shè)平面與平面所成銳二面角為． 則． 所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．………14分 3． （本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由已知得的定義域?yàn)椋? 因?yàn)?，所? 當(dāng)時，，所以 因?yàn)椋? ……………………2分 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ，即 …………………………4分 （Ⅱ）因?yàn)樵谔幱袠O值，所以， 由（Ⅰ）知，所以 經(jīng)檢驗(yàn)，時在處有極值． …………………………6分 所以，令解得； 因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以的解集為? 即的單調(diào)遞增區(qū)間為. …………………………………………8分 （Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使（）有最小值3， ① 當(dāng)時，因?yàn)?，所?， 所以在上單調(diào)遞減， ，，舍去. …………………………10分 ②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ，，滿足條件. ………………………12分 ③ 當(dāng)時，因?yàn)?，所以? 所以在上單調(diào)遞減，，，舍去. 綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時有最小值3. ……………14分 19．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由題意得 結(jié)合，解得 所以，橢圓的方程為. ………………4分 （Ⅱ） 設(shè)，則. ①當(dāng)時，不妨令 ，當(dāng)斜率不存在時，為銳角成立 ………………6分 ②當(dāng)時，設(shè)直線的方程為： 由 得 即. 所以， ………………8分 ………………10分 解得. ……………………12分 綜上，直線傾斜角的取值范圍是 . …………………13分 20．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）因?yàn)閯t有 故數(shù)列是“類數(shù)列”，對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為 …………… 1分 因?yàn)?，則有，. 故數(shù)列是“類數(shù)列”，對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為. …………… 3分 （Ⅱ）證明：若數(shù)列是“類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)， 使得對于任意都成立， 且有對于任意都成立， 因此對于任意都成立， 故數(shù)列也是“類數(shù)列”． 對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為． ……………6分 （Ⅲ）因?yàn)? 則有，， 故數(shù)列前xx項(xiàng)的和 +++ ……………9分 若數(shù)列是 “類數(shù)列”， 則存在實(shí)常數(shù) 使得對于任意都成立， 且有對于任意都成立， 因此對于任意都成立， 而，且， 則有對于任意都成立，可以得到 ， 當(dāng)時，，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件. 當(dāng) 時，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件. 因此當(dāng)且僅當(dāng)或時，數(shù)列是“類數(shù)列”. 對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為或． ………………… 13分 注：若有其它解法，請酌情給分． 草 稿 紙