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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 5.2實數(shù)集的基數(shù)同步精練 北師大版選修3-1 1．集合論的創(chuàng)始人是(　　) A．美國人 B．英國人 C．俄國人 D．德國人 2．康托指出了有理數(shù)和無理數(shù)的一個重要區(qū)別是(　　) A．無理數(shù)集是有理數(shù)集的補集 B．有理數(shù)集和無理數(shù)集都是無窮集合 C．有理數(shù)集是可數(shù)的，無理數(shù)集是不可數(shù)的 D．有理數(shù)集的基數(shù)大于無理數(shù)集的基數(shù) 3．康托在用反證法證明實數(shù)集合是不可數(shù)的時，構(gòu)造了一個不在序列中的數(shù)b，這種構(gòu)造方法是(　　) A．康托歸謬法 B．康托區(qū)間套法 C．康托斜線法 D．康托對角線法 4．如果集合A與集合B的某個子集是對等的，而不與B對等，則(　　) A．集合A的數(shù)量有可能等于集合B的數(shù)量 B．集合A的數(shù)量有可能多于集合B的數(shù)量 C．集合A的數(shù)量一定少于集合B的數(shù)量 D．集合A的數(shù)量與集合B的數(shù)量無法比較大小 5．1873年11月29日到12月7日這短短的幾天里，康托給數(shù)學(xué)家________寫了兩封信，奠定了無限理論的基礎(chǔ)． 6．如果一個集合的整體可以與它的一部分建立一一對應(yīng)關(guān)系，則該集合一定是________集合． 7．若A1，A2是可數(shù)集，證明：A1∪A2也是可數(shù)的． 8．證明：實數(shù)集上的任何開區(qū)間(a，b)(a＜b)都不可數(shù)． 9．0與1之間滿足下述條件的實數(shù)：它們的十進制小數(shù)表示中只有1,2,3,4,5,6,7，而不含其他數(shù)字，例如：0.314 265 743…，0.146 732 175 4…，0.456 773 321 5…，等等．證明：所有這樣實數(shù)的集合是不可數(shù)的． 10．上網(wǎng)搜集并整理數(shù)學(xué)家戴德金的生平資料．  參考答案 1．答案：D 2．答案：C 3．答案：D 4．答案：C 5．答案：戴德金 6．答案：無限 7．證明：設(shè)A1＝{a11，a12，a13，…}， A2＝{a21，a22，a23，…}， 按a11→a21→a12→a22→a13→a23→…排序后，分別對應(yīng)1,2,3,4,5,6，…也可用下圖表示： 如果A1與A2中的元素有重復(fù)，則去掉重復(fù)的元素再按照上述規(guī)則數(shù)下去，則可得到A1∪A2和Z＋的一個一一對應(yīng)關(guān)系，所以A1∪A2也是可數(shù)的． 8．證明：首先建立(0,1)到(a，b)的一一對應(yīng)．令對應(yīng)法則f：x→y＝(b－a)x＋a，按照對應(yīng)法則f，對于(0,1)內(nèi)的任一元素x，在(a，b)中都有唯一的一個元素y＝(b－a)x＋a與之對應(yīng)，反之，對于(a，b)內(nèi)的任一元素y，按照對應(yīng)法則f，在(0,1)內(nèi)存在唯一的元素x與之對應(yīng)． 故(0,1)與(a，b)對等，因為(0,1)是不可數(shù)的，所以(a，b)也是不可數(shù)的． 9．證明：假設(shè)滿足條件的實數(shù)是可數(shù)的，這樣我們總可以按照給定的一一對應(yīng)關(guān)系，把滿足條件的實數(shù)與正整數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系用下表表示： 1 ? 0.a11a12a13… 2 ? 0.a21a22a23… 3 ? 0.a31a32a33… … … k ? 0.ak1ak2ak3… … … 現(xiàn)在，我們構(gòu)造一個新的實數(shù)b： b＝0.b1b2b3…，其中bi＝ 顯然這樣構(gòu)造的實數(shù)滿足上述已知條件．但是， 由于b1≠a11，所以b不同于序列中的第一個數(shù)0.a11a12a13…； 由于b2≠a22，所以b不同于序列中的第二個數(shù)0.a21a22a23…； 同樣的方法，數(shù)b不同于序列中的任何一個數(shù)，這與假設(shè)該集合可數(shù)矛盾．所以滿足條件實數(shù)的集合是不可數(shù)的． 10．答：參考材料如下： 戴德金(Dedekind，Julius Wilhelm Richard,1831—1916，德國數(shù)學(xué)家),1831年10月6日生于不倫瑞克，1916 年2月12日卒于同地.1850年入格丁根大學(xué)，成為C.F.高斯的學(xué)生，1852 年完成關(guān)于歐拉積分的博士論文，受到高斯賞識.1854年起在格丁根大學(xué)任講師．在格丁根他與任教的P.G.L.狄利克雷和B.黎曼結(jié)為好友．后來狄利克雷和黎曼的全集都是由戴德金編輯的.1858年他應(yīng)聘到瑞士蘇黎世綜合工科學(xué)校任教.1862年回到不倫瑞克綜合工科學(xué)校教書． 戴德金在數(shù)學(xué)上有很多新發(fā)現(xiàn)．不少概念和定理以他的名字命名．他的主要貢獻有以下兩個方面：在實數(shù)和連續(xù)性理論方面，他提出戴德金分割，給出了無理數(shù)及連續(xù)性的純算術(shù)的定義.1872年，他的《連續(xù)性與無理數(shù)》出版，使他與G.康托、K.魏爾斯特拉斯等一起成為現(xiàn)代實數(shù)理論的奠基人．在代數(shù)數(shù)論方面，他建立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)和代數(shù)數(shù)域的理論，將E.E.庫默爾的理想數(shù)加以推廣，引出了現(xiàn)代的理想概念，并得到了代數(shù)整數(shù)環(huán)上理想的唯一分解定理．今天把滿足理想唯一分解條件的整環(huán)稱為戴德金整環(huán)．他在數(shù)論上的貢獻對19世紀(jì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深刻影響．