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2019-2020年高中數(shù)學 初高中銜接教材 第三講 一元二次方程 現(xiàn)行初中數(shù)學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應用．本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系進行闡述． 一、一元二次方程的根的判斷式 一元二次方程，用配方法將其變形為： (1) 當時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根： (2) 當時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實數(shù)根： (3) 當時，右端是負數(shù)．因此，方程沒有實數(shù)根． 由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為： 【例1】不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)： (1) (2) (3) 解：(1) ，∴ 原方程有兩個不相等的實數(shù)根． (2) 原方程可化為： ，∴ 原方程有兩個相等的實數(shù)根． (3) 原方程可化為： ，∴ 原方程沒有實數(shù)根． 說明：在求判斷式時，務必先把方程變形為一元二次方程的一般形式． 練：說出下列各方程的根的情況 （1） （2） （3） 【例2】已知關于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1) 方程有兩個不相等的實數(shù)根； (2) 方程有兩個相等的實數(shù)根 (3)方程有實數(shù)根； (4) 方程無實數(shù)根． 解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 二、一元二次方程的根解法 進一步地，在一元二次方程有實數(shù)根的前提下，該實數(shù)根具體是多？這就涉及到一元二次方程的根的求法 解法一（因式分解法）若可分解為， 那么由可得從而得到或 【典例】解一元二次方程 解：原方程可化為 故 練：解一元二次方程（1） （2） （3） 解法二（配方法）一元二次方程，用配方法將其變形為： 兩邊開方即可得到方程的根 【典例】解一元二次方程 解：原方程可化為 即 故 從而 即 練：解一元二次方程（1） （2） （3） 解法三（公式法）對于一元二次方程， (1) 當時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根： (2) 當時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實數(shù)根： 【典例】解一元二次方程 解：由所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根 所以即 練：解一元二次方程（1） （2） （3） 三、一元二次方程的根與系數(shù)的關系 一元二次方程的兩個根為： 所以：， 定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么： 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達定理”．上述定理成立的前提是． 【例3】若是方程的兩個根，試求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復雜的計算．這里，可以利用韋達定理來解答． 解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關系得： (1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關系求值，要熟練掌握以下等式變形： ，，， ，， 等等．韋達定理體現(xiàn)了整體思想． 練：若是方程的兩個根，試求下列各式的值 （1） （2） (3) ； (3) ； (4) ； (5) 練 習 A 組 1．一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是( ) A． B． C． D． 2．若是方程的兩個根，則的值為( ) A． B． C． D． 3．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點，且OA、OB的長分別是關于的方程的根，則等于( ) A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關系是( ) A． B． C． D．大小關系不能確定 5．若實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為( ) A． B． C． D． 6．如果方程的兩根相等，則之間的關系是 ______ 7．已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 _______ ． 8．若方程的兩根之差為1，則的值是 _____ ． 9．設是方程的兩實根，是關于的方程的兩實根，則= _____ ，= _____ ． 10．已知實數(shù)滿足，則= _____ ，= _____ ，= _____ ． 11．對于二次三項式，小明得出如下結論：無論取什么實數(shù)，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？請您說明理由． 12．若，關于的方程有兩個相等的的正實數(shù)根，求的值． 13．已知關于的一元二次方程． (1) 求證：不論為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根； (2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值． 14．已知關于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長． (1) 取何值時，方程存在兩個正實數(shù)根？ (2) 當矩形的對角線長是時，求的值． B 組 1．已知關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根． (1) 求的取值范圍； (2) 是否存在實數(shù)，使方程的兩實根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由． 2．已知關于的方程的兩個實數(shù)根的平方和等于11．求證：關于的方程有實數(shù)根． 3．若是關于的方程的兩個實數(shù)根，且都大于1． (1) 求實數(shù)的取值范圍； (2) 若，求的值． 第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關系習題答案 A組 1． B 2． A 3．A 4．A 5．A 6． 7． 3 8． 9或 9． 10． 11．正確 12．4 13． 14． B組 1． (2) 不存在 2． (1)當時，方程為，有實根；(2) 當時，也有實根． 3．(1) ； (2) ．