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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.6《平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算》同步教學(xué)例題講解 北師大版必修4 學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示后，我們可以把向量運(yùn)算代數(shù)化.將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，從而使許多問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算，使問題得以簡化.下面舉例說明平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解幾類題中的應(yīng)用. 一、兩向量相等問題 例1　已知向量和向量的對應(yīng)關(guān)系可用表示，求證：對任意向量及常數(shù)，恒有＋成立． 證明：設(shè)，， 則， ， 　　　　　　　 成立． 點(diǎn)評：兩個(gè)向量相等，對于用坐標(biāo)表示的向量，就是這兩個(gè)向量的坐標(biāo)相同.為應(yīng)用題設(shè)條件，必須用坐標(biāo)表示向量，通過坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，從而解決問題. 二、點(diǎn)的坐標(biāo)問題 例2　如圖1，已知正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：過作軸的垂線，垂足分別為， 由是正方形可知． 易知，， 即點(diǎn)的坐標(biāo)為． 設(shè)，則． 　　由，得解得故點(diǎn)． 點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵在于把握好向量相等或向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示與圖形表示之間的關(guān)系，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想轉(zhuǎn)化解題. 三、三點(diǎn)共線問題 例3　過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，過分別作軸的垂線交函數(shù)的圖象于兩點(diǎn)．求證：三點(diǎn)在一條直線上． 證明：設(shè)，則， 根據(jù)已知與共線， ． 　　又根據(jù)題設(shè)條件可知， 　?。? ， 與共線，即三點(diǎn)在一條直線上． 點(diǎn)評：本題將三點(diǎn)共線的證明轉(zhuǎn)化為論證向量共線關(guān)系式.通過構(gòu)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，改用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來論證，十分簡捷、新穎、巧妙. 四、幾何問題 例4　已知的面積為，分別為邊上的點(diǎn)， 且，且交于，求的面積． 解：如圖2，以為原點(diǎn)，為軸建立直角坐標(biāo)系． 設(shè)， 則，，， ． 點(diǎn)和分別共線， 存在和，使，． 又， 由②得，代入①，化簡得． ，，． 于是，的面積為，的面積為， 故的面積為． 　　點(diǎn)評：本題是通過建立直角坐標(biāo)系，構(gòu)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)后轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，確定出點(diǎn)的位置來求解的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用.