《2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題:胡不歸和阿氏圓問題 學(xué)案(無(wú)答案)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題:胡不歸和阿氏圓問題 學(xué)案(無(wú)答案)(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2020年中考復(fù)習(xí)專題:“胡不歸”問題
在前面的最值問題中往往都是求某個(gè)線段最值或者形如PA+PB最值,除此之外我們還可能會(huì)遇上形如“PA+kPB”這樣的式子的最值,此類式子一般可以分為兩類問題:
(1)胡不歸問題;
(2)阿氏圓.
本文簡(jiǎn)單介紹“胡不歸”模型
【故事介紹】
從前有個(gè)少年外出求學(xué),某天不幸得知老父親病危的消息,便立即趕路回家,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地,但他義無(wú)反顧踏上歸途,當(dāng)趕到家時(shí),老人剛咽了氣,小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說,老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?”(“胡”同“何”)
而如果先沿著驛
2、道AC先走一段,再走砂石地,會(huì)不會(huì)更早到家?
【模型建立】
如圖,一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且V1<V2,A、B為定點(diǎn),點(diǎn)C在直線MN上,確定點(diǎn)C的位置使ACV2+BCV1的值最小
【問題分析】
ACV2+BCV1=1V1BC+V1V2AC,記k=V1V2 ,即求BC+kAC的最小值
【問題解決】
構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k,CHAC=k,CH=kAC.
將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值,過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C,交AD于H點(diǎn),此時(shí)BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.
【模型總結(jié)】
在求形如“PA
3、+kPB"的式子的最值問題中,關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段,將“PH+kPB”型
問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.
而這里的PB必須是一條方向不變的線段,方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段.
【2019長(zhǎng)沙中考】如圖,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于點(diǎn)E,D是線段BE
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則CD+55BD的最小值是
【2019南通中考】如圖,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),則PB+32PD的最小值等于
【2014成都中考】如圖,已知拋
4、物線y=k8(x+2)(x-4)(k為常數(shù),且k>0)與x軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=-33x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D.
(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式
(2)在(1)的條件下,設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止,當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少?
【2018重慶中考】拋物線y=-66x2-233x+6與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P是直線A
5、C上方拋物線上一點(diǎn),PF⊥x軸于點(diǎn)F,PF與線段AC交于點(diǎn)E;將線段OB沿x軸左右平移,線段OB的對(duì)應(yīng)線段是O1B1,當(dāng)PE+12EC的值最大時(shí),求四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小值,并求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)O1的坐標(biāo)。(為突出問題,剛?cè)チ藘蓚€(gè)小問)
【2019綿陽(yáng)中考】在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)y=ax2 (a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位,再向下半移2個(gè)單位,得到如圖所示的拋物線,該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),OA=1經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,△ABD的面積為5.
(1)求拋物線和一次函數(shù)的
6、解析式;
(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方,求△ACE面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn),在(2)的結(jié)論下,求PE+35PA的最小值
阿氏圓問題
在前面的“胡不歸”問題中,我們見識(shí)了“kPA+PB”最值問題,其中P點(diǎn)軌跡是直線,而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí),即通常我們所說的“阿氏圓”問題
所謂“阿氏圓”,是指由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的的概念,在平面內(nèi),到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比等于定值(不為1)的點(diǎn)的集合叫做圓
如下圖,已知A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P滿足PA:PB=k(k≠1),則滿足條件的所有的
7、點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓
下面給出證明
法一:首先了解兩個(gè)定理
(1)角平分線定理:如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的角半分線,則ABAC=DBDC
證明:S△ABDS△ACD=BDCD,S△ABDS△ACD=ABDEACDF=ABAC,即ABAC=DBDC
(2)外角半分線定理:如圖,在△ABC中,外角CAE的角平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則ABAC=DBDC
證明:在BA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E使得AE=AC,連接BD,則△ACD?△AED(SAS),
CD=DE且AD平分∠BDE,則DBDE=ABAE,即ABAC=DBDC.
接下來開始阿氏圓證明
8、步驟:
如圖,PA:PB=k,作∠APB的角平分線交AB于M點(diǎn),根據(jù)角平分線定理,MAMB=PAPB=k,
故M點(diǎn)為定點(diǎn),即∠APB的角平分線交AB于定點(diǎn);
作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn),根據(jù)外角平分線定理,NANB=PAPB=k,
故N點(diǎn)為定點(diǎn),即∠APB外角半分線交直線AB于定點(diǎn);
又∠MPN=90,定邊對(duì)定角,故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓。
法二:建系
不妨將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)置于x軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,設(shè)A(-m,0),則B(m,0),設(shè)P(x,y),PA=kPB,即:
解析式滿足圓的一般方程,故P點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是圓,且圓心與AB共線除了證明之外,我們還需了
9、解“阿氏圓”的一些性質(zhì):
(1)PAPB=MAMB=NANB=k
應(yīng)用:根據(jù)點(diǎn)A、B的位置及k的值可確定M、N及圓心O
(2)△OBP∽△OPA,即OBOP=OPOA,變形為OP2=OA?OB.
應(yīng)用:根據(jù)圓心及半徑和A、B其中一點(diǎn),可求A、B另外一點(diǎn)位置
(3) OPOA=OBOP=PAPB=k
應(yīng)用:已知半徑及A、B中的其中一點(diǎn),即可知道PA:PB的值
練習(xí)1:已知A、B求圓軌跡
已知在坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,0),P是平面中一點(diǎn)且PA:PB=3:1,求P點(diǎn)軌跡圓圓心位置
【分析】
既然已經(jīng)了解的“阿氏圓”的相關(guān)內(nèi)容,不妨直接用上結(jié)論.
取M(2,0
10、)滿足MA:MB=3:1,取N(5,0)滿足NA:NB=3:1,
P點(diǎn)軌跡即是以MN為直徑,MN中點(diǎn)O為圓心的圓.
練習(xí)2:已知圓軌跡反求點(diǎn)A或B
已知在坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-1,0),P是以點(diǎn)A(72,0)為圓心,32長(zhǎng)為半徑的圓。平面中求一點(diǎn)
B使得PA:PB=3:1,求B點(diǎn)坐標(biāo).
【分析】
像這樣的問題一般就是“阿氏圓”構(gòu)圖,已知圓與A點(diǎn),求另外一點(diǎn)B.
思路1:構(gòu)造相似三角形。
考慮OP2=OA?OB,將OP=32、OA=92代入可得:OB=12,故B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)
思路2:根據(jù)“阿氏圓”中的特殊位置
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)位置時(shí),有MA:MB=3
11、:1,考慮到A(-1,0)、M(2,0),可得MB=1,
考慮到A、M、B共線且B點(diǎn)在M點(diǎn)右側(cè),
可得B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).
補(bǔ)充:這里的圓O與點(diǎn)A及PA:PB的比值都是配套存在的,思路2雖有投機(jī)取巧之嫌,卻是根據(jù)“阿氏圓”定義求出的B點(diǎn),還好用。
那么這個(gè)玩意和最值有什么關(guān)系呢?
比如可以將練習(xí)2稍加修改,即可變成最值問題:
練習(xí)2(改):已知在坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,0),P是以點(diǎn)(72,0)為圓心,32長(zhǎng)為半徑的圓,
Q(2,2),求PQ+13PA的最小值.
【分析】
問題中的PQ暫時(shí)不用管,先處理好13PA,考感到P點(diǎn)軌是個(gè)圓,且要構(gòu)造13PA,大膽猜測(cè):平面中存
12、在一點(diǎn)B使得P在圓上任意位置,均滿足:PAPB=13,即有PB=13PA.
其實(shí)就是逆用“阿氏圓”,這樣的題目一般就是給出圓與A點(diǎn)位置,求另一點(diǎn)B的位置可轉(zhuǎn)化13PA.
點(diǎn)B求法如上練習(xí)2,剩下的求量小值就很簡(jiǎn)單了
練習(xí)3:關(guān)于系數(shù)
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4,BC=3,以點(diǎn)C為圓心,2為半徑作圓,分別交
AC、BC于D、E兩點(diǎn),點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則12PA+PB的最小值為
【分析】確定了問題關(guān)鍵是構(gòu)造“12PA",已知了P點(diǎn)所在的,已知了A點(diǎn),即在平面中找一點(diǎn)M使得“PM=12PA”
思路1:構(gòu)造相似三角形
點(diǎn)M與A、C共線,且
13、M點(diǎn)必滿足:CP2=CM?CA,
代入CP、CA,即可得:22=4?CM,得:CM=1,即可確定M點(diǎn)位置,
12PA+PB=PM+PB問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值,直接連BM即可
【問題剖析】
(1)這里為什么是12PA?
答:因?yàn)閳AC半徑為2,CA=4,比值是1:2,△CMP與△CPA的相似比為1:2所以構(gòu)造的是12PA,也只能構(gòu)造12PA
(2)如果問題設(shè)計(jì)為PA+kPB最小值,k應(yīng)為多少?
答:根據(jù)圓C半徑與CB之比為2:3,k應(yīng)為23.
【練習(xí)1】如圖,在△ABC中,∠ACB=90,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心,6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD,
14、則2AD+3BD的最小值是
問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值,直接連接BM,BM長(zhǎng)度的3倍即為本題答案
【練習(xí)2】、如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PD-12PC的最大值為
【分析】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC邊上時(shí),此時(shí)PC=2,根據(jù)題意要求構(gòu)造12PC,在BC上取M,使得此時(shí)PM=1,則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻,均有PM=12PC,從而將同題轉(zhuǎn)化為求PD-PM
連接PD,對(duì)于△PDM, PD-PM<DM,故當(dāng)D、M、P共線時(shí),PD-PM=DM為最大值
【2019山東日照第22題】
如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-5x+5與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為B.
(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接MA、MB、MC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),四邊形AMBC面積最大,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積;
(3)如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的圓B上一動(dòng)點(diǎn),連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),PC+12PA的值最小,請(qǐng)求出這個(gè)最小值,并說明理由.