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福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2三垂線定理教案 新人教A版必修

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1、 福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2三垂線定理教案 新人教A版必修2 授課類型:新授課 授課時(shí)間:第 周 年 月 日(星期 ) 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能:理解三垂線定理及其逆定理的證明,準(zhǔn)確把握“空間三線”垂直關(guān)系的實(shí)質(zhì);掌握三垂線定理及其逆定理解題的一般步驟。 2、過程與方法:通過三垂線定理的證明及應(yīng)用,體會(huì)空間線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜想和論證能力;培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和辯證唯物主義觀點(diǎn)。 二、教學(xué)重點(diǎn):三垂線定理及其逆定理的證明和初步應(yīng)用。 難點(diǎn):三垂線定理中的垂直關(guān)系及證明過程。 關(guān)鍵

2、:把握住斜線和它在平面上的射影必定同時(shí)垂直于平面內(nèi)的某條直線。 三、教材分析: 1、“三垂線定理”是高中立體幾何中的重要內(nèi)容之一,它是在研究了空間直線和平面垂直的基礎(chǔ)上研究?jī)蓷l直線垂直關(guān)系的一個(gè)重要定理,它既是線面垂直關(guān)系的一個(gè)應(yīng)用,又為以后學(xué)習(xí)面面垂直,研究空間距離、空間角奠定了基礎(chǔ),同時(shí)這節(jié)課也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義。 2、本節(jié)課的教學(xué)過程為:猜、證、比、用,即猜想平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的特征;證明三垂線定理及其逆定理;比較兩個(gè)定理;應(yīng)用定理證題。 由于本節(jié)課安排在立體幾何學(xué)習(xí)的初始階段,是學(xué)生空間觀念形成的

3、關(guān)鍵時(shí)期,因此要重視讓學(xué)生動(dòng)手做模型,教師演示指導(dǎo),讓學(xué)生直觀地感受到空間線面、線線關(guān)系的變化,再在教師的引導(dǎo)下思考線面、線線垂直關(guān)系存在的因果關(guān)系,逐步推理、猜想命題,論證命題,從而發(fā)現(xiàn)定理,揭示定理的實(shí)質(zhì),在定理論證中進(jìn)一步發(fā)展定理,引出逆定理,再進(jìn)行比較,從而更進(jìn)一步地把握定理的關(guān)鍵。對(duì)定理的應(yīng)用,只要求學(xué)生在理解定理的基礎(chǔ)上,理清應(yīng)用定理證題的一般步驟,學(xué)會(huì)證明一些簡(jiǎn)單問題。 3、本節(jié)課采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探索式相結(jié)合的教學(xué)方法,啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極思考,勇于探索,使學(xué)生的心理達(dá)到一種“欲罷不能”的興奮狀態(tài),從而產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,體現(xiàn)學(xué)生的主體作用。 四、教學(xué)過程

4、 (一)復(fù)習(xí)和引入新課 提問:(1)直線和平面垂直的定義是什么?(直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。) (2)直線和平面垂直的判定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。 (3)如圖,如果PO⊥平面α,PA與平面α交于點(diǎn)A,則PO為平面α的垂線,PA為平面α的斜線,連接垂足O與斜足A的直線OA叫做斜線PA在平面α內(nèi)的射影。 (二)猜想和發(fā)現(xiàn) 1、揭示問題,引導(dǎo)探究 根據(jù)直線和平面垂直的定義知平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直。 進(jìn)一步,平面內(nèi)的任意一條直線是否都和平面的一條斜線垂直?(否) 是否平面內(nèi)的所有直線都不和平面的一條斜線垂直?

5、 2、模型演示 引導(dǎo)學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上搭建模型(如圖)。 如圖表示平面的斜線(PO)在平面內(nèi)有垂線(a),且有無數(shù)條。這些直線應(yīng)具備什么條件,即怎樣判定平面內(nèi)的直線與平面的一條斜線垂直呢? 指導(dǎo)學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型(如圖),使鉛筆與三角板的斜邊垂直,引導(dǎo)學(xué)生觀察猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律,經(jīng)過實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)鉛筆和三角板在平面α內(nèi)的直角邊垂直時(shí),便與斜邊垂直。 3、結(jié)論:在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。 (三)證明定理 實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果是否正確還得進(jìn)行證明。 已知:PA、PO分別是平面α的垂線、斜線,AO是PO在平面α上的射影,

6、(如圖)。 求證:a⊥PA。 分析:證明兩直線垂直,可轉(zhuǎn)化為證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面,從本題條件看,PO在平面PAO內(nèi),只要證明a⊥平面PAO即可。 證明:因?yàn)?,所以PO ⊥a,又a ⊥OA,PO∩OA = O,所以a⊥平面POA,所以a ⊥PA。 (四)揭示定理 上面命題反映了平面內(nèi)一條直線、平面的斜線和斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影這三者之間的垂直關(guān)系,這就是著名的三垂線定理,下面請(qǐng)大家根據(jù)已知條件和結(jié)論,把三垂線定理完整地表達(dá)出來。 三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。 三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面內(nèi)的直線與平面的斜

7、線垂直的判定定理。這個(gè)定理之所以著名,不僅在于它給了我們一個(gè)證明線線垂直的重要方法,為研究計(jì)算空間角、空間距離奠定了基礎(chǔ),而且這個(gè)定理的證明方法——“線面垂直法”,也是一種非常重要的方法。 剛才我們由a與PA、AO垂直得到了a與平面PAO垂直,現(xiàn)在我們?cè)倏矗捎赑A與a總垂直,那么當(dāng)a與PO垂直時(shí)還會(huì)有a⊥平面PAO嗎?進(jìn)一步可得到什么結(jié)論?(a⊥AO)這樣我們又得到了一個(gè)重要定理: 三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。 請(qǐng)同學(xué)們寫出證明過程,并與原定理進(jìn)行對(duì)比。 (五)原、逆定理的比較 相同點(diǎn):(1)結(jié)構(gòu)相同

8、:都是由線線垂直推證線線垂直; (2)證明方法相同:都采用了線面垂直法。 不同點(diǎn):(1)用途不同:原定理是用來證空間兩直線垂直;逆定理是用來證平面上兩直線垂直。 (2)條件與結(jié)論不同:原定理:“與射影垂直”“與斜線垂直”;逆定理:“與斜線垂直”“與射影垂直”。 (六)定理的應(yīng)用 例1:如圖,O是△ABC的垂心,PO⊥平面ABC,連結(jié)PA,求證:BC⊥PA。 分析:PO是平面的垂線,PA是平面的斜線,BC在平面ABC上,所以,欲證BC⊥PA,只需證明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可。 證明:連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D,則AO是PA在平面ABC上的射影。 又O是△ABC的

9、垂心,所以AD⊥BC,由三垂線定理可得BC⊥PA。 小結(jié):使用三垂線定理證題的一般步驟是: 一定——定平面及平面內(nèi)的一條直線;二找——找平面的垂線、斜線及射影;三證——證明平面內(nèi)一直線與射影垂直。 由于逆定理與原定理的實(shí)質(zhì)相同,結(jié)構(gòu)相似,因而使用時(shí)也可以按以上步驟進(jìn)行,這對(duì)我們?cè)趶?fù)雜圖形中使用定理很有好處。 例2:正方體ABCD—A1B1C1D1中,求證: (1)A1C⊥BD; (2)A1C⊥BC1; (3)A1C⊥平面BDC1。 4、探究:如圖,直四棱柱(側(cè)面與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)中,底面四邊形ABCD滿足什么條件時(shí),? 解:連結(jié),因?yàn)槠矫?,所以為在平面?nèi)的射影,由三

10、垂線定理知,當(dāng)時(shí),有,即四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直時(shí),。 (七)歸納總結(jié) 1、本節(jié)課重點(diǎn)學(xué)習(xí)了三垂線定理及其逆定理,它們是空間兩線垂直的判定與性質(zhì)定理,要牢固掌握,并注意原、逆定理的區(qū)別與聯(lián)系。 2、學(xué)會(huì)按“一定、二找、三證”的步驟應(yīng)用兩個(gè)定理證明線線垂直。 (八)布置作業(yè) 1、已知點(diǎn)O是△ABC的BC邊上的高上的任意一點(diǎn),且OP⊥平面ABC,求證PA⊥BC。 2、如圖,PD⊥平面ABC,AC = BC,D為AB的中點(diǎn),求證:AB⊥PC。 3、如圖,ABCD是矩形,PA⊥平面AC,連結(jié)PB、PC、PD,指出圖中有哪些三角形是直角三角形,并說明理由。 教學(xué)反思: 希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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