探索傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性，逐項(xiàng)微分性和逐項(xiàng)積分性 在第15章的第1節(jié)和第3節(jié)分別建立和證明了傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理（定理15.3）： 設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，若在上按段光滑，則對(duì)任意，的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于，即 ， 其中 ，，（） 為的傅里葉系數(shù)． 以此定理為基礎(chǔ)，請(qǐng)同學(xué)們按照下面的步驟進(jìn)一步探索傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性、逐項(xiàng)微分性和逐項(xiàng)積分性． 一、幾個(gè)引理 我們知道，若在上按段光滑，【即在上除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外連續(xù)（此時(shí)也稱在上按段連續(xù)），在上除有限個(gè)點(diǎn)外可導(dǎo)且在上也除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外連續(xù)，簡(jiǎn)單地講：在上按段光滑也就是和都在上按段連續(xù)】，則和都在上可積，并且除上有限個(gè)點(diǎn)外，可作為的原函數(shù)，于是，根據(jù)定積分的定義，當(dāng)我們進(jìn)一步要求在上連續(xù)的情況下，注意到拉格朗日中值公式，可得 引理1（定積分的牛頓—萊布尼茨公式的推廣）若在上連續(xù)，且按段光滑，則 ． 提示：選擇包含使不存在的點(diǎn)為分點(diǎn)的的分割， 由拉格朗日中值公式推出，存在，使 （）， ． 最后，注意到在上可積，利用定積分的定義即可． 引理2（推廣的分部積分公式）若，都在上連續(xù)，且按段光滑，則 ． 提示：首先，注意到由條件可得在上連續(xù)，且按段光滑，和都在上可積，且除上的有限個(gè)點(diǎn)外， ． 其次，對(duì)應(yīng)用引理1即可． 引理3（與的傅里葉系數(shù)的關(guān)系）設(shè)在上連續(xù)，按段光滑，且 （注：根據(jù)周期函數(shù)的特點(diǎn)，上述條件意味著可看成按段光滑且以為周期的連續(xù)函數(shù)），記，，為的傅里葉系數(shù)；，，為的傅里葉系數(shù)，則 ，，． 提示：直接根據(jù)傅里葉系數(shù)公式，利用引理1或引理2進(jìn)行計(jì)算即可，例如由引理1 ． 除上面的三個(gè)引理外，在探索的過(guò)程中，還要用到關(guān)于傅里葉系數(shù)的貝塞爾不等式． 引理4（貝塞爾不等式）設(shè)在上可積，記，，為的傅里葉系數(shù)，則 級(jí)數(shù)收斂，且 ． 二、傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性，逐項(xiàng)積分性和逐項(xiàng)微分性 1、傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性 定理1（傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性）設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，則的傅里葉級(jí)數(shù) 在上絕對(duì)收斂且一致收斂于，其中，，為的傅里葉系數(shù)． 提示：首先，由定理15.3并注意到連續(xù)推出收斂于； 其次，由引理3推出 ； 最后，注意到引理4以及，由一致收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法即可． 2、傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性 定理2 設(shè)是以為周期的函數(shù)，且在上按段連續(xù)，，記 ， 則 （1）是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑； （2）記，，為的傅里葉系數(shù)，有，（）； （3）． 提示：（1）首先，由變限函數(shù)的連續(xù)性易得是連續(xù)函數(shù)； 其次，由變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并注意到在上按段連續(xù)可推出在上按段光滑，且除上的有限個(gè)點(diǎn)外，； 最后，注意到定積分的區(qū)間可加性，周期函數(shù)的積分特征和傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式推出 即以為周期． （2）利用傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式和引理2直接計(jì)算即可，例如， （3）首先，由（1）和（2）可對(duì)運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理（定理15.3）推出， ， 其次，取，并注意到即可． 定理3（傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分）設(shè)是以為周期的函數(shù)，且在上按段連續(xù)，記為的傅里葉級(jí)數(shù)（它不一定收斂，更不一定收斂于），則對(duì)任意，有 ． 提示：由定理2的（1）和（2）對(duì)運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理（定理15.3），并注意到定理2的（3）即可． 3、傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分性 定理4（傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分性）設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，記為的傅里葉級(jí)數(shù)（注：由條件及定理1易得，此時(shí)收斂且一致收斂于），則 ， 特別，當(dāng)連續(xù)時(shí)， ． 提示：首先，由條件可對(duì)運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理（定理15.3）推出， ； 其次，在利用引理3即可．