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2012高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集中營 熱點(diǎn)19 立體幾何大題 新課標(biāo)

上傳人:xins****2008 文檔編號(hào):30312809 上傳時(shí)間:2021-10-10 格式:DOC 頁數(shù):46 大?。?.61MB
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1、 【兩年真題重溫】 【2011新課標(biāo)全國理,18】如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形,∠,,⊥底面. (Ⅰ) 證明:⊥; (Ⅱ) 若,求二面角的余弦值. ,,,, ,,, 設(shè)平面的法向量為,則, 即,因此可?。? 設(shè)平面的法向量為,則,可?。? .故二面角的余弦值為 . 從而,故, 又底面,可得, 所以平面.故 【2010 新課標(biāo)全國理,18】如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足為H,PH是四棱錐的高 ,E為AD中點(diǎn). (1) 證明:PEBC (2) 若APB=ADB=60,求直線PA與平面PEH所成

2、角的正弦值 【2010 新課標(biāo)全國文,18】如圖,已知四棱錐的底面為等腰梯形,∥,,垂足為,是四棱錐的高。 (Ⅰ)證明:平面 平面; (Ⅱ)若,60,求四棱錐的體積。 【命題意圖猜想】 輯推理能力. 【最新考綱解讀】 【回歸課本整合】 3.平面與平面平行 5.(理)直線與平面所成的角 (3)二面角的范圍:; 7(理) 利用向量處理平行問題 (1)證明線線平行,找出兩條直線的方向向量,證明方向向量共線; 2.求直線和平面所成的角的向量法:在斜線上取一方向向量,并求出平面的一個(gè)法向量,若設(shè)斜線和平面所成的角為,由. 【方法技巧提煉】

3、 1. 線線平行與垂直的證明 證明線線平行的方法:(1)平行公理;(2)線面平行的性質(zhì)定理;(3)面面平行的性質(zhì)定理;(4)向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件. 證明線線垂直的方法:(1)異面直線所成的角為直角;(2)線面垂直的性質(zhì)定理;(3)面面垂直的性質(zhì)定理;(4)三垂線定理和逆定理;(5)勾股定理;(6)向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會(huì)平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性,垂直關(guān)系的多樣性. 例1 如圖,四面體C—ABD,CB = CD,AB = AD, ∠BAD = 90.E、F分 別是BC、AC的中點(diǎn). (1)求證:AC⊥BD; (

4、2)如何在AC上找一點(diǎn)M,使BF∥平面MED?并說明理由; (3)若CA = CB,求證:點(diǎn)C在底面ABD上的射影是線段BD的中點(diǎn). 解析:(1)取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO,在△BCD中 ∵BC = DC,∴CO⊥BD,同理AO⊥BD 而AO∩CO = O, ∴BD⊥平面AOC,又平面AOC,∴AC⊥BD. (2)取FC的中點(diǎn)M,連接EM,DM, ∵E是BC的中點(diǎn),∴BF∥EM,∵平面MED,∴BF∥平面MED,∴FC的中點(diǎn)M即為所求. (3)∵△ABD是等腰直角三角形,∠BAD = 90, ∴AO = BO = DO;∵CA = CB = CD,CO是公共邊,∴△C

5、OA≌△COB≌△COD; ∴∠COA=90,即CO⊥AO,又CO⊥BD,AO∩BD = O, ∴CO⊥平面ABD,即點(diǎn)C在底面ABD上的射影是線段BD的中點(diǎn) . 例2 在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)棱PA垂直于底面,E、F分別是AB、PC的中點(diǎn). P A B C D E F (1)求證:平面PAD; (1)面面平行的證明方法:①反證法:假設(shè)兩個(gè)平面不平行,則它們必相交,在導(dǎo)出矛盾;②面面平行的判斷定理;③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行;平行于同一平面的兩個(gè)平面平行;④向量法:證明兩個(gè)平面的法向量平行. BB1C1C; (3) A

6、M=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎? 請(qǐng)你敘述判斷理由. (1)證明: ∵AB=AC, D是BC的中點(diǎn), A B C D A1 B1 C1 M ∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥平面BB1C1C, ∴AD⊥側(cè)面BB1C1C. ∴AD⊥CC1. E (2)證明:延長B1A1與BM交于N, 連結(jié)C1N. ∵AM=MA1, ∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1, ∴A1C1= A1N=A1B1. ∴C1N⊥C1B1. ∵截面N B1C1⊥側(cè)面BB1C1C, ∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C. ∴截面C1N B⊥側(cè)

7、面BB1C1C. N ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C. (3)解: 結(jié)論是肯定的, 充分性已由(2)證明. 下面證必要性: 過M作ME⊥B C1于E, ∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C, ∴ME⊥側(cè)面BB1C1C. 又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C, ∴ME∥AD. ∴M, E, A, D共線. ∵A M∥側(cè)面BB1C1C, ∴AM∥DE. ∵CC1⊥AM, ∴DE∥CC1. ∵D是BC的中點(diǎn), ∴E是BC1的中點(diǎn). ∴AM= DE=CC1=AA1,∴AM= MA1. 例4 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90,AA1=,D 是

8、A1B1中點(diǎn). (1)求證C1D⊥平面A1B; (2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí),會(huì)使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論. 解析:對(duì)于第二問,要滿足AB1⊥平面C1DF,可想辦法構(gòu)造AB1 ⊥DF,從而確定F點(diǎn)位置. ( 例5 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. 答案:D 解析:如圖2連與交與O點(diǎn),再連BO, 則為BC1與平面BB1D1D所成角. ,, 。 (即點(diǎn)到底面的距離), 故與底面所成角的正弦值為.

9、 (4)秒用公式,直接得到線面角 答案: 例8.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等,則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦等于( ) A B C C1 A1 B1 x y z O A. B. C. D. 答案:A 解析:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正三棱柱的棱長為2,A(-1,0,0) B1(0,),則, O(0,0,0),B(0, ),則為側(cè)面ACC1A1的法向量 由. 6.如何求二面角 (1)直接法.直接法求二面角大小的步驟是:一作(找)、二證、三計(jì)算.即先作(找)出表示

10、 (3)向量法:法一、在內(nèi),在內(nèi), 其方向如左圖,則二面角 的平面角 ; 法二:設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面的法向量,其方向一個(gè)指向內(nèi) 側(cè),另一個(gè)指向外側(cè)(同等異補(bǔ)),則二面角的平面角 例9 如圖,在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,AC與BD交于點(diǎn)E,CB與CB1交于點(diǎn)F. (I)求證:A1C⊥平BDC1; (II)求二面角B—EF—C的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示). 解法一:(Ⅰ)∵A1A⊥底面ABCD,則AC是A1C在底面ABCD的射影. ∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD. 同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,

11、 解法二:(Ⅰ)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0). D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1) (Ⅱ)同(I)可證,BD1⊥平面AB1C. 軸,然后在底面確定互相垂直的直線分別為x,y軸.如圖4. Q B C P A D z y x O A B C D E A1 B1 C1 O z x y 圖1 圖2 圖3

12、 圖4 理,只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷,在解題過程中,往往把“是否存在”問題,轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解,是否有規(guī)定范圍的解”等,所以使問題的解集更加簡單、有效,應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題. 例9 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB//CD,AB=AD=1,D1D=CD=2,AB⊥AD. (1)求證:BC⊥面D1DB;(2)求D1B與平面D1DCC1所成角的大?。? (3)在BB1上是否存在一點(diǎn)F,使F到平面D1BC的距離為,若存在,則指出該點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由. (1)證明:如圖建立坐標(biāo)系D-xyz, . ∴. ∵,∴BC⊥DD1, BC⊥DB. ∵D1D

13、∩ DB=D,∴BC⊥平面D1DB. (2) . ∵AD⊥平面D1DCC1,∴平面D1DCC1的法向量, 依據(jù)向量距離公式,確定點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而判斷是否存在,這是思路經(jīng)常用. 【考場經(jīng)驗(yàn)分享】 【新題預(yù)測(cè)演練】 1.【唐山市2011—2012學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試】 (理)如圖,在三棱柱ABC-A1BlC1中,CC1丄底面ABC,底面是邊長為2的正三角形,M, N分別是棱CC1、AB的中點(diǎn). (I)求證:CN//平面 AMB1; (II)若二面角A-MB1-C為45,求CC1的長. 解: (Ⅰ)設(shè)AB1的中點(diǎn)為P,連結(jié)NP、MP.

14、 ∵CMAA1,NPAA1,∴CMNP, ∴CNPM是平行四邊形,∴CN∥MP. ∵CN平面AMB1,MP平面AMB1, ∴CN∥平面AMB1. …4分 即 則w=0,令v=1,則u=,即m=(,1,0). …10分 所以cosm,n=, 依題意,m,n=45,則=,解得a=, 所以CC1的長為2. …12分 (文)如圖,在三棱柱ABC-A1BlC1中,CC1丄底面ABC,底面是邊長為2的正三角形,M、N、G分別是棱CC1、AB, BC的中點(diǎn). (I )求證:; (II)若求證:. 解: (Ⅰ)設(shè)AB1的中點(diǎn)為P,連結(jié)NP、MP

15、. ∵CMAA1,NPAA1,∴CMNP, ∴CNPM是平行四邊形,∴CN∥MP. ∵CN平面AMB1,MP平面AMB1,∴CN∥平面AMB1. …4分 (Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1B1B⊥平面ABC, ∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1B1B,∴B1M⊥AG. …6分 ∵CC1⊥平面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥B1C1, 在Rt△MCA中,AM==. 同理,B1M=. …9分 ∵BB1∥CC1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB, ∴AB1===2, ∴AM2+B1M2=AB,∴B1M⊥

16、AM, …10分 又AG∩AM=A,∴B1M⊥平面AMG. …12分 E S D C A B 2.【2012年河南鄭州高中畢業(yè)年級(jí)第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)】 (理)如圖,在四棱錐S-ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3, 平面SAD⊥平面ABCD,E是線段AD上一點(diǎn),AE=ED=,SE⊥AD. (Ⅰ)證明:平面SBE⊥平面SEC; (Ⅱ)若SE=1,求直線CE與平面SBC所成角的正弦值. 解:(Ⅰ)平面平面,平面平面, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,直線ES,EB,EC兩兩垂直. 如圖,以EB為x軸, 以EC為y軸,以ES

17、為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 則, . 設(shè)平面SBC的法向量為, 則 解得一個(gè)法向量,…………9分 設(shè)直線CE與平面SBC所成角為, 則又 所以直線CE與平面SBC所成角的正弦值…………12分 (文)如圖,在四棱錐S-ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面SAD⊥平面ABCD,E是線段AD上一點(diǎn),AE=ED=,SE⊥AD. (Ⅰ)證明:平面SBE⊥平面SEC; (Ⅱ)若SE=1,求三棱錐E-SBC的高. (Ⅰ)證明: 平面平面,平面平面, 平面,, 平面. …………2分 平面 ,,=3, AE=ED=

18、 所以即…………4分 結(jié)合得BE⊥平面SEC, 平面, 平面SBE⊥平面SEC. …………6分 (Ⅱ)如圖,作EF⊥BC于F,連結(jié)SF.由BC⊥SE,SE和EF相交得, BC⊥平面SEF,由BC在平面SBC內(nèi),得平面SEF⊥平面SBC. 作EG⊥SF于G, 則EG⊥平面SBC.即線段EG的長即為三棱錐E-SBC的高.…………9分 由SE=1,BE=2,CE=得BC=4,EF=. 在中,, 所以三棱錐E-SBC的高為.…………12分 3.【2012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)】 =(,1, 1),………………8分 設(shè)平面BEF的法向量=()則 令,

19、則, ∴=()…………………10分 同理,可求平面DEF的法向量 =(-) 設(shè)所求二面角的平面角為,則 =.…………………12分 (文)如圖,在多面體ABCDEF中,ABCD為菱形,ABC=60,EC面ABCD,F(xiàn)A面ABCD,G為BF的中點(diǎn),若EG//面ABCD. (I)求證:EG面ABF; (Ⅱ)若AF=AB=2,求多面體ABCDEF的體積. 證明;第二問中利用體積分割進(jìn)行求解. (Ⅰ)解:取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)GM,MC. 可得GM //FA, 因?yàn)镋C面ABCD, F A 面ABCD, 所以CE//FA, ∴EC//GM.……………2分

20、 ∵面CEGM面ABCD=CM, EG// 面ABCD, ∴EG//CM,……………4分 ∵在正三角形ABC中,CMAB,又FACM ∴EGAB, EGAF, ∴EG面ABF.……………6分 (Ⅱ)=,……………8分 ,………………10分 .……………12分 4.【河北省石家莊市2012屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)】 (理)如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB,M、N分別是PA、BC的中點(diǎn). (I)求證:MN∥平面PCD; (II)在棱PC上是否存在點(diǎn)E,使得AE上平面PBD?若存在,求出AE與平面PBC所成角的正弦值

21、,若不存在,請(qǐng)說明理由. (Ⅰ)證明:取PD中點(diǎn)為F,連結(jié)FC,MF. (文)如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∠B1A1C1=90,D、E分別為CC1和A1B1的中點(diǎn),且A1A=AC=2AB=2. (I)求證:C1E∥平面A1BD; (Ⅱ)求點(diǎn)C1到平面A1BD的距離. (Ⅰ)證明:取中點(diǎn)F,連結(jié)EF,F(xiàn)D. ∵,又,, ∴平行且等于 所以為平行四邊形,……………4分 ∴,又平面, ∴平面.……………6分 (Ⅱ),,……………8分 所以, ,………………10分 及, . 所以點(diǎn)到平面的距離為.………………12分

22、 5.【保定市2011—2012學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】 (理)如圖,在正三棱柱中,是的中點(diǎn),是線段上的動(dòng)點(diǎn),且 (1)若,求證:; (2) 求二面角的余弦值; (3) 若直線與平面所成角的大小為,求的最大值. 解析:(1)證明:取中點(diǎn),連接,則有平行且相等 所以四邊形是平行四邊形,……………..2分 (3) …………………..10分 令 . …………………………………………..12分 (文)如圖,在正三棱柱中,是的中點(diǎn),是線段上的動(dòng)點(diǎn),且 (1)若,求證:; (2) 求二面角的正弦值; (3) 求三棱錐的體積 所以點(diǎn)到平面的距離等于……………

23、………..10分 又 ……………………..12分 所以平面. 即,, (Ⅱ)設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則有, 即,所以. ……………………………… 7分 所以.………………………………………………………………………12分 因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,并且, 所以平面, 所以平面, ……………………………………………………13分 又因?yàn)槠矫妫? 所以平面平面.……………………………………………………14分 因?yàn)?為的中點(diǎn), 所以. 又, 所以平面.

24、 ………………4分 又平面,平面, 所以∥平面. …………9分 (Ⅲ)因?yàn)椋? 又平面平面,交線為, 所以平面. 以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在的直 線為軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由===2, 則有,,. 設(shè)平面的法向量為=, (文)如圖,在四棱錐中,底面是正方形,平面, 是

25、中點(diǎn),為線段上一點(diǎn). (Ⅰ)求證:; 所以∥. 在△中,為的中點(diǎn), 所以為中點(diǎn). 在△中,,分別為,的中點(diǎn), 所以∥. 又平面, 平面, 故//平面. ………………14分 8.【北京市西城區(qū)2011 — 2012學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】 (理)如圖,在直三棱柱中,,,是的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:∥平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值; (Ⅲ)試問線段上是否存在點(diǎn),使與成 角?若存在,確定點(diǎn)位置,若不存在,說明理由. (Ⅰ)證明:連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié). 由 是直三棱柱, 得 四邊形為矩形,為的中點(diǎn). 又

26、為中點(diǎn),所以為中位線, 所以 ∥, ………………2分 因?yàn)?平面,平面, 所以 ∥平面. ………………4分 (Ⅱ)解:由是直三棱柱,且,故兩兩垂直. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系. ………………5分 設(shè),則. 所以 , 設(shè)平面的法向量為,則有 所以 取,得. ………………7分 易知平面的法向量為. ………………8分 由二面角是銳角,得 . ………………9分 所以二面角的余弦值為. (Ⅲ)解:假

27、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn). 因?yàn)樵诰€段上,,,故可設(shè),其中. 所以 ,. ………………11分 因?yàn)榕c成角,所以. ………………12分 即,解得,舍去. ………………13分 所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí),與成角. ………………14分 (文)如圖,正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為,是的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:平面; (Ⅱ)求證:∥平面; (Ⅲ)求三棱錐的體積. (Ⅰ)證明:因?yàn)槭钦庵? 所以 平面. 又 平面, 所以 . ………………3分 因?yàn)?△是正三角形

28、,是的中點(diǎn), 所以 , ………………4分 所以 平面. ………………5分 (Ⅱ)證明:連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié). 由 是正三棱柱, 得 四邊形為矩形,為的中點(diǎn). 又為中點(diǎn),所以為中位線, 所以 ∥, ………………8分 因?yàn)?平面,平面, 所以 ∥平面. ………………10分 (Ⅲ)解:因

29、為 , ………………12分 所以 . ………………14分 即 因此可取m=(-1,,1). …8分 設(shè)n=(x2,y2,z2)是面SBC的一個(gè)法向量,則 即 因此可取n=(0,,1). …10分 cosm,n===, 故平面BED與平面SBC所成銳二面角的大小為30. …12分 10.【山西省高三第二次四校聯(lián)考】 P A B C D E (理)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中,,平面,, (1) 求證

30、:平面; (2) 求二面角的大小. (文)如圖,在四棱錐中,側(cè)面是邊長 為2的正三角形,且與底面垂直;底面是菱形,,為的中點(diǎn). (1)求四棱錐的體積; (2)求證:平面. 所以.又,所以面. …………12分 =(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4) =(-4,-2-3λ,4-4λ), =(-4,5,0),=(-8,0,0). 設(shè)平面BMC的法向量n1=(x1,y1,z1). 平面APC的法向量n2=(x2,y2,z2), 由 得 即可取n1=. 由即 得可取n2=(5,4,-3). 又cos∠BPA==, 從而PM=PBcos∠BPA=2,所

31、以AM=PA-PM=3. 綜上所述,存在點(diǎn)M符合題意,AM=3. ,, 得 提示四(方法二) 切值. (Ⅰ)證明:在四棱錐P-ABCD中,連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OM,PO.由條件可得PO=,AC=2,PA=PC=2,CO=AO=. 因?yàn)樵凇鱌AC中,M為PC的中點(diǎn),O為AC的中點(diǎn), 所以O(shè)M為△PAC的中位線,得OM∥AP, 又因?yàn)锳P平面MDB,OM平面MDB, 所以PA∥平面MDB. …………6分 (Ⅱ) 解:設(shè)NC∩MO=E,由題意得BP=BC=2,且∠CPN=90. 因?yàn)镸為PC的中點(diǎn),所以PC⊥BM, 同理PC⊥DM,故PC⊥平面BMD. 所以直

32、線CN在平面BMD內(nèi)的射影為直線OM,∠MEC為直線CN與平面BMD所成的角, 又因?yàn)镺M∥PA,所以∠PNC=∠MEC. 在Rt△CPN中,CP=2,NP=1,所以tan∠PNC=, 故直線 CN與平面BMD所成角的正切值為2. …………14分 13.【2012年邯鄲市高三第一次模擬考試】 (理)如圖,已知四棱錐的底面為菱形,且, . (II)以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則 ……………………8分 ,即,解得, …………………………………………………………10分 所以二面角的余弦值為

33、 …………………………12分 (文)已知四棱錐的底面為菱形,且, ,為的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:平面; (Ⅱ)求點(diǎn)到面的距離. (本小題共12分)(I)證明:連接 為等腰直角三角形 為的中點(diǎn) ……………………2分 又 是等邊三角形 ,………………………………4分 又 ,即 ……………………6分 平面PAD所成的角為θ, 由sinθ=|cos<,>|===……8分 解得a=2 所以=(,0,0),=(,,1) 設(shè)平面AEF的一法向量為m=(x1,y1,z1

34、),則,因此取z1=-1,則m=(0,2,-1),……10分 因?yàn)锽D⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC,故為平面AFC的一法向量.又=(-,3,0), 所以cos<m,>=. 因?yàn)槎娼荅-AF-C為銳角,所以所求二面角的余弦值為.……12分 (文)如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去上底后的 直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖,在直觀圖中,是 的中點(diǎn),側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有 關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示. (Ⅰ)求出該幾何體的體積。 (Ⅱ)若是的中點(diǎn),求證:平面; (Ⅲ)求證:平面平面. 解:(Ⅰ)由題意可知:四棱錐中, 平面平面, 所

35、以,平面 ………………………2分 又, 則四棱錐的體積為:…………4分 (Ⅱ)連接,則 又,所以四邊形為平行四邊形, …………6分 平面,平面, 所以,平面; ……………8分 (Ⅲ) ,是的中點(diǎn), 又平面平面 平面 ……………………10分 由(Ⅱ)知: 平面 又平面 所以,平面平面. ………………………12分 14.【2012年河北省普通高考模擬考試】

36、∴, ∴,即PD⊥AC. ………..6分 (II) 假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn)E,不妨設(shè)=λ, 則點(diǎn)E的坐標(biāo)為, ………..8分 ∴ 設(shè)是平面EBD的法向量,則 , 則 可解得,即= 故在棱上存在點(diǎn),當(dāng)時(shí),使得二面角E-BD-A的大小等于45.……..12分 (文)如圖,四棱錐的底面是矩形,,,且側(cè)面PAB是正三角形,平面平面ABCD,E是棱PA的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:平面EBD; (Ⅱ)求三棱錐的體積. 【解析】 (I)證明:在矩形ABCD中,連結(jié)AC,設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O,則O是AC中點(diǎn). 又E是PA中點(diǎn),所以EO是△PAC的中位線,所以

37、PC//EO.............................3分 又EO平面EBD,PC 平面EBD.所以PC//平面EBD.....................6分 (II) 取AB中點(diǎn)H,則由PA=PB,得PH⊥AB, 又平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以PH⊥平面ABCD. ………..8分 取AH中點(diǎn)F,由E是PA中點(diǎn),得EF//PH,所以EF⊥平面ABCD. ∵, 由題意可求得:=,PH=,EF=, ………..10分 則. ……

38、…..12分 15. 【湖北省武漢市2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試答題適應(yīng)性訓(xùn)練】 (理)在直三棱柱中,,. B A1 C1 B1 A C D (Ⅰ)若異面直線與所成的角為,求棱柱的高; (Ⅱ)設(shè)是的中點(diǎn),與平面所成的角為, 當(dāng)棱柱的高變化時(shí),求的最大值. 解法1: 在△中,由,,得, 解法2: 建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則有 所以, 故當(dāng)時(shí),的最大值. 2分 . A1 故就是與平面所成的角. 2分

39、 B1 C1 在Rt△中,由,, 可得. E A C 在Rt△中,由,, B 得,故. 因此與平面所成的角. 16.【湖北省八校2012屆高三第二次聯(lián)考】 (理)已知直三棱柱的三視圖如圖所示,且是的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:∥平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值; (Ⅲ)試問線段上是否存在點(diǎn),使與成 角?若存在,確定點(diǎn)位置,若不存在,說明理由. 2 2 1 1 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 A B C (Ⅱ)解:由是直三棱柱,且,故兩兩垂直. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系. …………………5分 ,則. 所以 , 設(shè)平面的法向量為,則有 所以 取,得. …………………… …6分 46 用心 愛心 專心

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