《（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課件 理 新人教B》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課件 理 新人教B（31頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第3節(jié)節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用 最新考綱 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 1.數(shù)學(xué)歸納法 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取_時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN+)時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理 第一個(gè)值n0(n0N+) nk1 2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1. 2.推證nk1時(shí)一定要用上nk時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法.

2、3.解“歸納猜想證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ). 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證n1時(shí)結(jié)論成立.( ) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.( ) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.( ) (4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).( ) 診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè) 解析 對(duì)于(1)，有的證明問題第一步并不是驗(yàn)證n1時(shí)結(jié)論成立，如證明凸n邊形的內(nèi)角和為(n2) 180，第一步要驗(yàn)證n3時(shí)結(jié)論成立，所以(1)不正確；對(duì)于(2)，有些命題也可以直接

3、證明；對(duì)于(3)，數(shù)學(xué)歸納法必須用歸納假設(shè)；對(duì)于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一項(xiàng). 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3. 答案 C 2.(教材習(xí)題改編)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸 n 邊形的對(duì)角線為12n(n3)條時(shí)， 第一步檢驗(yàn) n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過(guò)程中，第二步假設(shè)nk時(shí)等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)得到( ) A.12222k22k12k11 B.12222k2k12k12k1 C.12222k12k12k11 D.12222k12k2k11 解析

4、 觀察可知等式的左邊共n項(xiàng)，故nk1時(shí)，應(yīng)得到12222k12k2k11. 答案 D 解析 由nk到nk1時(shí)，左邊增加(k1)2k2. 答案 B 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明 1222(n1)2n2(n1)22212n（2n21）3時(shí)，由 nk 的假設(shè)到證明 nk1 時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是( ) A.(k1)22k2 B.(k1)2k2 C.(k1)2 D.13(k1)2(k1)21 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kN+)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真. 解析 由于步長(zhǎng)為2，所以2k1后一個(gè)奇數(shù)應(yīng)為2k1. 答案 2k1 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 利

5、用數(shù)學(xué)歸納法證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式等式 【例 1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12414616812n（2n2）n4（n1）(nN+). 證明 (1)當(dāng) n1 時(shí)， 等式左邊121（212）18， 等式右邊14（11）18， 等式左邊等式右邊，所以等式成立. (2)假設(shè) nk(kN+且 k1)時(shí)等式成立，即有 12414616812k（2k2）k4（k1）， 則當(dāng)nk1時(shí)，12414616812k（2k2）12（k1）2（k1）2 k4（k1）14（k1）（k2） k（k2）14（k1）（k2）（k1）24（k1）（k2）k14（k2）k14（k1）1. 所以當(dāng) nk1 時(shí)，等式也成立，由(1)

6、(2)可知，對(duì)于一切 nN+，等式都成立. 規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)注意的兩個(gè)問題 (1)要弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，以及初始值n0的值. (2)由nk到nk1時(shí)，除考慮等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用nk時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明. 【訓(xùn)練 1】 設(shè) f(n)112131n(nN+).求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN+). 證明 (1)當(dāng) n2 時(shí)，左邊f(xié)(1)1， 右邊21121 1，左邊右邊，等式成立. (2)假設(shè) nk(k2，kN+)時(shí)，結(jié)論成立， 即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么

7、，當(dāng) nk1 時(shí)， f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k) (k1)f(k)k(k1)f（k1）1k1k (k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1， 當(dāng) nk1 時(shí)結(jié)論仍然成立. 由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN+). 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(典例遷移典例遷移) 【例 2】 (經(jīng)典母題)已知數(shù)列an， an0， a10， a2n1an11a2n， 求證： 當(dāng) nN+時(shí)，anan1. 證明 (1)當(dāng) n1 時(shí)， 因?yàn)?a2是方程 a22a210 的正根， 所以 a2512， 即 a1a2成立. (

8、2)假設(shè)當(dāng) nk(kN+，k1)時(shí)，0ak0，又ak1ak0，所以 ak2ak110，所以 ak1ak2，即當(dāng) nk1 時(shí)，anan1也成立.綜上，可知 anan1對(duì)任何 nN+都成立. 【遷移探究1】 在例2中把題設(shè)條件中的“an0”改為“當(dāng)n2時(shí)，an1”，其余條件不變，求證：當(dāng)nN+時(shí)，an1an. 證明 (1)當(dāng) n1 時(shí)，因?yàn)?a2是方程 a22a210 的根，又a21，所以 a21 52，即 a2a1成立. (2)假設(shè)當(dāng) nk(kN+，k1)時(shí)，ak1ak0，又ak21，ak11， 所以 ak2ak110，所以 ak2ak10，即 ak2ak1，即當(dāng) nk1 時(shí)，anan1也成立.

9、 綜上可知 an2，對(duì)一切 nN+，an0，an1a2n2（an1），試證明 an2. 證明 (1)當(dāng) n1 時(shí)，a1a2，即 an2 成立. (2)假設(shè) nk 時(shí)， ak2 成立， 那么 ak1a2k2（ak1）12a2kak112（ak1）1ak11，因?yàn)?ak2，所以 ak11，又因?yàn)楹瘮?shù) yx1x在(1，)上單調(diào)遞增， 所以12（ak1）1ak1112(11)12， 即 ak12，所以當(dāng) nk1 時(shí)，an2 成立，綜上可知，an2 對(duì)任何 nN+都成立. 規(guī)律方法 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納

10、法. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法. 【訓(xùn)練 2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：11221321n221n(nN+，n2). 證明 (1)當(dāng) n2 時(shí)，11225421232，命題成立. (2)假設(shè) nk(k2，且 kN+)時(shí)命題成立，即 11221321k221k. 當(dāng) nk1 時(shí)，11221321k21（k1）221k1（k1）20，nN+. (1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式； (2)證明(1)中的猜想. (1)解 當(dāng) n1 時(shí)，由已知得 a1a121a

11、11， 即 a212a120.a1 31(a10). 當(dāng) n2 時(shí)，由已知得 a1a2a221a21， 將 a1 31 代入并整理得 a222 3a220. a2 5 3(a20). 同理可得 a3 7 5.猜想 an 2n1 2n1(nN+). (2)證明 由(1)知，當(dāng) n1，2，3 時(shí)，通項(xiàng)公式成立. 假設(shè)當(dāng) nk(k3，kN+)時(shí)，通項(xiàng)公式成立， 即 ak 2k1 2k1.由于 ak1Sk1Skak121ak1ak21ak， 將 ak 2k1 2k1代入上式，整理得 a2k12 2k1ak120，ak1 2k3 2k1， 即 nk1 時(shí)通項(xiàng)公式成立. 根據(jù)可知，對(duì)所有 nN+，an 2

12、n1 2n1成立. 規(guī)律方法 (1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性. (2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題. 【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù). (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN+，求gn(x)的表達(dá)式； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 由題設(shè)得，g(x)x1x(x0). (1)由已知，g1(x)x1x，g

13、2(x)g(g1(x)x1x1x1xx12x，g3(x)x13x，可猜想 gn(x)x1nx. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng) n1 時(shí)，g1(x)x1x，結(jié)論成立. 假設(shè) nk 時(shí)結(jié)論成立，即 gk(x)x1kx. 那么，當(dāng) nk1 時(shí)，gk1(x)g(gk(x) gk（x）1gk（x）x1kx1x1kxx1（k1）x，即結(jié)論成立. 根據(jù)可知，結(jié)論對(duì) nN+成立. (2)已知 f(x)ag(x)恒成立，即 ln(1x)ax1x恒成立. 設(shè) (x)ln(1x)ax1x(x0)，則 (x)11xa（1x）2x1a（1x）2， 當(dāng) a1 時(shí)，(x)0(僅當(dāng) x0，a1 時(shí)等號(hào)成立)， (x)在0，)上單調(diào)遞增.又 (0)0， (x)0 在0，)上恒成立， a1 時(shí)，ln(1x)ax1x恒成立(僅當(dāng) x0 時(shí)等號(hào)成立). 當(dāng) a1 時(shí)，對(duì) x(0，a1有 (x)0， (x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1 時(shí)，存在 x0，使 (x)0，ln(1x)ax1x不恒成立， 綜上可知，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(，1.