2019-2020年高考數(shù)學(xué) 6.6 直接證明與間接證明練習(xí).doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 6.6 直接證明與間接證明練習(xí) (25分鐘　50分) 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.(xx周口模擬)用反證法證明命題:若a+b+c為偶數(shù),則“自然數(shù)a,b,c恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確反設(shè)為(　　) A.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù) B.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù) C.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 【解析】選D.由于“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”,故選D. 2.(xx北京模擬)若a,b,c是不全相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca. 證明過(guò)程如下: 因?yàn)閍,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 又因?yàn)閍,b,c不全相等, 所以以上三式至少有一個(gè)“=”不成立, 所以將以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca. 此證法是(　　) A.分析法　　　　　　　 B.綜合法 C.分析法與綜合法并用 D.反證法【解析】選B.由已知條件入手證明結(jié)論成立,滿足綜合法的定義. 3.(xx東城模擬)在△ABC中,sinAsinC0, 即cos(A+C)>0, 所以A+C是銳角, 從而B>,故△ABC必是鈍角三角形. 4.設(shè)a,b∈R,已知p:a=b;q:≤,則p是q成立的(　　) A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B,p:a=b是q:≤成立的充分不必要條件. 5.(xx寧波模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 【解析】選C.0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 6.若=loga,|logba|=-logba,則a,b滿足的條件是(　　) A.a>1,b>1 B.01 C.a>1,01. 7.若a>b>c,則使+≥恒成立的最大的正整數(shù)k為(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選C.因?yàn)閍>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c. 又+=+=2++≥2+2=4(當(dāng)且僅當(dāng)2b=a+c時(shí)取等號(hào)), 所以k≤+,k≤4, 故k的最大正整數(shù)為4,故選C. 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.用反證法證明命題“若x2-(a+b)x+ab≠0,則x≠a且x≠b”時(shí),應(yīng)假設(shè)為　　　　. 【解析】“x≠a且x≠b”的否定是“x=a或x=b”,因此應(yīng)假設(shè)為x=a或x=b. 答案:x=a或x=b 【誤區(qū)警示】此題容易出現(xiàn):”x=a且x=b”的錯(cuò)誤答案. 9.若P=+,Q=+(a≥0),則P,Q的大小關(guān)系是　　　　. 【解析】因?yàn)镻2=2a+7+2 =2a+7+2, Q2=2a+7+2 =2a+7+2, 所以P20,Q>0,所以P1;②a+b=2;③a+b>2; ④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是　　　　.(填序號(hào)) 【解析】若a=,b=,則a+b>1, 但a<1,b<1,故①推不出; 若a=b=1,則a+b=2,故②推不出; 若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出; 若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出; 對(duì)于③,即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1, 反證法:假設(shè)a≤1且b≤1, 則a+b≤2與a+b>2矛盾, 因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個(gè)大于1. 答案:③ (20分鐘　40分) 1.(5分)(xx青島模擬)設(shè)x,y,z>0,則三個(gè)數(shù)+,+,+(　　) A.都大于2 B.至少有一個(gè)大于2 C.至少有一個(gè)不小于2 D.至少有一個(gè)不大于2 【解析】選C.因?yàn)閤>0,y>0,z>0,所以++=+ +≥6,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立,則三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2,故選C. 2.(5分)(xx營(yíng)口模擬)若a,b,c是不全相等的正數(shù),給出下列判斷: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b與a0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的條件的個(gè)數(shù)是　　　　. 【解析】要使+≥2,只要>0且>0,即a,b不為0且同號(hào)即可,故有3個(gè). 答案:3 4.(12分)(xx銀川模擬)如圖,幾何體ABC-EFD是由直三棱柱截得的,EF∥AB,∠ABC=90,AC=2AB=2, CD=2AE=, (1)求三棱錐D-BEC的體積. (2)求證:CE⊥DB. 【解析】(1)由題意可證,EF⊥平面BCD,VD-BCE=VE-BCD =S△BCDEF=1=. (2)連接CF,依題意可得:AB⊥BF,AB⊥BC,而BF和BC是平面BFD內(nèi)的兩條相交直線, 故有AB⊥平面BFD. 而BD在平面BFD內(nèi),故AB⊥BD. 再由EF∥AB可得EF⊥BD. 又在Rt△BCF和Rt△CDB中, 因?yàn)?=,==, 所以=, 所以Rt△BCF∽R(shí)t△CDB, 所以∠BDC=∠BCF,所以∠BDC+∠DCF=∠BCF+∠DCF=90, 所以CF⊥BD. 綜上可得,BD垂直于平面CEF內(nèi)的兩條相交直線,故有BD⊥平面CEF. 又CE?平面CEF,所以CE⊥DB. 5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知數(shù)列{An}:a1,a2,…,an.如果數(shù)列{Bn}:b1,b2,…,bn滿足b1=an,bk=ak-1+ak-bk-1,其中k=2,3,…,n,則稱{Bn}為{An}的“衍生數(shù)列”. (1)寫出數(shù)列{A4}:2,1,4,5的“衍生數(shù)列”{B4}. (2)若n為偶數(shù),且{An}的“衍生數(shù)列”是{Bn},證明:bn=a1. (3)若n為奇數(shù),且{An}的“衍生數(shù)列”是{Bn},{Bn}的“衍生數(shù)列”是{Cn},…,依次將數(shù)列{An},{Bn},{Cn},…首項(xiàng)取出,構(gòu)成數(shù)列{Ω}:a1,b1,c1,…,證明:{Ω}是等差數(shù)列. 【解析】(1){B4}:5,-2,7,2. (2)因?yàn)閎1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3,…,bn-1+bn=an-1+an, 由于n為偶數(shù),將上述n個(gè)等式中的第2,4,6,…,n這個(gè)式子都乘以-1, 相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-…-(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-…-(an-1+an), 即-bn=-a1,bn=a1. (3)對(duì)于數(shù)列{An}及其“衍生數(shù)列”{Bn},因?yàn)閎1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3 =a2+a3,…,bn-1+bn=an-1+an,由于n為奇數(shù),將上述n個(gè)等式中的第2,4,6,…,n-1這個(gè)式子都乘以-1, 相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-…+(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-…+(an-1+an)即bn=an-a1+an=2an-a1. 設(shè)數(shù)列{Bn}的“衍生數(shù)列”為{Cn},因?yàn)閎1=an,c1=bn=2an-a1, 所以2b1=a1+c1,即a1,b1,c1成等差數(shù)列. 同理可證,b1,c1,d1;c1,d1,e1,…也成等差數(shù)列. 從而{Ω}是等差數(shù)列. 【加固訓(xùn)練】(1)如果a,b都是正數(shù),且a≠b,求證a6+b6>a4b2+a2b4. (2)設(shè)a,b,c為△ABC的三條邊,求證(a+b+c)2<4(ab+bc+ca). 【證明】(1)a6+b6-(a4b2+a2b4)=a4(a2-b2)-b4(a2-b2)=(a2-b2)2(a2+b2), 因?yàn)閍,b都是正數(shù),且a≠b, 所以(a2-b2)2(a2+b2)>0, 所以a6+b6>a4b2+a2b4. (2)要證原不等式成立,只需證4(ab+bc+ca)-(a+b+c)2>0, 即a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)<0, 即a2+b2+c2-a(b+c)-b(c+a)-c(a+b)<0, 也即a[a-(b+c)]+b[b-(c+a)]+c[c-(a+b)]<0成立. 因?yàn)閍,b,c為△ABC的三條邊,所以a-(b+c)<0,b-(c+a)<0,c-(a+b)<0, 即a[a-(b+c)]+b[b-(c+a)]+c[c-(a+b)]<0成立,所以原不等式也成立.

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