2019-2020 年高考數(shù)學(xué)考前指導(dǎo) 應(yīng)用題 1 1、一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體（側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐）骰子四個(gè)面上分別 標(biāo)有 1，2，3，4 這四個(gè)數(shù)字，拋擲這顆正四面體骰子，觀察拋擲后能看到的數(shù)字． （1） 若拋擲一次，求能看到的三個(gè)面上數(shù)字之和大于 6 的概率； （2） 若拋擲兩次，求兩次朝下面上的數(shù)字之積大于 7 的概率； （3） 若拋擲兩次，以第一次朝下面上的數(shù)字為橫坐標(biāo)，第二次朝下面上的數(shù)字為縱坐 標(biāo)，求點(diǎn)（）落在直線(xiàn)下方的概率． 解：（1）記事件“拋擲后能看到的數(shù)字之和大于 6”為 A，拋擲這顆正四面體骰子，拋擲 后能看到的數(shù)字構(gòu)成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，共有 4 種 情形，其中，能看到的三面數(shù)字之和大于 6 的有 3 種，則 （2）記事件“拋擲兩次，兩次朝下面上的數(shù)字之積大于 7”為 B，兩次朝下面上的數(shù)字構(gòu) 成的數(shù)對(duì)有共有 16 種情況，其中能夠使得數(shù)字之積大于 7 的為（2，4） ， （4，2） （3，3） ， （3，4） ， （4，3） ， （4，4）共 6 種，則 P（B）= （3）記事件“拋擲后點(diǎn)（ a,b）在直線(xiàn) x-y=1 的下方”為 C，要使點(diǎn)（ a,b）在直線(xiàn)` x-y=1 的下方，則須 b<a-1， 當(dāng) b=1 時(shí)， a=3 或 4；當(dāng) b=2 時(shí)， a=4， 則所求的概率 P（C）= 2．某個(gè)公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ ABC，∠ C＝90， AB＝200 米， BC＝100 米． (1)現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚(yú)，分別在 AB、 BC、 CA 上取點(diǎn) D， E， F，如圖(1)， 使得 EF∥ AB， EF⊥ ED，在△ DEF 喂食，求△ DEF 面積 S△ DEF的最大值； (2)現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個(gè)荷塘，分別在 AB， BC， CA 上取點(diǎn) D， E， F，如圖(2)，建造△ DEF 連廊(不考慮寬度)供游客休憩，且使△ DEF 為正三角形，求△ DEF 邊長(zhǎng)的最小值． 解 (1)Rt△ ABC 中，∠ C＝90， AB＝200 米， BC＝100 米． ∴cos B＝ ＝ ，可得 B＝60 BCAB 12 ∵ EF∥ AB，∴∠ CEF＝∠ B＝60 設(shè) ＝ λ (0＜ λ ＜1)，則 CE＝ λCB ＝100 λ 米， CECB Rt△ CEF 中， EF＝2 CE＝200 λ 米， C 到 FE 的距離 d＝ CE＝50 λ 米， 32 3 ∵ C 到 AB 的距離為 BC＝50 米， 32 3 ∴點(diǎn) D 到 EF 的距離為 h＝50 －50 λ ＝50 (1－ λ )米3 3 3 可得 S△ DEF＝ EFh＝5 000 λ (1－ λ )米 2 12 3 ∵ λ (1－ λ )≤ [λ ＋(1－ λ )]2＝ ，當(dāng)且僅當(dāng) λ ＝ 時(shí)等號(hào)成立， 14 14 12 ∴當(dāng) λ ＝ 時(shí)，即 E 為 AB 中點(diǎn)時(shí)， S△ DEF的最大值為 12 1 250 米 23 (2)設(shè)正△ DEF 的邊長(zhǎng)為 a，∠ CEF＝ α ， 則 CF＝ asin α ， AF＝ － asin α .3 設(shè)∠ EDB＝∠1，可得 ∠1＝180－∠ B－∠ DEB＝120－∠ DEB， α ＝180－60－∠ DEB＝120－∠ DEB ∴∠ ADF＝180－60－∠1＝120－ α 在△ ADF 中， ＝ asin 30 3－ asin αsin∠ ADF 即 ＝ ， a1 2 3－ asin αsin? 120－ α ? 化簡(jiǎn)得 a[2sin(120－ α )＋sin α ]＝ 3 ∴ a＝ ＝ ≥ ＝ (其中 φ 是滿(mǎn)足 tan φ ＝ 的 32sin α － 3cos α 37sin? α － φ ? 37 217 32 銳角)． ∴△ DEF 邊長(zhǎng)最小值為 米． 217 3、已知艦 A 在艦 B 的正東，距離 6 公里，艦 C 在艦 B 的北偏西 30? ，距離 4 公里，它們 準(zhǔn)備圍找海洋動(dòng)物，某時(shí)刻艦 A 發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，4 秒后，艦 B，C 同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào)，A 于是發(fā)射麻醉炮彈，設(shè)艦與動(dòng)物都是靜止的，動(dòng)物信號(hào)的傳播速度為 1 公里/1 秒，求 艦 A 炮擊的方位角。 解：為確定海洋動(dòng)物的位置，首先的直線(xiàn) BA 為 x 軸，線(xiàn)段 BA 的中垂線(xiàn)為 y 軸建立直 角坐標(biāo)系（如圖） ，據(jù)題設(shè)，得 B(-3,0), A(3,0), C(-5, 2)且動(dòng)物 P(x,y)在 BC 的中垂線(xiàn) l 上， ∵BC 中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(-4,)， k BC=-. ∴ l 的方程為 y-=(x+4)即：y=(x+7).................① 又∵ |PB|-|PA|=4(公里) ∴ P 又在以 B，A 為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)右支上。 雙曲線(xiàn)方程為=1 (x≥2)...............② 由①②消去 y 得 11x 2-56x-256=0，解的 x1=-(舍去)， x 2=8。 ∴ P 點(diǎn)坐標(biāo)為(8,5), 于是 tg∠x(chóng)AP=kAP==, ∴ ∠x(chóng)AP=60?, 故艦 A 炮擊的方位角為北偏東 30? 。