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2019-2020年高三4月高考模擬試題 理科數(shù)學(xué)（解析版） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. (1) 已知全集=，集合，，則等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】，所以，選A. (2) 的值等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】，選C. (3) 設(shè)是兩個(gè)命題， (A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件 (C)充要條件 (D)既非充分又非必要條件 【答案】B 【解析】由,解得，由得，即，所以是的必要不充分條件。 (4)設(shè)，若，則下列不等式中正確的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】由得，若，有，所以，若，則有，所以，綜上恒有，選B. (5) 函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 (A)() (B)() (C)() (D)() 【答案】A 【解析】，，，當(dāng)時(shí)，，所以答案選A. (6) 已知向量，，設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的值是 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】，，因?yàn)?，所以，解得，選B. （7) 已知函數(shù)，將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】函數(shù)，將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)為，再將所得圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù) (8) 定義運(yùn)算： 則函數(shù)的圖象大致為 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】由定義知，所以圖象為A. (9)若設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 (A)10 (B)12 (C)13 (D) 14 【答案】C 【解析】 (10) 已知函數(shù)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】做出函數(shù)的圖象如圖，，由圖象可知當(dāng)直線為時(shí)，直線與函數(shù)只要一個(gè)交點(diǎn)，要使直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則需要把直線向下平移，此時(shí)直線恒和函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，選C. (11) 設(shè)、是不同的直線，、、是不同的平面，有以下四個(gè)命題： （1）（2）（3）（4），其中正確的是 (A)（1）（2） (B)（1）（3）　 (C)（2）（3） (D)（2）（4） 【答案】B 【解析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，（1）正確，排除C,D,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知（3）正確，所以選B. (12) 定義域?yàn)閇a,b]的函數(shù)圖像的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M（x,y）是圖象上任意一點(diǎn)，其中,已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)上“k階線性近似”。若函數(shù)在[1，2]上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，所以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，又,所以，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為所以，所以，又 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，去等號，所以，選D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. (13) 若正三棱錐的正視圖與俯視圖如右圖所示（單位cm），則正三棱錐的體積為 .(此題少圖) 【答案】 【解析】 (14) 函數(shù)的圖像與x軸所圍成的封閉圖形的面積為 . 【答案】 【解析】 (15) 已知F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若，且的三邊長成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是 . 【答案】5 【解析】設(shè)，，則，又為等差數(shù)列，所以，整理得，代入整理得，，解得，所以雙曲線的離心率為。 (16) 定義在上的偶函數(shù)在[—1，0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于的判斷: ①是周期函數(shù)； ②關(guān)于直線對稱； ③是[0，1]上是增函數(shù)； ④在[1，2]上是減函數(shù)； ⑤. 其中正確的序號是 . （把你認(rèn)為正確的序號都寫上） 【答案】①②⑤ 【解析】由得，，所以函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，所以①正確，且，所以⑤正確；因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于 軸對稱，所以在上遞減，所以③錯(cuò)誤；同時(shí)有，所以有，所以函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)在為增函數(shù)，所以④錯(cuò)誤，所以正確的序號為①②⑤ 三、解答題：本大題共6小題，共74分. (17)（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（為正整數(shù)） （Ⅰ）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若對任意正整數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值. 【答案】 (18)（本小題滿分12分） 已知的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，向量， ,且. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若向量,試求的取值范圍. 【答案】 (19)（本小題滿分12分） 某機(jī)床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元． （Ⅰ）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （Ⅱ）從第幾年開始，該機(jī)床開始盈利（盈利額為正值）. 【答案】 (20)（本小題滿分12分） 已知四棱錐底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分別是 線段AB，BC的中點(diǎn)， （Ⅰ）證明：PF⊥FD； （Ⅱ）在PA上找一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；． （Ⅲ）若與平面所成的角為， 求二面角的余弦值． 【答案】 (21)（本題滿分12分） 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn) 分別為，上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)， 滿足，且. （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）D是過三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，D到直線的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程； （Ⅲ）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由. 【答案】 (22)（本小題滿分14分） 已知函數(shù) （Ⅰ）若函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （Ⅱ）令是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)（e是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù) 的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明： 【答案】 理科數(shù)學(xué)答案 一、選擇題：每小題5分，共60分. ACBBA BCACC BD 二、填空題：每小題4分，共16分. （13）； （14）； （15）5； （16）①②⑤． 三、解答題：本大題共6小題，共74分． （17）解：（1）， ① 當(dāng)時(shí)，. ② 由 ① - ②，得. . 又 ，，解得 . 數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列. （為正整數(shù)）. ……………………6分 （2）由（Ⅰ）知 由題意可知，對于任意的正整數(shù)，恒有， 數(shù)列單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，該數(shù)列中的最小項(xiàng)為， 必有，即實(shí)數(shù)的最大值為1. ……………… 12分（18）解：(Ⅰ)由題意得，…2分 即. ……3分. 由余弦定理得, . ……………………5分 (Ⅱ), ……………………6分 …………………8分 . ……………………10分 所以，故. ……………………12分 （19）解：（Ⅰ）第二年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用為12+4萬元， 第年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用為， ……………………3分 維修、保養(yǎng)費(fèi)用成等差數(shù)列遞增，依題得： （x）.……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，開始盈利， ……………………8分 解不等式, 得. ……………………10分 ∵,∴3≤≤17，故從第3年開始盈利. ……………………12分 （20）解：（Ⅰ）證明：連接AF，則AF＝，DF＝， 又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2， ∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD， ∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A， ……………4分 （Ⅱ）過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD且AH＝AD． 再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG＝AP， ∴平面EHG∥平面PFD． ∴EG∥平面PFD． 從而滿足AG＝AP的點(diǎn)G為所求． ………………8分 （Ⅲ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻A⊥平面ABCD ，所以是與平面所成的角． 又有已知得，所以，所以 ． 設(shè)平面的法向量為，由 得，令，解得：． 所以． 又因?yàn)椋? 所以是平面的法向量， 易得， 所以． 由圖知，所求二面角的余弦值為． ……………………12分 （21）解：（Ⅰ）設(shè)B（x0，0），由（c，0），A（0，b）， 知 ， 由于 即為中點(diǎn)． 故 ， 故橢圓的離心率 ------------------4分 （Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B， △ABF的外接圓圓心為（，0），半徑r=|FB|=, D到直線的最大距離等于，所以圓心到直線的距離為， 所以，解得=2，∴c =1，b=， 所求橢圓方程為. ------------------8分 （Ⅲ）由（2）知, ： 代入得 設(shè)， 則， ------------------9分 由于菱形對角線垂直，則 故 則 ------------------10分 由已知條件知且 故存在滿足題意的點(diǎn)P且的取值范圍是． ------------------12分 (22).解：解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立， 令，有 得 …………3分 所以. …………4分 （Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使有最小值3， . …………5分 ①當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，e]上單調(diào)遞減， （舍去）. ②當(dāng)時(shí)，g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以，滿足條件. ③當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，e]上單調(diào)遞減，（舍去）. 綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，g(x)有最小值3. …………10分 (Ⅲ)令，由（2）知 ，令，， 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增， 所以. 所以,即. …………14分