《高考數(shù)學一輪復習 第3章 導數(shù)及應用 專題研究 導數(shù)的綜合運用課件 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學一輪復習 第3章 導數(shù)及應用 專題研究 導數(shù)的綜合運用課件 理（53頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題研究 導數(shù)的綜合運用 專專 題題 講講 解解 題型一題型一 導數(shù)與函數(shù)圖像導數(shù)與函數(shù)圖像 (2016 課標全國)函數(shù) y2x2e|x|在2，2的圖像大致為( ) 【解析】 當 x0 時，令函數(shù) f(x)2x2ex，則 f(x)4xex，易知 f(x)在0，ln4)上單調遞增，在ln4，2上單調遞減，又 f(0)10，f(1)4e0，f(2)8e20，所以存在 x0(0，12)是函數(shù) f(x)的極小值點，即函數(shù) f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，2)上單調遞增，且該函數(shù)為偶函數(shù)，符合條件的圖像為 D. 【答案】 D 狀元筆記 給定解析式選函數(shù)的圖像是近幾年高考重點，并且難度在增大，

2、多數(shù)需要利用導數(shù)研究單調性知其變化趨勢，利用導數(shù)求極值(最值)研究零點 思考題 1 (2017 杭州質檢)設函數(shù) f(x)x2sinx，則函數(shù)f(x)的圖像可能為( ) 【解析】 因為 f(x)(x)2sin(x)x2sinxf(x)，所以 f(x)是奇函數(shù)又因為 f(x)2xsinxx2cosx，所以 f(0)0，排除 A；且當 x0，時，函數(shù)值為正實數(shù)，排除 B；當x(，2)時，函數(shù)值為負實數(shù)，排除 D，故選 C. 【答案】 C 題型二題型二 導數(shù)與不等式導數(shù)與不等式 (1)(2018 上海春季高考題)設 a0，函數(shù) f(x)11a 2x. 求函數(shù) yf(x)f(x)的最大值(用 a 表示

3、)； 設 g(x)f(x)f(x1)， 若對任意 x(， 0， g(x)g(0)恒成立，求 a 取值范圍 【解析】 yf(x)f(x)11a 2x11a 2x 11a2a（2x2x）， 2x2x2，當且僅當 x0 時“”成立 當 x0 時，ymax11a22a. g(x) f(x) f(x 1) 11a 2x11a 2x111a 2x22a 2x，g(x)a 2xln2（1a 2x）22 a 2xln2（2a 2x）2 a 2xln2（a222x2）（2a 2x）2（1a 2x）20 在 x(，0恒成立 即 a222x20 在 x(，0恒成立 a2(222x)min，a22.a(0， 2 【答

4、案】 當 x0 時，ymax112aa2 (0， 2 【講評】 破解不等式恒成立問題需要“一構造一分類”：“一構造”是指通過不等式的同解變形，構造一個與背景函數(shù)相關的函數(shù)；“一分類”是指對不等式恒成立問題，常需對參數(shù)進行分類討論 有時也可以利用分離參數(shù)法， 即將不等式分離參數(shù)，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值，一般地，af(x)對 xD 恒成立，只需 af(x)max；af(x)對 xD 恒成立，只需 af(x)min. (2)已知函數(shù) f(x)ex1x3， g(x)ln(x1)2.求證： f(x)1)，則 p(x)ex11（x1）20. 所以函數(shù) p(x)h(x)ex1

5、1x1在(1，)上單調遞增 因為 h(12)e1220， 所以函數(shù) h(x)ex11x1在(1， )上有唯一零點 x0，且 x0(12，0) 因為h(x0)0,所以ex011x01,即ln(x01)(x01). 當 x(1， x0)時， h(x)0，所以當 xx0時，h(x)取得最小值 h(x0) 所以 h(x)h(x0)ex01ln(x01)21x01(x01)20. 綜上可知，f(x)ln21 且 x0 時，exx22ax1. 【思路】 令 f(x)0，求極值點，然后討論在各個區(qū)間上的單調性 構造函數(shù) g(x)exx22ax1(xR)，注意到 g(0)0，只需證明 g(x)在(0，)上是增

6、函數(shù)，可利用導數(shù)求解 【解析】 由f(x)ex2x2a，xR，得f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2. 于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表： x (，ln2) ln2 (ln2，) f(x) 0 f(x) 2(1ln2a) 故f(x)的單調遞減區(qū)間是(，ln2)，單調遞增區(qū)間是(ln2，) f(x)在 xln2 處取得極小值， 極小值為 f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)無極大值 設 g(x)exx22ax1，xR.于是 g(x)ex2x2a，xR. 由知當 aln21 時，g(x)最小值為 g(ln2)2(1ln2a)0.于是對任意 xR，都有 g(x

7、)0， 所以 g(x)在 R 內單調遞增 于是當 aln21 時，對任意 x(0，)，都有 g(x)g(0) 又 g(0)0，從而對任意 x(0，)，g(x)0. 即 exx22ax10，故 exx22ax1. 【答案】 單調遞減區(qū)間為(，ln2)，單調遞增區(qū)間為(ln2，)；極小值 2(1ln2a) 無極大值 略 (2)(2018 邢臺摸底考試)已知函數(shù) f(x)axex(e 為自然對數(shù)的底數(shù)) 當 a1e時，求函數(shù) f(x)的單調區(qū)間及極值； 當 2ae2 時，求證：f(x)2x. 【解析】 當 a1e時，f(x)1exex. 令 f(x)1eex0，得 x1， 當 x0；當 x1 時，f

8、(x)0， 所以，函數(shù) f(x)的單調遞增區(qū)間為(，1)，單調遞減區(qū)間為(1，)，當 x1 時，函數(shù) f(x)有極大值2e，沒有極小值 方法一： .x0 時，f(x)1，10 恒成立 .x0 時，axex2x(a2)xex， 2ae2，a20. (a2)x0，而ex0，(a2)xex0 時，令 g(x)aexx.g(x)ex（x1）x2， x1 時，g(x)0，0 x0. g(x)maxg(1)ae. 2ae2，ae2. g(x)2 恒成立，axex2x. 綜上所述，f(x)2x. 方法二：令 F(x)2xf(x)ex(a2)x， .當 a2 時，F(xiàn)(x)ex0， 所以 f(x)2x. .當

9、2a2e 時，F(xiàn)(x)ex(a2)exeln(a2)， 當 xln(a2)時，F(xiàn)(x)ln(a2)時，F(xiàn)(x)0， 所以 F(x)在(，ln(a2)上單調遞減，在(ln(a2)，)上單調遞增 所以 F(x)F(ln(a2)eln(a2)(a2)ln(a2)(a2) 1ln(a2) 因為 20，1ln(a2)1ln(2e)20， 所以 F(x)0，即 f(x)2x， 綜上，當 2ae2 時，f(x)2x. 【答案】 增區(qū)間(，1)，減區(qū)間(1，)，極大值2e 略 題型三題型三 導數(shù)與方程導數(shù)與方程 (2018 德州一模)已知函數(shù) f(x)lnx12ax22x. (1)若函數(shù) f(x)在 x2 處

10、取得極值，求實數(shù) a 的值； (2)若函數(shù) f(x)在定義域內單調遞增，求實數(shù) a 的取值范圍； (3)當 a12時，關于 x 的方程 f(x)12xb 在1，4上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù) b 的取值范圍 【解析】 (1)f(x)ax22x1x(x0)， x2 時，f(x)取得極值， f(2)0，解得 a34，經檢驗知符合題意 (2)函數(shù) f(x)的定義域為(0，)， 依題意 f(x)0 在 x0 時恒成立， 即 ax22x10 在 x0 恒成立， 則 a12xx2(1x1)21 在 x0 恒成立， 即 a(1x1)21min(x0)， 當 x1 時，(1x1)21 取最小值1， a 的

11、取值范圍是(，1 (3)a12，f(x)12xb，即14x232xlnxb0. 設 g(x)14x232xlnxb(x0)， 則 g(x)（x2）（x1）2x. 列表 x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4) g(x) 0 0 g(x) 極大值 極小值 g(x)極小值g(2)ln2b2，g(x)極大值g(1)b54. 又 g(4)2ln2b2. 方程 g(x)0 在1，4上恰有兩個不相等的實數(shù)根，則g（1）0，g（2）0，g（4）0，解得 ln22b54. 【答案】 (1)34 (2)(，1 (3)ln221e， 則方程 lnxax0 的實根的個數(shù)為( ) A0 個 B1 個 C2 個

12、D無窮多個 【解析】 由于方程 lnxax0 等價于lnxxa.設 f(x)lnxx.f(x)1x xlnxx21lnxx2，令 f(x)0，得 xe， f(x)在(0，e)上單調遞增；在(e，)上單調遞減f(x)的最大值 f(e)1e，f(x)lnxx1e(僅當 xe 時，等號成立) a1e，原方程無實根 【答案】 A (2)已知函數(shù)g(x)14x232xlnxb在1，4上有兩個不同的零點，求實數(shù)b的取值范圍 【解析】 g(x)14x232xlnxb(x0)， 則 g(x)（x2）（x1）2x. 列表 x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4) g(x) 0 0 g(x) 極大值 極小值

13、 g(x)極小值g(2)ln2b2， g(x)極大值g(1)b54. 又 g(4)2ln2b2. 方程 g(x)0 在1，4上恰有兩個不相等的實數(shù)根，則g（1）0，g（2）0，g（4）0，解得 ln22b54. 【答案】 ln220)現(xiàn)已知相距 36 km 的 A，B 兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為正數(shù) a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和. (1)設 A，C 兩處的距離為 x，試將 y 表示為 x 的函數(shù)； (2)若 a1 時，y 在 x6 處取得最小值，試求 b 的值 【解析】 (1)設點 C 處受 A 污染源的污染指數(shù)為kax，受 B污染源的污

14、染指數(shù)為kb36x(k0) 從而點 C 處污染指數(shù) ykaxkb36x(0 x36) (2)因為 a1，所以 ykxkb36x. yk1x2b（36x）2， 令 y0，解得 x361 b， 當 x(0，361 b)時，函數(shù) y 單調遞減， 當 x(361 b，)時，函數(shù) y 單調遞增 所以當 x361 b時，函數(shù)取得最小值 又此時 x6，解得 b25，經驗證符合題意 【答案】 (1)ykaxkb36x(0 x36) (2)b25 狀元筆記 生活中求利潤最大、用料最省、效率最高等問題稱之為優(yōu)化問題導數(shù)是解決生活中優(yōu)化問題的有力工具，用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路是：優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學問題用導

15、數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案 思考題 4 (2017 江蘇連云港二調)一個圓柱形圓木的底面半徑為 1 m，長為 10 m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形 ABCD(如圖所示，其中 O 為圓心， C， D 在半圓上)， 設BOC， 木梁的體積為 V(單位：m3)，表面積為 S(單位：m2) (1)求 V 關于 的函數(shù)表達式； (2)求 的值，使體積 V 最大； (3)問當木梁的體積 V 最大時，其表面積 S 是否也最大？請說明理由 【解析】 (1)梯形 ABCD 的面積 S梯形ABCD2cos22sinsincossin，(0，

16、2) 體積 V()10(sincossin)，(0，2) (2)V()10(2cos2cos1)10(2cos1)(cos1) 令 V()0，得 cos12或 cos1(舍) (0，2)，3. 當 (0，3)時，12cos0，V()為增函數(shù)； 當 (3，2)時，0cos12，V()0，V()為減函數(shù)當 3時，體積 V 最大 (3)木梁的側面積S側(AB2BCCD) 1020(cos2sin21)，(0，2)S2S梯形ABCDS側2(sincossin)20(cos2sin21)，(0，2) 設 g()cos2sin21，(0，2) g()2sin222sin22， 當 sin212，即 3時，

17、g()最大 又由(2)知 3時，sincossin取得最大值， 3時，木梁的表面積 S 最大 綜上，當木梁的體積 V 最大時，其表面積 S 也最大 【答案】 (1)V()10(sin cos sin )， (0，2) (2)3時，V 最大 (3)體積 V 最大時，表面積 S 也最大 課課 外外 閱閱 讀讀 高考中函數(shù)與導數(shù)類解答題的答題策略 (2017 北京)已知函數(shù) f(x)excosxx. (1)求曲線 yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程； (2)求函數(shù) f(x)在區(qū)間0，2上的最大值和最小值 解題思路研讀信息 快速破題 (1)對函數(shù)求導計算切線的斜率得出切線方程 (2)對函數(shù)求導判

18、斷單調性求出最值 規(guī)范解答閱卷標準 體會規(guī)范 (1)因為 f(x)excosxx， (2)設 h(x)ex(cosxsinx)1， 第(1)問踩點得分說明： 有正確的求導式子得 2 分； 得出 f(0)0 得 1 分； 寫出切線方程 y1 得 1 分 第(2)問踩點得分說明： 對新函數(shù) h(x)ex(cosxsinx)1 求導正確得 2 分； 得出 x(0，2)時，h(x)0 得 1 分，求導出錯不得分； 正確判斷出函數(shù) h(x)的單調性得 1 分； 得出 f(x)0 得 1 分； 判斷出函數(shù) f(x)在區(qū)間0，2的單調性得 1 分； 求出最大值得 1 分； 求出最小值得 1 分 滿分心得把握規(guī)則 爭取滿分 (1)牢記求導法則，正確求導：在函數(shù)與導數(shù)類解答題中，通常都會涉及求導， 正確的求導是解題關鍵， 因此要牢記求導公式，做到正確求導，如本題就涉及對函數(shù)的求導 (2)注意利用第(1)問的結果：在題設條件下，如果第(1)問的結果第(2)問能用得上， 可以直接用， 有些題目不用第(1)問的結果甚至無法解決，如本題即是在第(1)問的基礎上求解 (3)寫全得分關鍵：在函數(shù)與導數(shù)問題中，求導的結果、分類討論的條件、極值、最值、題目的結論等一些關鍵式子和結果都是得分點，在解答時一定要寫清楚，如本題中的得分點等