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2019-2020年高考數(shù)學 必過關題11 直線和圓 一．填空題 【考點一】直線方程 1. (必修2第128頁復習第19題改編)已知點，直線斜率存在且過點，若與線段相交，則l的斜率k的取值范圍是 . 【答案】 [解析] ，由斜率和傾斜角的關系可得. 2. 課本原題(必修2第128頁復習第16題)過點P(1,2)作直線l，使直線l與點M(2,3)和點N(4，－5)距離相等，則直線l的方程為________________． 【答案】3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0 [解析] 法一：斜率不存在不滿足題意，可設直線方程為， 所以，則有或，則或 法二：直線l為與MN平行或經(jīng)過MN的中點的直線，當l與MN平行時，斜率為－4，故直線方程為y－2=－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；當l經(jīng)過MN的中點時，MN的中點為(3，－1)，直線l的斜率為－，故直線方程為y－2=－(x－1)，即3x＋2y－7=0 3.課本原題(必修2第128頁復習第5題)已知直線過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程. 改編：過點作直線l分別交x、y正半軸于A、B兩點， （1）當面積最小時，直線l的方程為____________； （2）當最小時，直線l的方程為____________． 【答案】（1） （2） [解析] 法一：由題意斜率存在，可設直線方程為 令；令.所以， 當且僅當時取等號，此時直線方程為. 法二：由題意截距不為0，可設直線方程為， 過點，有，所以，解得， 所以，此時，即 【考點二】圓的方程 4.經(jīng)過點，且與直線相切于點的圓的方程是______. 【答案】 [解析] 法一：設圓心為，則有，解得， 又可得. 法二：AB中垂線方程為，過點B且與直線l垂直的直線方程為， 它們的交點即為圓心. 【考點三】直線和圓的位置關系 5.過定點（1,0）一定可以作兩條直線與圓相切，則的取值范圍為 . 【答案】 [解析] 點（1,0）在圓外，還要注意構成圓的條件. 6. 已知直線與圓心為的圓相交于兩點，且為等邊三角形，則實數(shù)________.【答案】 [解析]由題設圓心到直線的距離為， 所以，解得. 7.若曲線y=1＋ 與直線y=k(x－2)＋4有兩個不同交點，則實數(shù)k的取值范圍是____． 【答案】＜k≤ [解析]半圓x2＋(y－1)2＝4(y≥1)與過P(2,4)點，斜率為k的直線有兩個交點， 如圖：A(－2,1)，kPA＝，過P與半圓相切時，k＝，∴0)．設和的外接圓圓心分別為,． （1）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程； （2）若直線AB截⊙N所得弦長為4，求⊙N的標準方程； （3）是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個點到直線 AB的距離為，若存在，求此時⊙N的標準方程；若不存在， 說明理由． [解析]（1）圓心．∴圓方程為， 直線CD方程為． ∵⊙M與直線CD相切,∴圓心M到直線CD的距離d=, 化簡得： （舍去負值）．∴直線CD的方程為． （2）直線AB方程為：，圓心N ． ∴圓心N到直線AB距離為． ∵直線AB截⊙N的所得弦長為4，∴． ∴a=(舍去負值) ． ∴⊙N的標準方程為． （3）存在． 由（2）知，圓心N到直線AB距離為(定值)，且AB⊥CD始終成立， ∴當且僅當圓N半徑,即a=4時，⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為． 此時， ⊙N的標準方程為． 12.課本原題（必修2第112頁習題2.2第12題）：已知點與兩個定點的距離之比為，那么點M的坐標應滿足什么關系？畫出滿足條件的點M所構成的曲線. 改編1：（xx高考江蘇卷第13題）滿足條件的三角形的面積的最大值為 . 解析：法一（原解法）：本小題考查三角面積公式、余弦定理及函數(shù)思想。設BC=x，則，根據(jù)面積公式得。 根據(jù)余弦定理得，代入上式得 由三角形三邊關系有 故當時，取得最大值。 法二：設 。 法三：設 。 改編2：（xx高考江蘇卷第17題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y=2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上. （1）若圓心C也在直線y=x－1上，過點A作圓C的切線，求切線方程； （2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍. 【答案】解:(1)由得圓心C為(3,2),∵圓的半徑為 ∴圓的方程為: 顯然切線的斜率一定存在,設所求圓C的切線方程為,即 ∴∴∴∴或者 ∴所求圓C的切線方程為:或者即或者 (2)解:∵圓的圓心在在直線上,所以,設圓心C為(a,2a-4) 則圓的方程為: 又∵∴設M為(x,y)則整理得:設為圓D ∴點M應該既在圓C上又在圓D上 即:圓C和圓D有交點 ∴ 由得 由得 終上所述,的取值范圍為: [說明]：利用阿波羅尼斯圓進行命題的經(jīng)典考題很多，最著名的當屬高考中出現(xiàn)的這兩題.課本上雖未出現(xiàn)阿波羅尼斯圓的字眼，但是必修2教材上的這道習題已經(jīng)體現(xiàn)了這類問題的本質(zhì).如果我們平時能鉆研教材，對這道習題有所研究，那么我們的數(shù)學意識就會有所增強，再碰到此類問題時就會得心應手. 13. 課本原題(必修2第117頁習題2.2第10題)求圓與圓的公共弦的長. 改編：如圖，已知O(0，0)，E(，0)，F(xiàn)(，0)，圓F：．動點P滿足PE＋PF=4．以P為圓心，OP為半徑的圓P與圓F的一個公共點為Q． x O y P F E Q （1）求點P的軌跡方程； （2）證明：點Q到直線PF的距離為定值，并求此值． [解析]（1）由橢圓的定義可知點P的軌跡方程 （2）設圓P與圓F的另一個交點為T，設， 則圓P方程為 則兩圓公共弦QT的方程為，點Q到直線PF的距離即為， 點F到QT的距離為=2， 所以點Q到直線PF的距離為1.