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2019年高中數(shù)學 第3章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 函數(shù)應用測試題 北師大版必修1
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．給定函數(shù)①y＝x，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，
④y＝2x＋1，其中在區(qū)間(0,1)上單調遞減的函數(shù)序號是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] B
[解析] y＝(x＋1)和y＝|x－1|在區(qū)間(0,1)上單調遞減，y＝x和y＝2x＋1在區(qū)間(0,1)上單調遞增．
2．(xx遼寧文，3)已知a＝2－，b＝log2，c＝，則( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
[答案] D
[解析] a＝2－＝∈(0,1)，b＝log2<0，
c＝>＝1，∴c>a>b.
3．下列各組函數(shù)，在同一直角坐標中，f(x)與g(x)有相同圖像的一組是( )
A．f(x)＝(x2) ，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝，g(x)＝x－3
C．f(x)＝(x)2，g(x)＝2log2x
D．f(x)＝x，g(x)＝lg10x
[答案] D
[解析] 選項A中，f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為[0，＋∞)；選項B中，f(x)的定義域為(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，g(x)的定義域為R；選項C中，f(x)＝(x)2＝x，x∈[0，＋∞)，g(x)＝2log2x，x∈(0，＋∞)，定義域和對應關系都不同；選項D中，g(x)＝lg10x＝xlg10＝x，故選D.
4．(xx山東高考)函數(shù)f(x)＝＋的定義域為( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
[答案] A
[解析] 由題意知即即
∴f(x)定義域為(－3,0]．
5．若xlog23＝1，則3x＋9x的值為( )
A．3 B．
C．6 D．
[答案] C
[解析] ∵xlog23＝1，
∴x＝＝log32.
∴3x＋9x＝3x＋(3x)2＝3log32＋(3 log32)2＝2＋22＝6.
6．(xx陜西文，7)下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調遞增函數(shù)是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝()x
[答案] B
[解析] 當f(x)＝3x時，f(x＋y)＝3x＋y，
f(x)f(y)＝3x3y＝3x＋y，
∴f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；
當f(x)＝()x時，f(x＋y)＝()x＋y，
f(x)f(y)＝()x()y＝()x＋y，
∴f(x＋y)＝f(x)f(y)，
又f(x)＝()x為單調遞減函數(shù)，f(x)＝3x為單調遞增函數(shù)，故選B.
7．(xx安徽高考)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－1或x>}，則f(10x)>0的解集為( )
A．{x|x<－1或x>－lg2} B．{x|－1
－lg2} D．{x|x<－lg2}
[答案] D
[解析] 由條件知f(x)>0的解集為{x|－10，
∴－1<10x<，∴x<－lg2.
8．方程log2(x＋4)＝3x解的個數(shù)是( )
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
[分析] 此類方程是超越方程，只能借助函數(shù)圖像解決．
[答案] C
[解析] 在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝log2(x＋4)及y＝3x的圖像，如圖所示．由圖像可知，它們的圖像有兩個交點，故選C.
9．已知f(x)＝(x2－ax＋3a)在區(qū)間[2，＋∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－4,4) B．[－4,4)
C．(－4,4] D．[－4,4]
[答案] C
[解析] 要使f(x)在[2，＋∞)上是減函數(shù)，則需g(x)＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上遞增且恒大于零．
∴?－40，∴a<3；
由y＝logax在[1，＋∞)上為增函數(shù)知a>1，
∴1log2e>1，所以a2＝log24>log23，所以c0，∴x>3或x<0，
又∵y＝logu是減函數(shù)，且u＝x2－3x.
即求u的增區(qū)間．∴所求區(qū)間為(3，＋∞)．
14．關于函數(shù)y＝2x2－2x－3有以下4個結論：
①定義域為(－∞，－1)∪(3，＋∞)；
②遞增區(qū)間為[1，＋∞)；
③是非奇非偶函數(shù)；
④值域是(，＋∞)．
則正確的結論是________．(填序號即可)
[答案]?、冖?
[解析]?、俨徽_，因為y＝2 x2－2x－3的定義域為R；
④不正確，因為x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴2 x2－2x－3≥2－4＝，即值域為[，＋∞)；
②正確，因為y＝2u為增函數(shù)，u＝x2－2x－3在(－∞，1]上為減函數(shù)，在[1，＋∞)上為增函數(shù)，所以y＝2 x2－2x－3的遞增區(qū)間為[1，＋∞)；
③正確，因為f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．
15．將函數(shù)y＝log2x的圖像上每一點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼膍(m>0)倍，得到圖像C，若將y＝log2x的圖像向上平移2個單位，也得到圖像C，則m＝________.
[答案]
[解析] 函數(shù)y＝log2x的圖像上每一點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼膍(m>0)倍，得到函數(shù)y＝log2的圖像，將y＝log2x的圖像向上平移2個單位，得到函數(shù)y＝log2x＋2，依題意有2＋log2x＝log2，所以m＝.
三、解答題(本大題共6個小題，滿分75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
16．(本小題滿分12分)計算下列各式的值：
(1)log2.56.25＋lg0.01＋ln＋21＋log23；
(2)已知a－1－a＝1，求的值．
[解析] (1)原式＝log2.52.52＋lg10－2＋lne＋22log23＝2－2＋＋6＝6.
(2)原式＝
＝
由a－1－a＝1有a－2＋a2＝3，
而(a－1＋a)2＝a－2＋2＋a2＝5，
∴a－1＋a＝，
則原式＝＝.
17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2x的定義域是[0,3]，設g(x)＝f(2x)－f(x＋2)．
(1)求g(x)的解析式及定義域；
(2)求函數(shù)g(x)的最大值和最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝2x，
∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.
∵f(x)的定義域是[0,3]，
∴解得0≤x≤1.
∴g(x)的定義域是[0,1]．
(2)g(x)＝(2x)2－42x
＝(2x－2)2－4.
∵x∈[0,1]，
∴2x∈[1,2]．
∴當2x＝1，即x＝0時，g(x)取得最大值－3；
當2x＝2，即x＝1時，g(x)取得最小值－4.
18．(本小題滿分12分)已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，且f()＝0，求不等式f(log4x)>0的解集．
[解析] 因為f(x)是偶函數(shù)，
所以f(－)＝f()＝0，
又f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，
所以f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．
所以f(log4x)>0?log4x>或log4x<－，
解得：x>2或00的解集是
{x|x>2，或0x2，
∵6x1>6x2>0，
則f(x1)－f(x2)＝－
＝>0，
所以f(x1)>f(x2)，則f(x)在R上是增函數(shù)．
(3)∵0<<2，
∴f(x)＝1－∈(－1,1)，
則f(x)的值域為(－1,1)．
21．(本小題滿分14分)已知a>1，f(logax)＝(x－)．
(1)求f(x)；
(2)判斷并證明f(x)的單調性；
(3)若f(1－m)＋f(2m)<0，求m的取值范圍．
[解析] (1)設t＝logax，則x＝at，
則f(t)＝(at－)，
∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．
(2)設x11，∴ax10,1＋>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
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