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2019-2020年高考數學一輪總復習 7.4直接證明與間接證明課時作業(yè) 文（含解析）新人教版 一、選擇題 1．(xx廣東佛山質量檢測)用反證法證明命題：若整數系數的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理實數根，那么a，b，c中至少有一個是偶數．下列假設中正確的是(　　) A．假設a，b，c至多有一個是偶數 B．假設a，b，c至多有兩個偶數 C．假設a，b，c都是偶數 D．假設a，b，c都不是偶數 解析：“至少有一個”的否定為“一個都沒有”，即假設a，b，c都不是偶數． 答案：D 2．(xx安陽月考)用反證法證明命題：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，則a，b中至少有一個能被5整除”時，反設正確的是(　　) A．a，b都不能被5整除 B．a，b都能被5整除 C．a，b中有一個不能被5整除 D．a，b中有一個能被5整除 解析：由反證法的定義得，反設即否定結論． 答案：A 3．(xx上海模擬)“a＝”是“對任意正數x，均有x＋≥1”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當a＝時，x＋≥2＝1，當且僅當x＝，即x＝時取等號；反之，顯然不成立． 答案：A 4．(xx張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證＜a”索的因應是(　　) A．a－b＞0 B．a－c＞0 C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0 解析：由題意知＜a?b2－ac＜3a2 ?(a＋c)2－ac＜3a2 ?a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0 ?－2a2＋ac＋c2＜0?2a2－ac－c2＞0 ?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b)＞0. 答案：C 5．(xx天津模擬)p＝＋，q＝(m，n，a，b，c，d均為正數)，則p，q的大小為(　　) A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不確定 解析：q＝≥＝＋＝p. 答案：B 6．(xx漳州一模)設a，b，c均為正實數，則三個數a＋，b＋，c＋(　　) A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2 解析：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋＋＝＋＋≥6，當且僅當a＝b＝c＝1時，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個不小于2. 答案：D 二、填空題 7．(xx湛江二中月考)已知a，b，m均為正數，且a＞b，則與的大小關系是__________． 解析：－＝＝， ∵a，b，m＞0，且a＞b，∴b－a＜0，∴＜. 答案：＜ 8．(xx大連三中月考)下列條件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的條件的個數是__________． 解析：要使＋≥2，只需＞0且＞0成立，即a，b不為0且同號即可，故①③④能使＋≥2成立． 答案：3 9．(xx株洲模擬)已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且＋＝1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是__________． 解析：∵a，b∈(0，＋∞)，且＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16(當且僅當a＝4，b＝12時等號成立)， ∴a＋b的最小值為16.∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0＜μ≤16. 答案：(0,16] 三、解答題 10．(xx鶴崗模擬)設數列{an}是公比為q的等比數列，Sn是它的前n項和． (1)求證：數列{Sn}不是等比數列； (2)數列{Sn}是等差數列嗎？為什么？ 解析：(1)證明：假設數列{Sn}是等比數列，則S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1a1(1＋q＋q2)， 因為a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與公比q≠0矛盾， 所以數列{Sn}不是等比數列． (2)當q＝1時，Sn＝na1，故{Sn}是等差數列； 當q≠1時，{Sn}不是等差數列，否則2S2＝S1＋S3， 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得q＝0，這與公比q≠0矛盾． 綜上，當q＝1時，數列{Sn}是等差數列；當q≠1時，數列{Sn}不是等差數列． 11．(xx陜西寶雞三模)假設數列{an}的各項均不相等，將數列從小到大重新排序后相應的項數構成的新數列成為數列{an}的排序數列，例如a2＜a3＜a1，滿足的排序數列為2,3,1. (1)寫出2,4,3,1的排序數列； (2)求證：數列{an}的排序數列為等差數列的充要條件是數列{an}為單調數列． 解析：(1)排序數列為4,1,3,2. (2)證明：充分性：當數列{an}單調遞增時， ∵a1＜a2＜…＜an， ∴排序數列為1,2,3，…，n， ∴排序數列為等差數列． 當數列{an}單調遞減時，∵an＜an－1＜…＜a1， ∴排序數列為n，n－1，n－2，…，1， ∴排序數列為等差數列． 綜上，數列{an}為單調數列時，排序數列為等差數列． 必要性：∵排序數列為等差數列， ∴排序數列為1,2,3，…，n或n，n－1，n－2，…，1， ∴a1＜a2＜…＜an或an＜an－1＜…＜a1. ∴數列{an}為單調數列． 12．(xx吉林長春調研)已知函數f(x)＝aex＋b在(0，f(0))處的切線方程為x－y＋1＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)設A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，x1＜x2，k表示直線AB的斜率，求證：f′(x1)＜k＜f′(x2)． 解析：(1)f(x)＝aex＋b，f′(x)＝aex，由f′(0)＝1得a＝1. 把x＝0代入x－y＋1＝0，得y＝1，即f(0)＝1， ∴b＝0，∴f(x)＝ex. (2)證明：由(1)得f′(x)＝ex， ∴證明f′(x1)＜k＜f′(x2)， 即證ex1＜＜ex2， 各項同除以ex1，即證1＜＜ex2－x1， 令t＝x2－x1，則t＞0， 這樣只需證明1＜＜et(t＞0)， 即t＜et－1＜tet. 設g(t)＝et－t－1，g′(t)＝et－1， ∵t＞0，∴g′(t)＞0， 即g(t)在(0，＋∞)上是增函數． ∴g(t)＞g(0)＝0，即et－1＞t. 設h(t)＝(t－1)et＋1，h′(t)＝et＋(t－1)et＝tet＞0， ∴h(t)在(0，＋∞)上也是增函數，h(t)＞h(0)＝0，即tet＞et－1. 從而證明了t＜et－1＜tet成立，所以f′(x1)＜k＜f′(x2)成立．