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絕密★啟用前 2019-2020年高二4月月考 數(shù)學理試卷 含答案 題號 一 二 三 四 五 總分 得分 評卷人 得分 一、單項選擇 A. B. C. D. 1 3. 由曲線xy＝1，直線y＝x，y＝3所圍成的平面圖形的面積為(　　) A. B．2－ln3 C．4＋ln3 D．4－ln3 4. 正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)．以上推理(　　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 5. 若函數(shù)的圖象在處的切線與圓相離,則點與圓C的位置關系是 ( ) A.點在圓外 B.點在圓內(nèi) C.點在圓上 D.不能確定 6. 函數(shù) 有（ ） A.極小值-1，極大值1 B. 極小值-2，極大值3 C.極小值-1，極大值3 D. 極小值-2，極大值2 7. 如圖中陰影部分的面積是 （ ） A． B． C． D． 8. 平面上有個圓,其中每兩個都相交于兩點,每三個都無公w.w.w.k.s.5 u.c.o.m共點,它們將平面分成塊區(qū)域,有,則( ) A. B. C. D. 9. 已知復數(shù),則復數(shù)的共軛復數(shù)為( ) A. B. C. D. 10. 下列函數(shù)中,在上為增函數(shù)的是 （ ） A． B． C． D． 11. 已知復數(shù)和復數(shù),則為( ) A. B. C. D. 12. 設復數(shù)滿足,則 ( ) A. B. C. D. 第II卷（非選擇題） 請修改第II卷的文字說明 評卷人 得分 二、填空題 13. 若函數(shù)、都是奇函數(shù)，在上有最大值5，則在上有最小值__________。 14. 若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值為________． 15. 設、為實數(shù)，且，則= 。 16. 設，則二項式展開式中不含項的系數(shù)和是 評卷人 得分 三、解答題 17. 如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面為矩形，，為的上一點，且，為PC的中點. （Ⅰ）求證：平面AEC； （Ⅱ）求二面角的余弦值. A P C B D E F 18. 如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1． （1）試建立適當?shù)淖鴺讼?，并寫出點P、B、D的坐標； （2）問當實數(shù)a在什么范圍時，BC邊上能存在點Q， 使得PQ⊥QD？ （3）當BC邊上有且僅有一個點Q使得PQ⊥QD時， 求二面角Q-PD-A的大?。? Q P D C B A 19. 已知函數(shù). (1)當時,求的最小值; (2)若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍; (3)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 20. 已知函數(shù)． （1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)； （2）若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 21. 已知的圖像在點處的切線與直線平行. （1）求a，b滿足的關系式； （2）若上恒成立，求a的取值范圍； （3）證明：（） 22. 已知函數(shù)． (Ⅰ)若無極值點，但其導函數(shù)有零點，求的值； (Ⅱ)若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明的極小值小于． 參考答案 一、單項選擇 1.【答案】D 【解析】∵2＋ai＝b－i，∴b＝2，a＝－1，∴a2＋b2＝5.故選D. 2.【答案】D 3.【答案】D [解析]　如圖，平面圖形的面積為dy＝[y2－lny]|＝4－ln3. 4.【答案】C 【解析】由于函數(shù)f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，故小前提不正確． 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】A 10.【答案】B 【解析】，B中的恒成立 11.【答案】A 12.【答案】B 二、填空題 13.【答案】-1 14.【答案】　9 【解析】由題意，x＝1是f′(x)＝12x2－2ax－2b的一個零點，所以12－2a－2b＝0，即a＋b＝6(a＞0，b＞0)，因此當且僅當a＝b＝3時等號成立． 15.【答案】4 16.【答案】161 ，所以，二項式為，展開式的通項為，令，即，所以，所以的系數(shù)為，令，得所有項的系數(shù)和為，所以不含項的系數(shù)和為. 三、解答題 17.【答案】建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，， ， A P C B D E F y z （Ⅰ）設平面AEC的一個法向量為，∵，∴ 由得，令，得,又 ∴，，平面AEC∴平面AEC （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一個法向量為， 又為平面ACD的法向量，而， 故二面角的余弦值為 18.【答案】（1）以A為坐標原點，AB、AD、AP分 別為x、y、z軸建立坐標系如圖所示． ∵PA=AB=1，BC=a， ∴P（0，0，1），B（1，1，0）， D（0，a，0）． z Q P D C B A y x M Nx （2）設點Q（1，x，0），則 ． 由，得x2-ax+1=0． 顯然當該方程有實數(shù)解時，BC邊上才存在點Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0． 因a>0，故a的取值范圍為a≥0． （3）易見，當a=2時，BC上僅有一點滿足題意，此時x=1，即Q為BC的中點． 取AD的中點M，過M作MN⊥PD，垂足為N，連結(jié)QM、QN．則M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）． ∵D、N、P三點共線， ∴． 又，且， 故． 于是． 故． ∵， ∴． ∴∠MNQ為所求二面角的平面角． ∵， ∴所求二面角為． 19.【答案】(1) 當時, 當時 函數(shù)取最小值3. (2) 設 依題意 得 . (3) 當時 恒成立 當時 恒成立 設 則 (1)當時, 在單調(diào)遞增 (2)當時,設 有兩個根,一個根大于1,一個根小于1. 不妨設 當時 即 在單調(diào)遞減 不滿足已知條件. 綜上:的取值范圍為. 20.【答案】（Ⅰ）， 當時，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減， ∴在上沒有極值點； 當時，得，得， ∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值． ∴當時在上沒有極值點， 當時，在上有一個極值點． （Ⅱ）∵函數(shù)在處取得極值，∴， ∴， 令，可得在上遞減，在上遞增， ∴，即． 21.【答案】（1），根據(jù)題意，即 （2）由（Ⅰ）知，， 令， 則，= ①當時， ， 若，則，在為減函數(shù)，存在， 即在上不恒成立． ②時，，當時，，在增函數(shù)，又， ∴，∴恒成立． 綜上所述，所求的取值范圍是 （3）有（2）知當時，在上恒成立．取得 令，得， 即 ∴ 上式中令n=1，2，3，…，n，并注意到： 然后n個不等式相加得到 22.【答案】(Ⅰ)首先， 有零點而無極值點，表明該零點左右同號，故，且的由此可得 （Ⅱ）由題意，有兩不同的正根，故. 解得： 設的兩根為，不妨設，因為在區(qū)間上， ，而在區(qū)間上，，故是的極小值點. 因在區(qū)間上是減函數(shù)，如能證明則更有 由韋達定理，， 令其中設 ，利用導數(shù)容易證明當時單調(diào)遞減，而，因此，即的極小值 （Ⅱ）另證：實際上，我們可以用反代的方式證明的極值均小于. 由于兩個極值點是方程的兩個正根，所以反過來， （用表示的關系式與此相同），這樣 即，再證明該式小于是容易的（注意，下略）.