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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第十章 第55課 兩條直線的平行與垂直要點導學 兩直線的平行與垂直關(guān)系 　(xx廣東六校聯(lián)考)如果直線(2a+5)x+(a-2)y+4=0與直線(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,那么a=　　　　. [答案]2或-2 [解析]由于直線(2a+5)x+(a-2)y+4=0與直線(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,則有(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=2. 　(xx佳木斯模擬)若直線l1:(3+a)x+4y=5-3a和直線l2:2x+(5+a)y=8平行,則a=　　　　. [答案]-7 [解析]根據(jù)題意有=≠,解得a=-7. 利用直線之間的關(guān)系求直線方程 　已知兩點M(0,2),N(-2,0),直線l:kx-y-2k+2=0(k為常數(shù)).若點M,N到直線l的距離相等,求直線l的方程. [解答]因為點M,N到直線l的距離相等, 所以l∥MN或l過MN的中點. 因為M(0,2),N(-2,0), 所以kMN=1,MN的中點坐標為C(-1,1). 又直線l:kx-y-2k+2=0過點D(2,2), 當l∥MN時,k=kMN=1,經(jīng)檢驗符合題意; 當l過MN的中點時,-k-1-2k+2=0,解得k=. 綜上,直線l的方程為x-y=0或x-3y+4=0. 【題組強化重點突破】 1. 與直線3x+4y-6=0平行且距離為4的直線的方程是　　　　　　　　　　. [答案]3x+4y+14=0或3x+4y-26=0 [解析]根據(jù)平行直線系,可設(shè)直線的方程為3x+4y+m=0,由平行距離公式=4,解得m=14或-26.故所求直線的方程為3x+4y+14=0或3x+4y-26=0. 2. 已知點P(3,2)與點Q(1,4)關(guān)于直線l對稱,那么直線l的方程為　　　　　　　　　　. [答案]x-y+1=0 [解析]因為kPQ==-1,所以kl=1,PQ的中點為,即(2,3),直線l的方程為y-3=x-2,即x-y+1=0. 3. 從點(2,3)射出的光線沿與直線x-2y=0平行的直線射到y(tǒng)軸上,經(jīng)y軸反射的光線所在的直線方程為　　　　. [答案]x+2y-4=0 [解析]由題意得,射出的光線方程為y-3=(x-2), 即x-2y+4=0,與y軸交點為(0,2). 又(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(-2,3), 所以反射光線所在直線過點(0,2),(-2,3), 故所求直線方程為y-2=x,即x+2y-4=0. 4. (xx南安模擬)過點(-1,2)且與原點的距離最大的直線方程是　　　　. [答案]x-2y+5=0 [解析]設(shè)A(-1,2),則OA的斜率等于-2,故所求直線的斜率等于,由點斜式求得直線的方程為y-2=(x+1),化簡得x-2y+5=0. 5. (1) 已知直線l1:ax+by=0,l2:(a-1)x+y+2b=0.若直線l1,l2同時平行于直線x+2y+3=0,那么a=　　　　,b=　　　　. (2) 若直線(m-1)x+(2m+3)y+2=0與(m+2)x+(1-m)y-3=0互相垂直,則實數(shù)m=　　　　. [答案](1) 　3　(2) 1 [解析](1) 由兩直線平行的充要條件,得解得a=,b=3,經(jīng)檢驗符合題意. (2) 由兩直線垂直的充要條件,得(m-1)(m+2)+(2m+3)(1-m)=0,所以m=1. 關(guān)于直線(或點)的對稱問題 　已知點A的坐標為(-4,4),直線l的方程為3x+y-2=0. (1) 求點A關(guān)于直線l的對稱點A的坐標; (2) 求直線l關(guān)于點A的對稱直線l的方程. [思維引導](1) 點A與A關(guān)于直線l對稱,主要運用兩點,一個是AA⊥l,另一個是AA的中點坐標滿足直線l的方程3x+y-2=0;(2) 關(guān)于點A對稱的兩直線l與l互相平行,由此可以求出直線l關(guān)于點A的對稱直線l的方程. [解答](1) 設(shè)點A的坐標為(x,y). 因為點A與A關(guān)于直線l對稱,所以AA⊥l,且AA的中點在l上,而直線l的斜率是-3,所以kAA=,即=.　① 因為直線l的方程為3x+y-2=0,AA的中點坐標是,所以3+-2=0.?、? 由①和②,解得x=2,y=6,所以點A的坐標為(2,6). (2) 因為關(guān)于點A對稱的兩直線l與l互相平行,于是可設(shè)l的方程為3x+y+c=0.在直線l上任取一點M(0,2),其關(guān)于點A對稱的點為M(x,y),于是M點在l上,且MM的中點為點A, 由此得=-4,=4,即x=-8,y=6,故有M(-8,6). 因為點M在l上,所以3(-8)+6+c=0,所以c=18. 故直線l的方程為3x+y+18=0. 　(xx江蘇模擬)已知直線a:3x+4y+1=0關(guān)于直線l對稱的直線b的方程為12x-5y=0,求直線l的方程. [解答]設(shè)點P(x,y)為直線l上的任意一點,點P到直線a,b的距離相等,即=,整理得21x-77y-13=0或99x+27y+13=0,即為直線l的方程. 在直線l:3x-y-1=0上求一點P,使得: (1) 點P到點A(4,1)和B(3,4)的距離之和最小; (2) 點P到點A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大. [思維引導](1) A,B兩點在直線l的同側(cè),直線l上點P到A,B兩點的距離之和等價于點P到A,B兩點的距離之和(點B與點B關(guān)于直線l對稱);這樣就將原來的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題“在直線l:3x-y-1=0上求一點P,使得點P到點A(4,1)和點B的距離之和最小”了,所求點即為直線l與AB的交點. (2) A,B兩點在直線l的異側(cè),直線l上點P到A,B兩點的距離之差等價于點P到A,B兩點的距離之差(點B與點B關(guān)于直線l對稱);這樣就將原來的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題“在直線l:3x-y-1=0上求一點P,使得點P到點A(4,1)和點B的距離之差最大”了,所求點即為直線l與AB的交點. [規(guī)范答題](1) 如圖(1),設(shè)點B關(guān)于直線l的對稱點為B,則PA+PB=PA+PB≥AB,即PA+PB的最小值等于AB.此時直線AB與直線l的交點即為點P.(2分) 設(shè)點B(m,n), 則解得 即點B的坐標為. (6分) 由兩點式可求得直線AB的方程為19x+17y-93=0. 則易得直線AB與l的交點坐標為,即為所求的點P的坐標. (7分) 圖(1) 圖(2) (范題賞析) (2) 如圖(2),設(shè)點B關(guān)于直線l的對稱點為B, 則PA-PB=PA-PB≤AB,即PA-PB的最大值等于AB.此時直線AB與直線l的交點即為點P.(9分) 設(shè)點B(m,n),則 解得 即點B的坐標為(3,3). 所以直線AB 的方程為2x+y-9=0.(12分) 所以直線AB與直線l的交點為(2,5),即點P的坐標為(2,5).(14分) [精要點評]本題無法直接去做,需通過求點B的對稱點B,將PB轉(zhuǎn)化為PB,從而實現(xiàn)問題的解決.這里運用了重要的數(shù)學思想方法——化歸思想! 1. 若點A(1,3)在直線l上的射影為(-5,1),則直線l的方程是　　　　　　　　. [答案]3x+y+14=0 [解析]因為點A(1,3)在直線l上的射影為P(-5,1),所以kPA=,所以kl=-3,所以直線l的方程是3x+y+14=0. 2. 設(shè)a∈R,則“a=1”是“直線l1:ax+2y=0與直線l2 :x+(a+1)y+4=0平行”的　　　　　條件. [答案]充分不必要 [解析]由=,解得a=1或a=-2.所以當a=1時,兩直線平行成立,因此是充分條件;當兩直線平行時,a=1 或a=-2,不是必要條件. 3. 若過點P(1,2)作一直線l,使點M(2,3)和點N(4,-1)到直線l的距離相等,則直線l的方程是　　　　　　　　. [答案]2x+y-4=0或x+2y-5=0 [解析]當直線l經(jīng)過MN的中點時,其方程是x+2y-5=0;當直線平行于直線l時,直線l的方程是2x+y-4=0. 4. 若直線x+2y-3=0與直線ax+4y+b=0關(guān)于點A(1,0)對稱,則b=　　　　. [答案]2 5. 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點,光線從點P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點P(如圖所示),若光線QR經(jīng)過△ABC的重心,則AP=　　　　. (第5題) [答案] [解析]不妨設(shè)AP=m(0≤m≤4),建立坐標系,設(shè)AB所在的直線為x軸,AC所在的直線為y軸,則A(0,0),B(4,0),C(0,4),Q(xQ,yQ),R(0,yR),P(m,0),可知△ABC的重心為G,根據(jù)反射性質(zhì),可知點P關(guān)于y軸的對稱點P1(-m,0)在直線QR上,點P關(guān)于直線BC:x+y=4的對稱點P2(4,4-m)在直線RQ上,則QR的方程為=,將點G代入可得3m2-4m=0,即m=或m=0(舍去). [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第109-110頁).