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2019年高三上學期期中 數(shù)學理試題 本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共10頁，滿分為150分?？荚囉脮r120分鐘。 注意事項：1、答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學號填寫在答題卡和答卷密封線內(nèi)相應的位置上，用2B鉛筆將自己的學號填涂在答題卡上。 2、選擇題每小題選出答案后，有2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上。 3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答卷紙上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4、考生必須保持答題卡的整潔和平整。 第一部分選擇題(共 40 分) 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．若，，，則（ ） A．{2，4} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5} 2．若復數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)（ ） A. B. C.0 D.1 3．等差數(shù)列的前n項和為，且9，3，成等比數(shù)列. 若=3，則= ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 4. 設是甲拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，則方程有兩個不相等的實數(shù)根的概率為（ ） A B C D 5. 已知變量x、y滿足條件則的最大值是( ) A.2 B.5 C.6 D.8 6. 下列各命題中正確的命題是 （ ） ①命題“或”為真命題，則命題“”和命題“”均為真命題； ② 命題“”的否定是“” ； ③“函數(shù)最小正周期為”是“”的必要不充分條件； ④“平面向量與的夾角是鈍角”的充分必要條件是“” ． A．②③ B．①②③ C．①②④ D．③④ 7. 把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側(cè)視圖的面積為 （ ） A. B. C. D. 8.點為雙曲線：和圓：的一個交點，且，其中為雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為 （ ） A． B． C． D． 第二部分 非選擇題(共 110 分) 二、填空題：本大題共6小題,每小題5分,共30分。 9. 若向量, 滿足條件,則=______ 10. 在ABC中，，，面積為， 那么的長度為________ 11. 右圖是求的值的程序框圖，則正整數(shù) __ 12．已知圓的圓心與拋物線的焦點關(guān)于軸對稱, 又直線與圓相切,則圓的標準方程為 _ 第11題圖 13.已知函數(shù)，令， 則二項式，展開式中常數(shù)項是第 __________項. 第14、15題為選做題，只能選做一題，全答的，只計前一題的得分． 14．（坐標系與參數(shù)方程選講）在極坐標系中， 曲線與的交點的極坐標為 . 15．（幾何證明選講）如圖,是圓的直徑，直線與 第15題圖 圓相切于點，于點，若圓的面積為，， 則的長為 ． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16．（本小題共12分）已知函數(shù)(R). （1）求的最小正周期和最大值； （2）若為銳角，且，求的值. 17.（本小題共12分）今有4種股票和3種基金，李先生欲購買其中的任意3種產(chǎn)品. （1）求李先生所購買的3種產(chǎn)品中恰好只含一種基金的概率； （2）記購買的3種產(chǎn)品中，包含基金的種數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望. 18.（本小題共14分）如圖，在長方體中，，為中點. （1）求證：； （2）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由. （3）若AB＝2，求二面角的平面角 的余弦值。 19．（本小題共14分）已知是函數(shù)的一個極值點。 （1）求的值； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）若直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍。 20.（本小題共14分）直線與橢圓交于，兩點，已知，，若且橢圓的離心率，又橢圓經(jīng)過點，為坐標原點． （1）求橢圓的方程； （2）若直線過橢圓的焦點（為半焦距），求直線的斜率的值； （3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是， 請說明理由. 21．（本小題共14分）已知數(shù)列中，，對于任意的，有, （1）求數(shù)列的通項公式； （2）數(shù)列滿足：， ，求數(shù)列的通項公式； （3）設，是否存在實數(shù)，當時，恒成立，若存在，求實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由。 xx學年度第一學期 班級：_______________姓名：_______________學號：_______________ O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 線??????????????????????O 高三級數(shù)學科（理科）期中考試答卷 成績： 注意事項：1、本答卷為第二部分非選擇題答題區(qū)。考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上答題，超出指定區(qū)域的答案無效。 2、如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效。 題號 選擇題 填空題 16 17 18 19 20 21 得分 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分. （一）必做題（9～13題） 9. ； 10. ； 11. ；12. . 13. _； （二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題） 14. ；15. . 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16. （本小題滿分12分） 解： 17. （本小題滿分12分） 解： 18. （本小題滿分14分） 解： O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 線??????????????????????O O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 線??????????????????????O 19. （本小題滿分14分） 解： 20. （本小題滿分14分） 解： 班級：_______________姓名：_______________學號：_______________ O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 線??????????????????????O 21. （本小題滿分14分） 解： xx學年度高三級第一學期 期中數(shù)學科（理數(shù)）考試答案 一、選擇題（每題5分，共40分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C A C A D C 二、填空題（每題5分，共30分） 9． ; 10. 49 ; 11. 100 ; 12. ； 13. 5 14. 15. 1 三、解答題（寫出必要的文字說明，計算或證明過程。共80分） 16．（本小題共12分） 17．（本小題共12分） 解：（1）設事件A表示“李先生所購買的3種產(chǎn)品中，恰好只含一種基金” …………1分 …………3分 答：李先生所購買的3種產(chǎn)品中恰好只含一種基金的概率為…………4分 （2）…………5分 …………9分 …………12分 18．（本小題共14分） 解：（1）連結(jié)長方體中，， 則…………1分 ∵ ∴…………2分 ∴面…………3分 又面 ∴…………4分 P Q （2）存在的中點P，使得， 證明：取的中點為，中點為，連接 在中， 又 ∴ ∴四邊形PQDE為平行四邊形 ∴ 又 ∴ 此時 ………8分 （3）法一：在平面上，過點作交于，連結(jié) ∵ ∴ ∴為二面角的平面角 在中， 又，則 在中， ∴ 即二面角的平面角的余弦值為. 法二：因為 建立如圖所示坐標系 ∵ ∴平面ABE的一個法向量 設平面的法向量為 由，得 取，則平面的一個法向量 ∴ 經(jīng)檢驗，二面角B－AE－B所成平面角為銳角，其余弦值為 19．（本小題共14分） 解：（1）因為 …………2分 所以 ， 因此 …………4分 （2）由（1）知， …………5分 當時， 當時， …………6分 所以的單調(diào)增區(qū)間是 的單調(diào)減區(qū)間是 …………8分 （3）由（2）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加， 且當或時， 所以的極大值為，極小值為…………10分 因為 所以在的三個單調(diào)區(qū)間 直線與的圖象各有一個交點，當且僅當 …………13分 因此，的取值范圍為 …………14分 20．（本小題共14分） 解：（1）∵ ……2分 ∴ ……………3分 ∴橢圓的方程為 ……………4分 （2）依題意，設的方程為 由 ………………5分 顯然 ………………6分 由已知得： 解得 ……………………8分 （3）①當直線斜率不存在時，即， 由已知，得 又在橢圓上， 所以 ,三角形的面積為定值．………10分 ②當直線斜率存在時：設的方程為 必須 即 得到， ………………11分 ∵，∴ 代入整理得： …………………12分 …………13分 所以三角形的面積為定值． ……14分 21．（本小題共14分） 解：（1）取，則　∴（） ∴是公差為，首項為的等差數(shù)列 ∴　　　 …………4分 （2）∵ ① ∴ 　② ①-②得：∴ …………6分 當時，　∴，滿足上式 ∴ …………8分 （3）　假設存在，使 ． ． ．　　 當為正偶函數(shù)時，恒成立， ∴． ∴ …………11分 當為正奇數(shù)時，恒成立． ∴ ∴．∴． 綜上可知，存在實數(shù)．使時，恒成立． …………14分