2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第45講 幾何概型練習 新人教A版.doc
-
資源ID:3189596
資源大?。?span id="mzebxcnn0" class="font-tahoma">350KB
全文頁數(shù):7頁
- 資源格式: DOC
下載積分:9.9積分
快捷下載

會員登錄下載
微信登錄下載
微信掃一掃登錄
友情提示
2、PDF文件下載后,可能會被瀏覽器默認打開,此種情況可以點擊瀏覽器菜單,保存網(wǎng)頁到桌面,就可以正常下載了。
3、本站不支持迅雷下載,請使用電腦自帶的IE瀏覽器,或者360瀏覽器、谷歌瀏覽器下載即可。
4、本站資源下載后的文檔和圖紙-無水印,預覽文檔經(jīng)過壓縮,下載后原文更清晰。
5、試題試卷類文檔,如果標題沒有明確說明有答案則都視為沒有答案,請知曉。
|
2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第45講 幾何概型練習 新人教A版.doc
2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第45講 幾何概型練習 新人教A版
[考情展望] 1.考查與長度、面積、體積等有關(guān)的幾何概型計算.2.主要以選擇題和填空題形式考查,一般為中低檔題.
一、幾何概型的定義
如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型.
二、幾何概型的兩個基本特點
幾何概型的特點
幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗中的可能結(jié)果不是有限個,它的特點是試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布,故隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān),只與該區(qū)域的大小有關(guān).
三、幾何概型的概率公式
P(A)=.
1.某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次,某乘客到乘車點的時刻是隨機的,則他候車時間不超過2分鐘的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5,所求事件的區(qū)域長度為2,故所求概率為P=.
【答案】 C
2.有四個游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎,小明要想增加中獎機會,應(yīng)選擇的游戲盤是( )
【解析】 P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,
∴P(A)>P(C)=P(D)>P(B).
【答案】 A
圖10-6-1
3.如圖10-6-1,矩形ABCD中,點E為邊CD的中點.若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q,則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 “點Q取自△ABE內(nèi)部”記為事件M,由幾何概型得P(M)===.
【答案】 C
4.在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為________.
【解析】 記“點P到點O的距離大于1”為事件A,則事件A發(fā)生時,點P位于以O(shè)為球心,以1為半徑的半球外.
又V正方體ABCD—A1B1C1D1=23=8,V半球=π13=π.
∴所求事件概率P(A)==1-.
【答案】 1-
5.(xx陜西高考)
圖10-6-2
如圖10-6-2,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基戰(zhàn),假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是( )
A.1- B.-1
C.2- D.
【解析】 取面積為測度,則所求概率為P====1-.
【答案】 A
6.(xx福建高考)利用計算機產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機數(shù)a,則事件“3a-1>0”發(fā)生的概率為________.
【解析】 選擇區(qū)間長度為測度求解幾何概型.
由題意知0≤a≤1.事件“3a-1>0”發(fā)生時,a>且a≤1,取區(qū)間長度為測度,由幾何概型的概率公式得其概率P==.
【答案】
考向一 [186] 與長度有關(guān)的幾何概型
在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x,則sin x+cos x∈[1,]的概率是( )
A. B. C. D.
【思路點撥】 先化簡不等式,確定滿足sin∈[1,]且在區(qū)間內(nèi)x的范圍,根據(jù)幾何概型利用長度之比可得結(jié)論.
【嘗試解答】 ∵sin x+cos x∈[1,],
即sin∈,
∵x∈,
∴在區(qū)間內(nèi),滿足sin∈的x∈,
∴事件sin x+cos x∈[1,]的概率為P==.
【答案】 B
規(guī)律方法1 1.解答本題的關(guān)鍵是確定x的取值范圍,這需要用到三角函數(shù)的單調(diào)性.
2.幾何概型有兩個特點:一是無限性,二是等可能性.基本事件可以抽象為點,盡管這些點是無限的,但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的,因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率.
對點訓練 已知函數(shù)f(x)=log2x,若在[1,4]上隨機取一個實數(shù)x0,則使得f(x0)≥1成立的概率為( )
A. B. C. D.
【解析】 解不等式log2x≥1,可得x≥2,
∴在區(qū)間[1,4]上隨機取一實數(shù)x,該實數(shù)x滿足不等式1≤log2x的概率為=.
【答案】 C
考向二 [187] 與面積有關(guān)的幾何概型
如圖10-6-3所示,在一個邊長為1的正方形AOBC內(nèi),曲線y=和曲線y=x2圍成一個葉形圖(陰影部分),向正方形AOBC內(nèi)隨機投一點(該點落在正方形AOBC內(nèi)任何一點是等可能的),則所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是________.
圖10-6-3
【思路點撥】 利用積分求出陰影部分的面積,根據(jù)幾何概型公式求解.
【嘗試解答】 由得或
故點C的坐標為(1,1),
∴陰影部分的面積為
S=(-x2)dx==,
而正方形的面積為1,故所求的概率P==.
【答案】
規(guī)律方法2 (1)當試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時,應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時,關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找,有時需要設(shè)出變量,在坐標系中表示所需要的區(qū)域.
對點訓練 如圖10-6-4,
圖10-6-4
矩形OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線f(x)=sin x(x∈(0,π))及直線x=a(a∈(0,π))與x軸圍成,向矩形OABC內(nèi)隨機投擲一點,若落在陰影部分的概率為,則a的值是________.
【解析】 sin xdx=-cos x=1-cos a=a=,∴cos a=-,∴a=.
【答案】
考向三 [188] 與體積有關(guān)的幾何概型
在球O內(nèi)任取一點P,使得P點在球O的內(nèi)接正方體中的概率是( )
A. B. C. D.
【思路點撥】 先根據(jù)球的內(nèi)接正方體的體對角線長即為球的直徑求出邊長,然后分別求出球和正方體的體積,最后利用幾何概型的概率公式進行計算即可.
【嘗試解答】 設(shè)球的半徑為R,則球O的內(nèi)接正方體的體對角線為2R
根據(jù)邊長為a的正方體的體對角線長為a,可知正方體的體對角線為2R,則正方體的邊長為=
球的體積為,球O的內(nèi)接正方體的體積為3=
∴在球O內(nèi)任取一點P,使得P點在球O的內(nèi)接正方體中的概率是=
【答案】 C
規(guī)律方法3 求解幾何概型的概率問題,一定要正確確定試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,從而正確選擇合理的測度,進而利用概率公式求解.
對點訓練 一只小蜜蜂在一個棱長為4的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體中心的距離不超過1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 正方體的體積為64,與正方體中心的距離不超過1構(gòu)成半徑為1的球,體積為,即P==,故選B.
【答案】 B
規(guī)范解答之二十二 概率與函數(shù)相結(jié)合的綜合問題
————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]————
(12分)(xx濰坊模擬)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1.
(1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率;
(2)設(shè)點(a,b)是區(qū)域內(nèi)的一點,
求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率.
【規(guī)范解答】 (1)∵函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對稱軸為直線x=,要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),當且僅當a>0且≤1,即2b≤a.2分
若a=1,則b=-1;
若a=2,則b=-1或1;
若a=3,則b=-1或1.
∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5.5分
而滿足條件的數(shù)對(a,b)共有35=15個
∴所求事件的概率為=.6分
(2)由(1)知,當且僅當2b≤a且a>0時,
函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),8分
依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形.9分
由得交點坐標為,10分
∴所求事件的概率為P==.12分
【名師寄語】 本例中先將f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足條件2b≤a且a>0,然后再聯(lián)系已知條件,將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型,實現(xiàn)了知識的逐步遷移,這種轉(zhuǎn)化遷移的思想值得注意,另外,對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),在某一區(qū)間[m,+∞)上單調(diào)遞增的充要條件是切勿漏掉a>0.
已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-8bx+1
設(shè)點(a,b)是區(qū)域內(nèi)的隨機點,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)的概率.
【解】 (1)∵函數(shù)f(x)=ax2-8bx+1的圖象的對稱軸為x=.
∴要使f(x)=ax2-8bx+1在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),
當且僅當a>0且≤2,即2b≤a,且a>0時,函數(shù)f(x)=ax2-8bx+1在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),
依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為:,
對應(yīng)圖中的△AOC及其內(nèi)部,其中A(6,0),C(0,6)
而構(gòu)成所求事件的區(qū)域為△AOB部分及其內(nèi)部,如圖所示.
由解得交點為B(4,2).
∴函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)的概率為P===.