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2019-2020年高考數(shù)學 6.4 基本不等式練習 (25分鐘　50分) 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.下列不等式:①a2+1>2a;②≤2;③x2+≥1,其中正確的個數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選B.①②不正確,③正確,x2+=(x2+1)+-1≥2-1=1. 2.(xx福建高考)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】選D.2≤2x+2y=1,所以2x+y≤,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2. 3.(xx馬鞍山模擬)設(shè)x>0,y>0,且2x+y=6,則9x+3y有(　　) A.最大值27 B.最小值27 C.最大值54 D.最小值54 【解析】選D.因為x>0,y>0,且2x+y=6, 所以9x+3y≥2=2=2=54,當且僅當x=,y=3時,9x+3y有最小值54. 4.圓x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對稱,則ab的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 【思路點撥】圓關(guān)于直線對稱,則圓心在直線上,利用此條件可解. 【解析】選A.由已知得圓心坐標為(-1,2), 故-2a-2b+2=0,即a+b=1, 故ab≤=. 5.(xx黃岡模擬)若實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=2,則xy+yz+zx的取值范圍是 (　　) A.[-1,2] B.[1,2] C.[-1,1] D.[-2,2] 【解析】選A.因為(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0, 所以x2+y2+z2≥xy+xz+yz, 所以xy+yz+zx≤2; 又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)≥0, 所以xy+xz+yz≥-(x2+y2+z2)=-1. 綜上可得:-1≤xy+xz+yz≤2. 故選A. 6.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域為[0,+∞),則+的最小值為(　　) A.3 B. C.5 D.7 【解析】選A.由題意知,a>0,Δ=16-4ac=0, 所以ac=4,c>0, 則+≥2=3,當且僅當=時取等號, 則+的最小值是3,故選A. 7.(xx濰坊模擬)一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為2,+的最小值為(　　) A. B. C. D. 【解析】選D.由題意得3a+2b=2, +==6+++≥+2=,當且僅當a=,b=時取等號. 故選D. 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.(xx青島模擬)下列命題中正確的是　　　　　(填序號). ①y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4; ②y=sin2x+的最小值是4; ③y=2-3x-(x<0)的最小值是2-4. 【解析】①正確,因為y=2-3x-=2-≤2-2=2-4. 當且僅當3x=,即x=時等號成立. ②不正確,令sin2x=t,則00,最小值為2+4,而不是2-4. 答案:① 【誤區(qū)警示】此題容易出現(xiàn)答案為①②,是因為做題時只看到了形式,而看不到基本不等式成立的條件而造成的. 9.(xx四川高考)已知函數(shù)f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,則a=　　　　. 【解析】由題f(x)=4x+(x>0,a>0),根據(jù)基本不等式4x+≥4,當且僅當4x=時取等號,而由題知當x=3時取得最小值,即a=36. 答案:36 10.已知x,y為正實數(shù),3x+2y=10,+的最大值為　　　　. 【解析】由≤ 得+≤ ==2, 當且僅當x=,y=時取等號. 答案:2 【一題多解】此題還可以這樣解: 設(shè)W=+>0, W2=3x+2y+2=10+2≤10+()2+()2=10+(3x+2y)=20, 所以W≤=2, 當且僅當x=,y=時等號成立. 答案:2 (20分鐘　40分) 1.(5分)(xx懷化模擬)已知a,b為正實數(shù),函數(shù)y=2aex+b的圖象經(jīng)過點(0,1),則+的最小值為(　　) A.3+2 B.3-2 C.4 D.2 【解析】選A.由已知得2a+b=1, 又因為a,b為正實數(shù), 所以+=(2a+b)=3++ ≥3+2=3+2. 當且僅當a=1-,b=-1時取等號. 【加固訓練】(xx山東高考)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當取得最大值時,+-的最大值為(　　) A.0 B.1 C. D.3 【解析】選B.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2. 所以== ≤=1, 當且僅當=,即x=2y時取等號,此時z=2y2,=1. +-=+-== ≤4=1. 2.(5分)(xx吉林模擬)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項am,an使得=4a1,則+的最小值為(　　) A. B. C. D. 【解析】選A.由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5, 可得a1q6=a1q5+2a1q4, 所以q2-q-2=0, 解得q=2或q=-1(舍去). 因為=4a1,所以qm+n-2=16, 所以2m+n-2=24,所以m+n=6, 所以+=(m+n) = ≥(5+4)=. 當且僅當=時,等號成立, 故+的最小值等于. 3.(5分)(xx太原模擬)正數(shù)a,b滿足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,6] D.[6,+∞) 【解析】選D.因為a>0,b>0,+=1, 所以a+b=(a+b) =10++≥10+2=16, 由題意,得16≥-x2+4x+18-m, 即x2-4x-2≥-m對任意實數(shù)x恒成立, 而x2-4x-2=(x-2)2-6, 所以x2-4x-2的最小值為-6, 所以-6≥-m, 即m≥6. 【加固訓練】(xx閔行模擬)若不等式(x+y)+≥16對任意正實數(shù)x,y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為　　　　　. 【解析】因為不等式(x+y)≥16對任意正實數(shù)x,y恒成立,所以16≤. 令f(x)=(x+y)(a>0), 則f(x)=a+4++≥a+4+2=a+4+4, 當且僅當=時取等號, 所以a+4+4≥16,解得a≥4, 因此正實數(shù)a的最小值為4. 答案:4 4.(12分)(xx鄭州模擬)若a>0,b>0,且+=. (1)求a3+b3的最小值. (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由. 【解析】(1)因為a>0,b>0,且+=, 所以=+≥2,所以ab≥2, 當且僅當a=b=時取等號. 因為a3+b3≥2≥2=4, 當且僅當a=b=時取等號, 所以a3+b3的最小值為4. (2)由(1)可知,2a+3b≥2 =2≥4>6, 故不存在a,b,使得2a+3b=6成立. 5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場,設(shè)計時決定保留空地邊上的一水塘(如圖中陰影部分),水塘可近似看作一個等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且△EFG中,∠EGF=90,經(jīng)測量得到AE=10m,EF=20m,為保證安全同時考慮美觀,健身廣場周圍準備加設(shè)一個保護欄,設(shè)計時經(jīng)過點G作一直線交AB,DF于M,N,從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場,設(shè)DN=x(m). (1)將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù). (2)當x為何值時,市民健身廣場的面積最大?并求出最大面積. 【解題提示】(1)作GH⊥EF,垂足為H,過M作MT∥BC交CD于T,求出AM=,可得S五邊形MBCDN=S四邊形MBCT+S四邊形MTDN=(40-AM)60+(x+60)AM,從而可得五邊形MBCDN的面積的函數(shù)表達式. (2)將函數(shù)變形,利用基本不等式,可求市民健身廣場的面積最大值. 【解析】(1)作GH⊥EF,垂足為H. 因為DN=x,所以NH=40-x,NA=60-x, 因為=, 所以=,所以AM=. 過M作MT∥BC交CD于T, 則S五邊形MBCDN=S四邊形MBCT+S四邊形MTDN=(40-AM)60+(x+60)AM, 所以y=60+ =2400-. 由于N與F重合時,AM=AF=30適合條件, 故x∈(0,30]. (2)y=2400- =2400-5, 所以當且僅當40-x=, 即x=20∈(0,30]時,y取得最大值xx, 所以當DN=20m時,得到的市民健身廣場面積最大,最大面積為2000m2.