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2019年高中數(shù)學 3.3.1 幾何概型學案 新人教A版必修3 【明目標、知重點】 1．了解幾何概型的定義及其特點． 2．了解幾何概型與古典概型的區(qū)別． 3．會用幾何概型的概率計算公式求幾何概型的概率． 【填要點、記疑點】 1．幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的特點 (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個． (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 3．幾何概型的概率公式 P(A)＝ . 【探要點、究所然】 [情境導學]　在現(xiàn)實生活中，常常會遇到試驗的所有可能結(jié)果是無窮多的情況，例如：一個正方形方格內(nèi)有一內(nèi)切圓，往這個方格中投一個石子，求石子落在圓內(nèi)的概率，由于石子可能落在方格中的任何一點，這個實驗不能用古典概型來計算事件發(fā)生的概率．對此，我們必須學習新的方法來解決這類問題． 探究點一　幾何概型的概念 思考1　計算隨機事件發(fā)生的概率，我們已經(jīng)學習了哪些方法？ 答　(1)通過做試驗或計算機模擬，用頻率估計概率；(2)利用古典概型的概率公式計算． 思考2　某班公交車到終點站的時間可能是11：30～12：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點上．這兩個試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，還是無限個？若沒有人為因素，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？ 答　出現(xiàn)的結(jié)果是無限個；每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的． 思考3　下圖中有兩個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝．你認為甲獲勝的概率分別是多少？ 答　以轉(zhuǎn)盤(1)為游戲工具時，甲獲勝的概率為；以轉(zhuǎn)盤(2)為游戲工具時，甲獲勝的概率為. 思考4　上述每個扇形區(qū)域?qū)膱A弧的長度(或扇形的面積)和它所在位置都是可以變化的，從結(jié)論來看，甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的哪個因素有關(guān)？哪個因素無關(guān)？ 答　與扇形的弧長(或面積)有關(guān)，與扇形區(qū)域所在的位置無關(guān)． 思考5　玩轉(zhuǎn)盤游戲中所求的概率就是幾何概型，你能給幾何概型下個定義嗎？參照古典概型的特征，幾何概型有哪兩個基本特征？ 答　如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型；幾何概型的基本特征：(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等． 思考6　古典概型和幾何概型有什么相同點和不同點？ 答　相同點：兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的； 不同點：古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個. 例1　判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概型是古典概型，還是幾何概型． (1)拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率； (2)思考3中，求甲獲勝的概率． 解　(1)拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有66＝36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型； (2)游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型． 反思與感悟　判斷一個概率是古典概型還是幾何概型的步驟：(1)判斷一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率是否相等，若不相等，那么這個概率既不是古典概型也不是幾何概型；(2)如果一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率相等，再判斷試驗結(jié)果的有限性，當試驗結(jié)果有有限個時，這個概率是古典概型；當試驗結(jié)果有無限個時，這個概率是幾何概型． 跟蹤訓練1　判斷下列試驗是否為幾何概型，并說明理由： (1)某月某日，某個市區(qū)降雨的概率． (2)設A為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，求弦長超過半徑的概率． 解　(1)不是幾何概型，因為它不具有等可能性；(2)是幾何概型，因為它具有無限性與等可能性． 探究點二　幾何概型的概率公式 問題　對于具有幾何意義的隨機事件，或可以化歸為幾何問題的隨機事件，一般都有幾何概型的特性，那么，對于屬于幾何概型的試驗，如何求某一事件的概率？有沒有求幾何概型的概率公式呢？ 思考1　有一根長度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段的長度都不小于1 m的概率是多少？你是怎樣計算的？ 答　從每一個位置剪斷都是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點． 如上圖，記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發(fā)生．由于中間一段的長度等于繩長的， 于是事件A發(fā)生的概率P(A)＝. 思考2　射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”．奧運會射箭比賽的靶面直徑是122 cm，黃心直徑是12.2 cm，運動員在距離靶面70 m外射箭．假設射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點，那么如何計算射中黃心的概率？ 答　如右圖，由于中靶點隨機地落在面積為π1222 cm2的大圓內(nèi)， 若要射中黃心，則中靶點落在面積為π12.22 cm2的圓內(nèi)， 所以P＝＝0.01. 思考3　在裝有5升純凈水的容器中放入一個病毒，現(xiàn)從中隨機取出1升水，那么這1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎樣計算的？ 答　概率為，由于病毒在5升水中的哪個位置的可能性都有，1升水中含有病毒的概率為1升水的體積除以5升水的體積． 思考4　根據(jù)上述3個思考中求概率的方法，你能歸納出求幾何概型中事件A發(fā)生的概率的計算公式嗎？ 答　P(A)＝ . 例2　某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求乘客候車時間不超過6分鐘的概率． 解　如下圖所示，設上輛車于時刻T1到達，而下輛車于時刻T2到達，則線段T1T2的長度為10，設T是線段T1T2上的點，且TT2的長為6，記“等車時間不超過6分鐘”為事件A，則事件A發(fā)生即當點t落在線段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6.所以P(A)＝＝＝. 故乘客候車時間不超過6分鐘的概率為. 反思與感悟　數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．利用圖解題的關(guān)鍵：首先用圖形準確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的幾何區(qū)域，然后根據(jù)構(gòu)成這兩個區(qū)域的幾何長度(面積或體積)，用幾何概型概率公式求出事件A的概率． 跟蹤訓練2　某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率． 解　記“等待的時間小于10分鐘”為事件A，打開收音機的時刻位于[50,60]時間段內(nèi)則事件A發(fā)生． 由幾何概型的概率公式求得P(A)＝＝， 即“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為. 探究點三　幾何概型的應用 例3　在Rt△ABC中，∠A＝30，過直角頂點C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|>|AC|的概率． 解　 設事件D為“作射線CM，使|AM|>|AC|”． 在AB上取點C′使|AC′|＝|AC|， 因為△ACC′是等腰三角形， 所以∠ACC′＝＝75， μA＝90－75＝15，μΩ＝90， 所以P(D)＝＝. 反思與感悟　幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測度”，如本例以角度為“測度”．因為射線CM落在∠ACB內(nèi)的任意位置是等可能的．若以長度為“測度”，就是錯誤的，因為M在AB上的落點不是等可能的． 跟蹤訓練3　在△ABC中，∠B＝60，∠C＝45，高AD＝，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率． 解　∵∠B＝60，∠C＝45，∴∠BAC＝75， 在Rt△ADB中，AD＝，∠B＝60， ∴BD＝＝1，∠BAD＝30. 記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生． 由幾何概型的概率公式得P(N)＝＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【當堂測、查疑缺】 1．下列關(guān)于幾何概型的說法錯誤的是 (　　) A．幾何概型也是古典概型中的一種 B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與位置、形狀無關(guān) C．幾何概型中每一個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性 D．幾何概型在一次試驗中能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個 答案　A 解析　幾何概型與古典概型是兩種不同的概型． 2．面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　向△ABC內(nèi)部投一點的結(jié)果有無限個，屬于幾何概型．設點落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝＝. 3．ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為 (　　) A. B．1－ C. D．1－ 答案　B 解析　若以O為圓心，1為半徑作圓，則圓與長方形的公共區(qū)域內(nèi)的點滿足到點O的距離小于或等于1， 故所求事件的概率為P(A)＝＝1－. 4．在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)x，則sin 的值介于－與之間的概率為________． 答案　 解析　∵－1≤x≤1，∴－≤≤. 由－≤sin ≤，得－≤≤， 即－≤x≤1. 故所求事件的概率為＝. 【呈重點、現(xiàn)規(guī)律】 1．幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型． 2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目． 3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別． 4．理解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為 P(A)＝