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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 圓錐曲線的綜合問題專題訓(xùn)練(含解析)
一、選擇題
1.已知方程+=1(k∈R)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則k的取值范圍是( )
A.k<1或k>3 B.1
1 D.k<3
解析 若橢圓焦點(diǎn)在x軸上,則,解得13) D.-=1(x>4)
解析
如圖|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支,方程為-=1(x>3).
答案 C
3.設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn),以F為圓心,|FM|為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交,則y0的取值范圍是( )
A.(0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
解析 依題意得F(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2,
又∵以F為圓心,|FM|為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交,且|FM|=|y0+2|,
∴|FM|>4,即|y0+2|>4,
又y0≥0,∴y0>2.
答案 C
4.若點(diǎn)O和F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為( )
A.2 B.3
C.6 D.8
解析 設(shè)P(x0,y0),則+=1,
即y=3-,又因?yàn)镕(-1,0),
所以=x0(x0+1)+y=x+x0+3=(x0+2)2+2,
又x0∈[-2,2],即∈[2,6],
所以()max=6.
答案 C
5.
已知拋物線y2=4x,圓F:(x-1)2+y2=1,過點(diǎn)F作直線l,自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)A,B,C,D(如圖所示),則|AB||CD|的值正確的是( )
A.等于1 B.最小值是1
C.等于4 D.最大值是4
解析 設(shè)直線l:x=ty+1,代入拋物線方程,
得y2-4ty-4=0.
設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),
根據(jù)拋物線定義|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,
故|AB|=x1,|CD|=x2,
所以|AB||CD|=x1x2==.
而y1y2=-4,代入上式,
得|AB||CD|=1,故選A.
答案 A
6.在周長(zhǎng)為16的△PMN中,|MN|=6,則的取值范圍是( )
A.[7,+∞) B.(0,16)
C.(7,16] D.[7,16)
解析 以MN所在直線為x軸,
以其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
由于|PN|+|PM|=10>|MN|=6,
故點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓(去左、右頂點(diǎn)),
其方程為+=1(y≠0),
故=(3-x,-y)(-3-x,-y)=x2+y2-9,
將y2=16代入整理得:=+7,
而0≤<1(由于是三角形,因此M,N,P三點(diǎn)不共線),
故7≤<16.
故選D.
答案 D
二、填空題
7.已知點(diǎn)A(-,0),點(diǎn)B(,0),且動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與直線y=k(x-2)有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件為k∈________.
解析 由已知得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為一雙曲線的右支且2a=2,c=,則b==1,所以P點(diǎn)的軌跡方程為x2-y2=1(x>0),其一條漸近線方程為y=x.若P點(diǎn)的軌跡與直線y=k(x-2)有兩個(gè)交點(diǎn),則需k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)
8.設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn),過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時(shí),的值等于________.
解析 易知當(dāng)P,Q分別在橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),四邊形PF1QF2面積最大.
此時(shí),F(xiàn)1(-,0),F(xiàn)2(,0),不妨設(shè)P(0,1),
∴=(-,-1),=(,-1),
∴=-2.
答案 -2
9.已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則y+y的最小值是________.
解析 (1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=4,代入y2=4x,得交點(diǎn)為(4,4),(4,-4),∴y+y=16+16=32.
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x-4),與y2=4x聯(lián)立,消去x得ky2-4y-16k=0,由題意知k≠0,則y1+y2=,y1y2=-16.∴y+y=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32.綜合(1)(2)知(y+y)min=32.
答案 32
三、解答題
10.設(shè)橢圓E:+=1的焦點(diǎn)在x軸上.
(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;
(2)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn),P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線F2P交y軸于點(diǎn)Q,并且F1P⊥F1Q.證明:當(dāng)a變化時(shí),點(diǎn)P在某定直線上.
解 (1)因?yàn)榻咕酁?,所以2a2-1=,解得a2=.
故橢圓E的方程為+=1.
(2)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c=.
由題設(shè)知x0≠c,則直線F1P的斜率kF1P=,
直線F2P的斜率kF2P=.
故直線F2P的方程為y=(x-c).
當(dāng)x=0時(shí),y=,即點(diǎn)Q坐標(biāo)為.
因此,直線F1Q的斜率為kF1Q=.
由于F1P⊥F1Q,所以kF1PkF1Q==-1.
化簡(jiǎn)得y=x-(2a2-1).①
將①代入橢圓E的方程,由于點(diǎn)P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即點(diǎn)P在定直線x+y=1上.
11.已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D,橢圓C的右頂點(diǎn)為B,點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線AS,BS與直線l:x=分別交于M,N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值.
解
(1)如圖,由題意得橢圓C的左頂點(diǎn)為A(-2,0),上頂點(diǎn)為D(0,1),即a=2,b=1.
故橢圓C的方程為+y2=1.
(2)直線AS的斜率顯然存在且不為0,
設(shè)直線AS的方程為y=k(x+2)(k>0),
解得M,且將直線方程代入橢圓C的方程,
得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.
設(shè)S(x1,y1),由根與系數(shù)的關(guān)系得(-2)x1=.
由此得x1=,y1=,
即S.
又B(2,0),則直線BS的方程為y=-(x-2),
聯(lián)立直線BS與l的方程解得N.
∴|MN|==+≥2 =.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即k=時(shí)等號(hào)成立,
故當(dāng)k=時(shí),線段MN的長(zhǎng)度的最小值為.
B級(jí)——能力提高組
1.已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形,若|PF1|=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e1e2的取值范圍是( )
A.(0,+∞) B.
C. D.
解析
設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c,
PF1=r1,PF2=r2.
由題意知r1=10,r2=2c,且r1>r2,2r2>r1,
∴2c<10,2c+2c>10,
∴.
答案 B
2.若C(-,0),D(,0),M是橢圓+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),則+的最小值為________.
解析 由橢圓+y2=1,知c2=4-1=3,∴c=,
∴C,D是該橢圓的兩焦點(diǎn).
令|MC|=r1,|MD|=r2,則r1+r2=2a=4,
∴+=+==.
又∵r1r2≤==4,
∴+=≥1.
當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時(shí),上式等號(hào)成立.
故+的最小值為1.
答案 1
3.
(xx重慶卷)如圖,設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)D在橢圓上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面積為.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解 (1)設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2=a2-b2.
由=2,得|DF1|==c,
從而S△DF1F2=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1,
從而|DF1|=.
由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,
因此|DF2|=.
所以2a=|DF1|+|DF2|=2,
故a=,b2=a2-c2=1.
因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)如圖,設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),y1>0,y2>0,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2.
由圓和橢圓的對(duì)稱性,易知x2=-x1,y1=y(tǒng)2.
由(1)知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),
所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).
再由F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y=0.
由橢圓方程得1-=(x1+1)2,即3x+4x1=0,
解得x1=-或x1=0.
當(dāng)x1=0時(shí),P1,P2重合,題設(shè)要求的圓不存在.
當(dāng)x1=-時(shí),過P1,P2分別與F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.設(shè)C(0,y0),
由CP1⊥F1P1,得=-1.
而求得y1=,故y0=.
圓C的半徑|CP1|= =.
綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為x2+2=.
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