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2019-2020年高考《考試大綱》調(diào)研卷理科數(shù)學（第六模擬）含解析
一、填空題：共14題
1．已知i為虛數(shù)單位,若=a+bi(a,b∈R),則a-b= .
【答案】-2
【解析】本題主要考查復數(shù)的四則運算和復數(shù)相等的充要條件,解題時要注意i2=-1.
解法一 由已知得,=1+3i=a+bi.因為a,b∈R,所以a=1,b=3,所以a-b=-2.
解法二 由=a+bi得10i=(3+i)(a+bi)=3a-b+(a+3b)i.又a,b∈R,由復數(shù)相等的充要條件得,解得a=1,b=3,所以a-b=-2.
2．已知集合A={-1,3,m2},集合B={3,-2m-1},若B?A,則實數(shù)m= .
【答案】-1或0
【解析】本題主要考查集合的包含關系.解題的關鍵是弄清子集的概念,同時要注意集合中元素的互異性.∵B?A,∴m2=-2m-1或-1=-2m-1,解得m=-1或m=0,經(jīng)檢驗均滿足題意,故m=-1或0.
3．某班有學生45人,現(xiàn)將所有學生按1,2,3,…,45隨機編號,并采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取5名學生參加學習情況問卷調(diào)查,已知抽取的學生的編號分別為3,a,21,b,39,則a+b= .
【答案】42
【解析】本題考查系統(tǒng)抽樣的概念.一般地,系統(tǒng)抽樣中抽取的樣本號碼具有等差的特征.由系統(tǒng)抽樣的知識得,抽取的5個編號依次為3,12,21,30,39,所以a+b=12+30=42.
4．已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a+2b與a-b平行,則實數(shù)x的值是 .
【答案】-2
【解析】本題主要考查平面向量平行的相關知識.一般地,有下面的結(jié)論:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.由題意知,a+2b=(5,-1+2x),a-b=(-1,-1-x),因為a+2b與a-b平行,所以5(-1-x)=-(-1+2x),解得x=-2.
5．若變量x,y滿足不等式組,則()x+y的最小值為 .
【答案】
【解析】本題考查簡單的線性規(guī)劃和指數(shù)函數(shù)的最值問題.一般地,線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解在可行域的邊界或頂點處取得.作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中△OAB(含邊界)所示,作直線l:x+y=0,若向上平移直線l,則x+y的值增大,當平移至過點B(2,4)時,x+y取得最大值6,此時取得最小值.
6．已知集合A={x|x=sin,n∈N*,1≤n≤8},若從集合A中任取一個元素x,則滿足x2≤的概率為 .
【答案】
【解析】本題考查三角函數(shù)的求值、一元二次不等式的解法和古典概型等知識.由已知得,集合A={x|x=sin,n∈N*,1≤n≤8}={0,1,,-1,-},由x2≤解得-≤x≤,集合A中滿足x2≤的元素有0,,-,則由古典概型的概率計算公式可知P=.
7．如圖是一個算法流程圖,則輸出的b的值為 .
【答案】
【解析】本題主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法流程圖.開始:a=1,b=0;第一次循環(huán):因為a<3,所以a=2,b=1;第二次循環(huán):因為a<3,所以a=3,b=.不滿足a<3,所以輸出b的值為.
8．已知函數(shù)f(x)=,且f(a-1)=0,則不等式f(x)>a的解集為 .
【答案】(0,)
【解析】本題考查分段函數(shù)、指數(shù)不等式和對數(shù)不等式,利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.解對數(shù)不等式,除了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性外,還需要考慮定義域.
通解 由f(a-1)=0得lo(a-1)=0,解得a=2,則不等式f(x)>2?或,解得0
a的解集為(0,).
優(yōu)解 利用數(shù)形結(jié)合思想求解.畫出函數(shù)f(x)的圖象,由圖可得a-1=1,即a=2.由圖象可得不等式f(x)>2的解集為(0,).
9．若拋物線y2=8ax(a>0)的準線經(jīng)過雙曲線-y2=1的一個焦點,則橢圓+y2=1的離心率e= .
【答案】
【解析】本題考查橢圓、雙曲線、拋物線中的基本量的計算,弄清圓錐曲線中各基本量之間的關系是解題的關鍵.拋物線y2=8ax(a>0)的準線方程為x=-2a,雙曲線-y2=1的焦點坐標為(,0),則2a=,得a2=,所以橢圓的離心率e=.
10．已知在矩形ABCD中,AB⊥x軸,且矩形ABCD恰好能完全覆蓋函數(shù)y=acos (aπx)+b(a,b∈R,a≠0)的一個完整周期的圖象,則當a變化時,矩形ABCD的面積為 .
【答案】4
【解析】本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)(最小正周期、最值)以及考生分析問題和解決問題的能力.用a表示矩形的邊長是解題的關鍵.由題意得,矩形ABCD的邊長分別為函數(shù)y=acos(aπx)+b(a,b∈R,a≠0)的最小正周期||和|2a|,故此矩形的面積為|||2a|=4.
11．如圖,在體積為9的長方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線B1D與平面A1BC1交于點E,則四棱錐E-A1B1C1D1的體積V= .
【答案】1
【解析】本題考查空間幾何體的體積的求解,一方面要牢記空間幾何體的體積計算公式,另一方面要掌握常見幾何體中的基本數(shù)量關系.連接B1D1,交A1C1于點F,連接BD,BF,則平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF,因為E∈平面A1BC1,E∈平面BDD1B1,所以E∈BF.因為F是A1C1的中點,所以BF是中線,又B1F??BD,所以,故點E到平面A1B1C1D1的距離是BB1的,所以四棱錐E-A1B1C1D1的體積V=BB1==1.
12．若函數(shù)f(x)=|3x-x3|-a的零點個數(shù)為6,則實數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】(0,2)
【解析】本題考查函數(shù)的零點、導數(shù)等知識,考查函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想.由f(x)=|3x-x3|-a,令f(x)=0得|3x-x3|=a,即y=|3x-x3|的圖象與直線y=a有6個交點,設g(x)=3x-x3,則g(x)=3-3x2,當-10,g(x)單調(diào)遞增,當x<-1或x>1時,g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,令g(x)=0得,x=0或x=,將g(x)的圖象中x軸下方的部分翻折到x軸的上方,得到y(tǒng)=|3x-x3|的圖象如圖所示,由圖可知,若函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為6,則實數(shù)a的取值范圍為(0,2).
13．在△ABC中,AC=4,∠ABC=60,D為BC邊上一點,BD=AB,設B,C到直線AD的距離分別為d1和d2,則d1+d2的最大值為 .
【答案】4
【解析】本題考查余弦定理、三角形的面積公式以及基本不等式的應用等知識.
解法一 設AD=x,CD=y,由于△ABD是正三角形,∴d1=x,d2=y,d1+d2=(x+y),∠ADC=120.又AC=4,∴=x2+y2-2xycos 120,整理得48=x2+y2+xy,即(x+y)2-48=xy≤(x+y)2,得x+y≤8,∴d1+d2=(x+y)≤4,當且僅當x=y=4時等號成立.
解法二 設AD=x,CD=y,則S△ABC=S△ABD+S△ADC=xd1+xd2,又S△ABC=x(x+y)sin 60=x(x+y),∴d1+d2=(x+y).由于△ABD是正三角形,∴∠ADC=120,又AC=4, ∴=x2+y2-2xycos 120,整理得48=x2+y2+xy, 即(x+y)2-48=xy≤(x+y)2,得x+y≤8,∴d1+d2=(x+y)≤4,當且僅當x=y=4時等號成立.
14．定義實數(shù)a,b之間的運算⊕如下:a⊕b=,已知數(shù)列{an}滿足:a1=a(a>0),a2=1,an+2=(n∈N*),若a2 016=1,記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S2 016的值為 .
【答案】7 255
【解析】本題是一道新定義試題,考查周期數(shù)列的知識.解決此類問題常采取從特殊到一般的方法,先按新定義求出數(shù)列的前幾項,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再根據(jù)已知條件進行求解.由題意得a3=,當a≥2時,a4=4,a5=2a,a6=a,a7=1,因此{an}是周期數(shù)列,且周期為5,所以a2 016=a1=a=1,不符合題意;當a<2時,a4=,a5=4,a6=a,a7=1,即此時{an}也是周期數(shù)列,且周期為5,所以a2 016=a1=a=1,故a1+a2+a3+a4+a5=18,S2 016=40318+1=7 255.
二、解答題：共12題
15．已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且sinA-sinC=sinB,b=c.
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)求cos(2A+)的值.
【答案】(1)在△ABC中,由及sinA-sinC=sinB,可得a-c=b,又b=c,故a=2c.所以a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形.
(2)在△ABC中,由(1)知B=,所以sinA=,cosA=,所以cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sinAcosA=,所以cos(2A+)=cos 2Acos-sin 2Asin=-.
【解析】本題考查正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角公式以及兩角和的余弦公式等.(1)利用正弦定理和勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀;(2)首先求出sin 2A,cos 2A的值,再利用兩角和的余弦公式求得cos(2A+).
【備注】兩角和與差的三角函數(shù)公式是江蘇省高考的C級考點,它和二倍角公式,正、余弦定理一起成為三角部分的重點,同時也是高考的熱點.高考中往往將三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解三角形和平面向量的知識進行交匯,主要考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力和計算能力,在復習時考生要重視對基礎知識、基本公式的理解和記憶,力求不失分.
16．如圖,在三棱錐V-ABC中,O,M分別為AB,VA的中點,平面VAB⊥平面ABC,△VAB是邊長為2的等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC.
(1)求證:VB∥平面MOC;
(2)求線段VC的長.
【答案】(1)因為點O,M分別為AB,VA的中點,所以MO∥VB.又MO?平面MOC,VB?平面MOC,所以VB∥平面MOC.
(2)因為AC=BC,O為AB的中點,AC⊥BC,AB=2,所以OC⊥AB,且CO=1.連接VO,因為△VAB是邊長為2的等邊三角形,所以VO=.又平面VAB⊥平面ABC,OC⊥AB,平面VAB∩平面ABC=AB,OC?平面ABC,
所以OC⊥平面VAB,OC⊥VO,所以VC==2.
【解析】本題考查線面平行的證明以及線段長度的計算,考查考生的空間想象能力.(1)利用直線與平面平行的判定定理進行證明;(2)關鍵是線線垂直的證明,根據(jù)已知條件證得OC⊥VO,再利用勾股定理進行求解.
【備注】江蘇省高考試題中關于立體幾何大題的考查基本上都是圍繞以下兩個方面:①空間中平行關系的證明;②空間中垂直關系的證明.試題難度一般不大,但要注意書寫規(guī)范和證明過程中的邏輯嚴密性.
17．為了保證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產(chǎn)安全,海事部門在某平臺O的正西方向和正東方向設立了兩個觀測站A、B,它們到平臺O的距離都為5海里,并將到兩觀測站的距離之和不超過20海里的區(qū)域設為禁航區(qū)域.
(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求禁航區(qū)域邊界曲線的方程;
(2)某日觀察員在觀測站B處發(fā)現(xiàn)在該海上平臺正南10海里的C處,有一艘輪船正以每小時8海里的速度向北偏東30方向航行,如果航向不變,該輪船是否會進入禁航區(qū)域?如果不進入,說明理由;如果進入,求出它在禁航區(qū)域中航行的時間.
【答案】(1)以AB所在的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.依題意可知,禁航區(qū)域的邊界是以A,B為焦點的橢圓,
設橢圓方程為+=1(a>b>0),則,解得a=10,b=5,∴禁航區(qū)域邊界曲線的方程為+=1.
(2)由題意得C(0,-10),∴輪船航行直線的方程為y=x-10.
聯(lián)立,整理得x2-16x+60=0,
則Δ=(-16)2-460=16>0,方程有兩個不同的實數(shù)解x1=10,x2=6,∴輪船航行直線與橢圓有兩個不同的交點,設為M,N,不妨取M(10,0),N(6,-4),故輪船會駛?cè)虢絽^(qū)域.
易得輪船在禁航區(qū)域中的航行距離為|MN|==8(海里),
∴航行時間t==1(小時),∴該輪船在禁航區(qū)域中航行的時間是1小時.
【解析】本題考查考生的建模能力和分析問題、解決問題的能力.(1)關鍵是由到兩觀測站的距離之和不超過20海里得到禁航區(qū)域的邊界是橢圓,再根據(jù)待定系數(shù)法求出邊界曲線的方程;(2)本質(zhì)是求出直線與橢圓相交的弦長后,再利用距離、速度、時間之間的關系求得輪船在禁航區(qū)域中航行的時間.
【備注】應用題是江蘇省高考的必考題型,重在考查考生的數(shù)學應用意識、數(shù)學建模能力和運用數(shù)學知識綜合解題的能力.從xx年以來,應用題在高考命題中占有的比例越來越穩(wěn)定,考查的主要類型有:(1)函數(shù)與導數(shù)模型;(2)三角函數(shù)模型;(3)函數(shù)與不等式模型;(4)解析幾何模型;(5)立體幾何中的面積與體積模型.另外,在應用題的解題過程中,要遵循“審清題意、構(gòu)建模型、求解模型、寫出答案”等步驟.
18．已知圓O:x2+y2=4交y軸正半軸于點A,點B,C是圓O上異于A的兩個動點.
(1)若B與A關于原點O對稱,直線AC和直線BC分別交直線y=4于點M,N,求線段MN長度的最小值;
(2)若直線AC和直線AB的斜率之積為1,求證:直線BC與x軸垂直.
【答案】(1)由題意,直線AC和直線BC的斜率一定存在且不為0,且A(0,2),B(0,-2),AC⊥BC.設直線AC的斜率為k,則直線BC的斜率為-,所以直線AC的方程為y=kx+2,直線BC的方程為y=-x-2,
故它們與直線y=4的交點分別為M(,4),N(-6k,4).所以|MN|=|6k+|≥4,當且僅當k=時取等號,所以線段MN長度的最小值為4.
(2)設直線AC的方程為y=kx+2,則直線AB的方程為y=x+2.由解得C(-,),同理可得B(-,).因為B,C兩點的橫坐標相等,所以BC⊥x軸.
【解析】本題考查直線方程和圓的方程、解析幾何中的最值問題等.(1)分別設直線AC的方程為y=kx+2和直線BC的方程為y=-x-2,求得交點M(,4),N(-6k,4),將線段MN的長度表示為|MN|=|6k+|,運用基本不等式即可求出最值;(2)關鍵是證明B,C兩點的橫坐標相等.
19．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn;
(3)在第(2)問的條件下,若不等式(-1)nλ(4-Sn)≤1對任意的n∈N*恒成立,求λ的取值范圍.
【答案】(1)由已知得,其中n∈N*,又=1,
所以數(shù)列{}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,所以=2n-1,則an=n2n-1.
(2)由(1)知,bn=-,故Sn=4[1-+-+-+…+-]=4[1-].
(3)由(2)得Sn=4[1-],所以(-1)nλ(4-Sn)≤1可化為≤1.當n為奇數(shù)時,不等式可化為λ≥-,
記f(n)=-,易證{f(n)}是遞減數(shù)列,所以f(n)max=f(1)=-1,所以λ≥-1.當n為偶數(shù)時,不等式可化為λ≤,
記g(n)=,易證{g(n)}是遞增數(shù)列,所以g(n)min=g(2)=3,所以λ≤3.綜上可知,λ的取值范圍為-1≤λ≤3.
【解析】本題考查數(shù)列的通項公式與求和、數(shù)列的單調(diào)性、不等式恒成立等,考查考生綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力.(1)根據(jù)題意,證明數(shù)列{}為等比數(shù)列,求其通項公式,進而求出an;(2)利用裂項相消法求Sn;(3)對n的奇偶進行分類討論,結(jié)合單調(diào)性求得最值,即得λ的取值范圍.
【備注】江蘇省高考中數(shù)列的考查主要圍繞等差數(shù)列和等比數(shù)列展開,考查的知識點包括等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、求和等.遞推數(shù)列的考查也是江蘇省高考數(shù)列命題的一大亮點,重在考查考生的推理與轉(zhuǎn)化能力、分析問題和解決問題的能力.在復習時還要關注數(shù)列與不等式、函數(shù)等其他知識的交匯.
20．設函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ex,h(x)=ax2+bx+c.
(1)若a=1,b=c=0,求函數(shù)F(x)=f(x)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a=c=0,b>0,且G(x)=g(x)-h(x)≥m(m∈R)對任意的x∈R都成立,求mb的最大值;
(3)設函數(shù)R(x)=f(x)+f(),求證:R(1)R(2)R(3)…R(2n)>2n(n+1)n(n∈N*).
【答案】(1)由題意知,F(x)=f(x)h(x)=x2lnx,F(x)=2xlnx+x(x>0).
令F(x)>0,得x>, 故F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,+∞);令F(x)<0,得00,令G(x)=ex-b=0,得x=lnb,
故當x∈(-∞,lnb)時,G(x)<0,此時G(x)單調(diào)遞減;當x∈(lnb,+∞)時,G(x)>0,此時G(x)單調(diào)遞增.故G(x)min=b-blnb,所以m≤b-blnb,則mb≤b2-b2lnb.設r(b)=b2-b2lnb(b>0),則r(b)=2b-(2blnb+b)=b-2blnb,
由于b>0,令r(b)=0,得lnb=,b=,當b∈(0,)時,r(b)>0,r(b)單調(diào)遞增;當b∈(,+∞)時,r(b)<0,r(b)單調(diào)遞減.所以r(b)max=,即當b=,m=時,mb取得最大值.
(3)由題意知,R(x)=x+,則R(1)R(2)R(3)…R(2n)=(1+)(2+)…(2n+).因為(k+1+)(2n-k+)=(2n-k)(k+1)+++>(2n-k)(k+1)+2=2n+2+2nk-k2-k=2n+2+k(2n-k-1)≥2n+2(k=0,1,…,n-1).所以(1+)(2n+)>2n+2,(2+)(2n-1+)>2n+2,……,(k+1+)(2n-k+)>2n+2,……,(n+)(n+1+)>2n+2,以上各式相乘得,R(1)R(2)R(3)…R(2n)=(1+)(2+)…(2n+)>(2n+2)n=2n(n+1)n.
【解析】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)問題中的綜合運用,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值,運用放縮法證明不等式等,考查函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想及考生綜合運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.
【備注】導數(shù)作為解決函數(shù)問題的工具在高考命題中越來越受到命題專家的青睞,運用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值,討論函數(shù)的零點,證明不等式等,應用十分廣泛.運用導數(shù)解決問題時一定要有定義域優(yōu)先的意識,在解決不等式恒成立問題時要先將變量分離,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理.
21．如圖,BC是△ABC的外接圓圓O的直徑,∠ABC=60,點P在CB的延長線上,PA=,PB=1,求證:PA是圓O的切線.
【答案】連接AO,由∠ABC=60得,∠ABP=120,
在△APB中,由余弦定理可得AB=1,所以∠PAB=30.又在△OAB中,∠OAB=∠OBA=60,
所以∠OAP=90,所以PA是圓O的切線.
【解析】本題考查平面幾何中圓的切線的證明.連接AO是證明的關鍵,平面幾何問題的證明中輔助線是打開思路的一把鑰匙.
22．已知矩陣A=,B=,求滿足條件A=BC的矩陣C.
【答案】設C=,則由A=BC得.則?,即C=.
【解析】本題主要考查矩陣的乘法運算.解題的關鍵是掌握二階矩陣乘法的運算法則.
23．已知在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程是θ=,且直線l與圓C交于A,B兩點,試求弦AB的長.
【答案】由圓C的參數(shù)方程(α為參數(shù)),得普通方程為(x-2)2+y2=4.又由直線l的極坐標方程θ=,得直角坐標方程為y=x.所以圓心C(2,0)到直線l的距離d=.又圓C的半徑r=2,所以弦AB的長為|AB|=2=2.
【解析】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化以及圓中的弦長問題.先運用平方消元法將圓的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程,將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程,再由圓的性質(zhì)用幾何法求得弦長.
24．已知a>b>0,證明:.
【答案】因為a>b>0,要證,只需證明-.即證2(-)>a-b,即證,因為a>b>0,所以顯然成立,故成立.
【解析】本題主要考查運用分析法證明不等式.
25．已知口袋內(nèi)有n(n>3)個大小相同的球,其中有3個紅球和(n-3)個白球.已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率是p,且4p∈N*.若有放回地從口袋中連續(xù)取四次球(每次只取1個球),記取到紅球的次數(shù)為X,且D(X)>.
(1)求p和n;
(2)若不放回地從口袋中取球(每次只取1個球),取到白球時即停止取球,記Y為第一次取到白球時的取球次數(shù),求Y的分布列和數(shù)學期望E(Y).
【答案】(1)由題設知,4p(1-p)>,解不等式得,
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考試大綱
2019
2020
年高
考試
大綱
調(diào)研
理科
數(shù)學
第六
模擬
解析
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2019-2020年高考《考試大綱》調(diào)研卷理科數(shù)學（第六模擬）含解析.doc
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