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2019-2020年高考數(shù)學 曲線與方程練習 1、過拋物線(為大于0的常數(shù))的焦點F,作與坐標軸不垂直的直線交拋物線于M,N兩點,線段MN的垂直平分線交MN于P點,交軸于Q點，求PQ中點R的軌跡L的方程. 2、平面內(nèi)兩定點M（0，一2）和N(0,2），動點P（x，y）滿足，動點P的軌跡為曲線E，給出以下命題： ①m，使曲線E過坐標原點； ②對m，曲線E與x軸有三個交點； ③曲線E只關于y軸對稱，但不關于x軸對稱； ④若P、M、N三點不共線，則△ PMN周長的最小值為2＋4; ⑤曲線E上與M,N不共線的任意一點G關于原點對稱的另外一點為H，則四邊形GMHN的面積不大于m。 其中真命題的序號是　　　　　．（填上所有真命題的序號） 3、在直角坐標系中，曲線上的點均在圓外，且對上任意一點，到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值． （1）求曲線的方程； （2）設為圓外一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點和．證明：當在直線上運動時，四點的縱坐標之積為定值． 4、已知點M到點的距離比到點M到直線的距離小4； （Ⅰ）求點M的軌跡的方程； （Ⅱ）若曲線C上存在兩點A，B關于直線l:對稱，求直線AB的方程． 5、在棱長為的正方體中，是的中點，點在側(cè)面 上運動．現(xiàn)有下列命題： ①若點總保持，則動點的軌跡所在的曲線是直線； ②若點到點的距離為，則動點的軌跡所在的曲線是圓； ③若滿足，則動點的軌跡所在的曲線是橢圓； ④若到直線與直線的距離比為，則動點的軌跡所在的曲線是雙曲線； ⑤若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡所在的曲線是拋物線． 其中真命題的個數(shù)為（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 6、設圓與兩圓 ，中的一個內(nèi)切，另一個外切． (1)求圓C的圓心軌跡L的方程； (2)已知點，，且P為L上動點，求|||－|||的最大值及此時點的坐標． 7、已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點分別為雙曲線的頂點，直線與橢圓交于，兩點，且點的坐標為，點是橢圓上異于點,的任意一點，點滿足，，且，，三點不共線. （1）求橢圓的方程； （2）求點的軌跡方程； （3）求面積的最大值及此時點的坐標. 8、在直角坐標系xOy中，長為的線段的兩端點C、D分別在x軸、y軸上滑動，．記點P的軌跡為曲線E． （I）求曲線E的方程； （II）經(jīng)過點（0，1）作直線l與曲線E相交于A、B兩點， 當點M在曲線E上時，求四邊形OAMB的面積． 9、設到定點的距離和它到直線距離的比是． （Ⅰ）求點的軌跡方程； （Ⅱ）為坐標原點,斜率為的直線過點,且與點的軌跡交于點,,若,求△的面積． 10、已知定點F（1，0），動點P在y軸上運動，過點P做PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且 （Ⅰ）求點N的軌跡方程； （Ⅱ）直線l與點N的軌跡交于A、B不同兩點，若，且求直線l的斜率k的取值范圍. 11、已知平面內(nèi)一動點到點的距離等于它到直線的距離． （Ⅰ）求動點的軌跡的方程; （Ⅱ）若直線與曲線交于兩點,且,又點,求的最小值． 12、已知圓內(nèi)有一點，為過點的弦． （1）當?shù)膬A斜角為時，求的長； （2）求的中點的軌跡方程． 13、設、R，常數(shù)．定義運算“”：． （1）若求動點軌跡C的方程； （2）若，不過原點的直線與軸、軸的交點分別為T、S，并且與(1)中軌跡C交于不同的兩點P、Q , 試求的取值范圍； （3）設是平面上的任一點，定義、 ．若在（1）中軌跡C上存在不同的兩點A1、A2，使得成立，求實數(shù)的取值范圍． 14、已知橢圓的左、右焦點分別是、，離心率為，橢圓上的動點到直線的最小距離為2，延長至使得，線段上存在異于的點滿足. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求點的軌跡的方程； （Ⅲ）求證：過直線上任意一點必可以作兩條直線與的軌跡相切，并且過兩切點的直線經(jīng)過定點. 15、已知點的坐標分別為，，直線相交于點,且它們的斜率之積是 （I）求點的軌跡方程； （II）過點作兩條互相垂直的射線，與點的軌跡交于兩點.試判斷點到直線的距離是否為定值.若是請求出這個定值，若不是請說明理由. 16、已知圓的圓心在直線上，且與軸交于兩點,． （Ⅰ）求圓的方程； （Ⅱ）求過點的圓的切線方程； （Ⅲ）已知，點在圓上運動，求以,為一組鄰邊的平行四邊形的另一個頂點軌跡方程． 17、設動點到定點的距離比它到軸的距離大1，記點的軌跡為曲線. （Ⅰ）求點的軌跡方程； （Ⅱ）設圓過，且圓心在曲線上，是圓在軸上截得的弦，試探究當運動時，弦長是否為定值？為什么？ 18、已知定點F(0，1)和直線：y＝－1，過定點F與直線相切的動圓圓心為點C. (1)求動點C的軌跡方程； (2)過點F的直線交動點C的軌跡于兩點P、Q，交直線于點R，求的最小值； (3)過點F且與垂直的直線交動點C的軌跡于兩點R、T，問四邊形PRQT的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由． 19、設過點的直線分別與軸和軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若且． （Ⅰ）求點的軌跡的方程； （Ⅱ）過的直線與軌跡交于兩點，求的取值范圍． 20、在學習數(shù)學的過程中，我們通常運用類比猜想的方法研究問題. （1）已知動點P為圓O：外一點，過P引圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點，若，求動點P的軌跡方程； （2）若動點Q為橢圓M：外一點，過Q引橢圓M的兩條切線QC、QD，C、D為切點，若，求出動點Q的軌跡方程； （3）在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動點Q的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）. 答 案 1、拋物線的焦點為,設的直線方程為. 由得,設M,N的橫坐標分別為, 則,得,, 而,故PQ的斜率為,PQ的方程為. 代入得.設動點R的坐標,則 ,因此, 故PQ中點R的軌跡L的方程為. 2、解析：∵平面內(nèi)兩定點M（0，﹣2）和N（0，2），動點P（x，y）滿足||?||=m（m≥4），∴?=m ①（0，0）代入，可得m=4，∴①正確； ②令y=0，可得x2+4=m，∴對于任意m，曲線E與x軸有三個交點，不正確； ③曲線E關于x軸對稱，但不關于y軸對稱，故不正確； ④若P、M、N三點不共線，||+||≥2=2，所以△PMN周長的最小值為2+4，正確； ⑤曲線E上與M、N不共線的任意一點G關于原點對稱的點為H，則四邊形GMHN的面積為2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四邊形GMHN的面積最大為不大于m，正確． 故答案為：①④⑤． 3、解析：（1）解法1 ：設的坐標為，由已知得，……1分 易知圓上的點位于直線的右側(cè).于是，所以. 化簡得曲線的方程為. …………………4分 解法2 ：曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離， 所以曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，…………… 2分 故其方程為. …………………4分 （2）當點在直線上運動時，P的坐標為，又，則過且與圓 相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點， 切線方程為，即于是 整理得 ① …………………6分 設過所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個實根， 故 ② …………………7分 由得 ③…………………8分 設四點的縱坐標分別為，則是方程③的兩個實根， 所以 ④…………………9分 同理可得 ⑤…………………10分 于是由②，④，⑤三式得 .…………………13分 所以，當在直線上運動時，四點的縱坐標之積為定值6400. …14分 4、（1）結(jié)合圖形知，點M不可能在軸的左側(cè)，即M到點的距離等于M到直線的距離M的軌跡是拋物線，為焦點，為準線M的軌跡方程是：（或由化簡得）……6分 （2）設則 相減得 又的斜率為－4則 中點的坐標為， 即 經(jīng)檢驗，此時，與拋物線有兩個不同的交點，滿足題意. …………12分 5、C 6、(1)設圓C的圓心坐標為(x，y)，半徑為r. (2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|， ∴當M，P，F(xiàn)三點共線，且點P在MF延長線上時，|MP|－|FP|取得最大值|MF|， 7、（1）；（2），除去四個點，，，；（3），點的坐標為或. 試題分析：（1）由雙曲線的頂點得橢圓的焦點，由橢圓的定義得的值，利用即可得橢圓的方程；（2）設點，先寫出，，，的坐標，再根據(jù)已知條件可得，，代入，化簡，即可得點的軌跡方程；（3）先計算的面積，利用基本不等式即可得的面積的最大值. 試題解析：（1）解法1： ∵ 雙曲線的頂點為,, …………1分 ∴ 橢圓兩焦點分別為,. 設橢圓方程為， ∵ 橢圓過點， ∴ ，得. ………………………2分 ∴ . ………………………3分 ∴ 橢圓的方程為 . ………………………4分 解法2: ∵ 雙曲線的頂點為,, …………………1分 ∴ 橢圓兩焦點分別為,. 設橢圓方程為， ∵ 橢圓過點， ∴ . ① ………………………2分 ∵ , ② ………………………3分 由①②解得, . ∴ 橢圓的方程為 . ………………………4分 （2）解法1：設點，點， 由及橢圓關于原點對稱可得， ∴，，，. 由 , 得 ， ……………………5分 即 . ① 同理, 由, 得 . ② ……………6分 ①②得 . ③ ………………………7分 由于點在橢圓上, 則，得, 代入③式得 . 當時，有， 當，則點或,此時點對應的坐標分別為或 ，其坐標也滿足方程. ………………………8分 當點與點重合時，即點，由②得 ， 解方程組 得點的坐標為或. 同理, 當點與點重合時，可得點的坐標為或. ∴點的軌跡方程為 , 除去四個點,, ,. ………9分 解法2：設點，點， 由及橢圓關于原點對稱可得， ∵，， ∴，. ∴，① ……………………5分 . ② ……………………6分 ①② 得 . (*) ………………………7分 ∵ 點在橢圓上, ∴ ，得, 代入(*)式得，即, 化簡得 . 若點或, 此時點對應的坐標分別為或 ，其坐標也滿足方程. ………………………8分 當點與點重合時，即點，由②得 ， 解方程組 得點的坐標為或. 同理, 當點與點重合時，可得點的坐標為或. ∴點的軌跡方程為 , 除去四個點,, ,.…………9分 (3) 解法１：點到直線的距離為. △的面積為………………………10分 . ………………………11分 而（當且僅當時等號成立） ∴. ……12分 當且僅當時, 等號成立. 由解得或 ………………………13分 ∴△的面積最大值為, 此時,點的坐標為或.…14分 解法２：由于， 故當點到直線的距離最大時，△的面積最大． ………………………10分 設與直線平行的直線為， 由消去，得， 由，解得．　　　………………………11分 若，則，；若，則，． …12分 故當點的坐標為或時，△的面積最大，其值為 ．　　　　　　　　　　………………………14分 8、（Ⅰ）設C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)． 9、（Ⅰ）由已知得 化簡得點的軌跡方程為．………………………6分 （Ⅱ）設直線的方程為.聯(lián)立方程組 消去并整理得 故 又 所以,可得,所以 由 原點到直線的距離 所以 ……………………………… 12分 10、（Ⅰ）由于 則P為MN的中心， 設N（x，y），則M（－x,0）,P（0，）， 由 得 所以點N的軌跡方程為 。。。。。。4分 （Ⅱ）設直線l的方程是與： 設則： 。。。。。6分 由 即 由于直線與N的軌跡交于不同的兩點， 則 把 。。。。。。。。8分 而 。。。。。。。。10分 又因為 解得 綜上可知k的取值范圍是. 。。。。。。。12分 11、（Ⅰ）依題知動點的軌跡是以為焦點,以直線為準線的拋物線,……1分 所以其標準方程為 …………………………4分 （Ⅱ）設,則 因為,所以 即（※）………………………6分 又設直線,代入拋物線的方程得, 所以,且…………………8分 也所以, 所以（※）式可化為,, 即 ,得,或………………………10分 此時恒成立． ,且, 所以 由二次函數(shù)單調(diào)性可知,當時,有最小值．………13分 12、（1）由題意得，圓心，半徑． 當時，直線的斜率， …………………2分 ∴直線的方程為：，即， ∴圓心到直線的距離為：，…………………4分 由垂徑定理得，．…………………6分 （2）法1：設點的坐標為， …………………7分 若、、三點不共線時，則， …………………9分 即， 化簡得，． （*） …………………11分 若、重合時，即，則也滿足上述方程（*）． ……………12分 若、重合時，即，則也滿足上述方程（*）． …13分 綜上所述，點的軌跡方程為（或）．14分 法2：設點的坐標為， …………………7分 當且時，由題意有，，則， …………………9分 又，， ∴，化簡得，， （*） ……………11分 當或時，點或或或均滿足方程．13分 所以點的軌跡方程為． …………………14分 法3：設點的坐標為， …………………7分 由題意有，，則， …………………9分 ∵，， …………………10分 ∴，化簡得， ………………13分 所以點的軌跡方程為． …………………14分 13、（1）設, 又由，可得動點軌跡的方程為：． （2）由題得，設直線 , 依題意，則． 都在直線上，則． 由題，，∴ 由 消去得，． 代入得， 又知，，所以 即的取值范圍是． 14、（1）依題意得， …………………………………2分 解得，∴……………………3分 橢圓的方程為…………4分 （2）解法1：設點的坐標為. 當重合時，點坐標為和點，…………………5分 當不重合時，由，得.………6分 由及橢圓的定義，，……7分 所以為線段的垂直平分線，為線段的中點 在中，，…………8分 所以有. 綜上所述，點的軌跡的方程是.………………9分 解法2：設點的坐標為. 當重合時，點坐標為和點，……………5分 當不重合時，由，得.……6分 由及橢圓的定義，，……7分 所以為線段的垂直平分線，為線段的中點 設點的坐標為，則， 因此①……………8分 由,得, ② 將?代入?，可得. 綜上所述，點的軌跡的方程式.③………9分 （3） 直線與相離， 過直線上任意一點可作圓的兩條切線…10分 所以 所以四點都在以為直徑的圓上，……11分 其方程④…………12分 為兩圓的公共弦，③-④得：的方程為………13分 顯然無論為何值，直線經(jīng)過定點.………14分 15、（I） ;（II）為定值 解析：（Ⅰ）解：，由題可得 ............（4分） 所以點M的軌跡方程為 ................（6分 ） （Ⅱ）點O到直線AB的距離為定值 ，設, ① 當直線AB的斜率不存在時，則為等腰直角三角形，不妨設直線OA： 將代入，解得 所以點O到直線AB的距離為； ...................（8分） ② 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為與 聯(lián)立消去得 ， ...................（9分） 因為，所以， 即 所以，整理得，...............（12分 ） 所以點O到直線AB的距離 綜上可知點O到直線AB的距離為定值 ......................（13分 ） 16、（Ⅰ） 因為圓與軸交于兩點,所以圓心在直線上． 由得即圓心的坐標為．…………… 2分 半徑, 所以圓的方程為. …………………… 4分 （Ⅱ）由坐標可知點在圓上，由得切線的斜率為， 故過點的圓的切線方程為. ……………………8分 （Ⅲ）設， 因為為平行四邊形，所以其對角線互相平分， 即解得 …………………1 0分 又在圓上， 代入圓的方程得， 即所求軌跡方程為，除去點和．………… 13分 17、（1）依題意知，動點到定點的距離等于到直線的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線………………………………2分 　　　　∵ ∴　 ∴　曲線方程是………4分 （2）設圓的圓心為，∵圓過， ∴圓的方程為　　……………………………7分 令得：　　 設圓與軸的兩交點分別為， 方法1：不妨設，由求根公式得 ，…………………………10分 ∴ 又∵點在拋物線上，∴， ∴　，即＝4-------------------------------------13分 ∴當運動時，弦長為定值4…………………………………………………14分 　〔方法2：∵，　 ∴ 　又∵點在拋物線上，∴， ∴　　 ∴當運動時，弦長為定值4. 18、 （3） 19、（Ⅰ）∵過點P（x，y）的直線分別與x軸和y軸交于A， B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，∴Q（-x，y），設A（a，0），B（0，b）， ∵O為坐標原點， ∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），， ∵=3且 ∴， 解得點P的軌跡M的方程為． （Ⅱ）設過F（2，0）的直線方程為y=kx-2k， 聯(lián)立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0， 設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=， =（x1-2，y1），=（x2-2，y2）， ∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2）=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4] =（1+k2）（+4）=， ∴當k2→∞的最小值→；當k=0時，的最大值為1． ∴的取值范圍是（，1]． 20、解：（1）由切線的性質(zhì)及可知，四邊形OAPB為正方形， 所以點P在以O為圓心，長為半徑的圓上，且， 進而動點P的軌跡方程為………………………………………………3分 （2）設兩切線為， ①當與軸不垂直且不平行時，設點Q的坐標為則， 設的斜率為，則，的斜率為， 的方程為，聯(lián)立， 得，………………5分 因為直線與橢圓相切，所以，得 化簡， 進而 所以……………………………………………7分 所以是方程的一個根， 同理是方程的另一個根， ，得，其中，…………………………9分 ②當軸或軸時，對應軸或軸，可知； 因為滿足上式，綜上知：點P的軌跡方程為．……10分 （3）動點Q的軌跡方程是…………………………………12分