2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 6.4基本不等式練習(xí) 一、選擇題 1．已知a，b∈R，且ab≠0，則下列結(jié)論恒成立的是(　　) A．a(chǎn)＋b≥2 B.＋≥2 C.≥2 D．a(chǎn)2＋b2>2ab 解析　當(dāng)a，b都是負(fù)數(shù)時(shí)，A不成立，當(dāng)a，b一正一負(fù)時(shí)，B不成立，當(dāng)a＝b時(shí)，D不成立，因此只有C是正確的． 答案　C 2．設(shè)a，b∈R，已知命題p：a2＋b2≤2ab；命題q：2≤，則p是q成立的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　命題p：(a－b)2≤0?a＝b；命題q：(a－b)2≥0.顯然，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要條件． 答案　B 3．下列不等式：①a2＋1>2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3 解析?、佗诓徽_，③正確，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1. 答案　B 4．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t為常數(shù)，且ab的最大值為2，則t的值為(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 解析　當(dāng)a>0，b>0時(shí)，有ab≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)．∵ab的最大值為2，∴＝2，t2＝8，∴t＝＝2. 答案　C 5．(xx湖北黃岡月考)設(shè)a>1，b>0，若a＋b＝2，則＋的最小值為(　　) A．3＋2 B．6 C．4 D．2 解析　由a＋b＝2可得，(a－1)＋b＝1. 因?yàn)閍>1，b>0，所以＋＝(a－1＋b)＝＋＋3≥2＋3. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝2－時(shí)取等號(hào)． 答案　A 6．(xx湖北八校聯(lián)考)若x，y∈(0,2]且xy＝2，使不等式a(2x＋y)≥(2－x)(4－y)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)≤ B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≥ 解析　由x，y∈(0,2]且xy＝2， 得a≥＝＝－2.又由2x＋y≥2＝4，∴a≥. 答案　D 二、填空題 7．已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________. 解析　由于x>0，a>0，f(x)＝4x＋≥4. 此時(shí)當(dāng)4x＝時(shí)，f(x)取得最小值4，即a＝4x2. ∴a＝432＝36. 答案　36 8．(xx福建卷)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________元． 解析　設(shè)容器的底長x米，寬y米，則xy＝4. 所以y＝，則總造價(jià)為： f(x)＝20xy＋2(x＋y)110＝80＋＋20x ＝20＋80，x∈(0，＋∞)． 所以f(x)≥202 ＋80＝160， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立． 所以最低總造價(jià)是160元． 答案　160 9．(xx陜西卷)設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則 的最小值為________． 解析　由柯西不等式，可得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，所以5(m2＋n2)≥25. 所以m2＋n2≥5，即≥，當(dāng)且僅當(dāng)an＝bm時(shí)，等號(hào)成立． 故的最小值為. 答案　 三、解答題 10．(1)求函數(shù)y＝x(a－2x)(x>0，a為大于2x的常數(shù))的最大值； (2)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值． 解　(1)∵x>0，a>2x， ∴y＝x(a－2x)＝2x(a－2x)≤2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為. (2)由已知條件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10. 則＋＝≥＝2. ∴min＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)2y＝5x，即x＝2，y＝5時(shí)等號(hào)成立． 11．(xx新課標(biāo)全國卷Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說明理由． 解　(1)由＝＋≥，得ab≥2，且當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立． 故a3＋b3≥2≥4，且當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立．所以a3＋b3的最小值為4. (2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4. 由于4>6，從而不存在a，b，使得2a＋3b＝6. 1．若正數(shù)a，b滿足＋＝1，則＋的最小值為(　　) A．1 B．6 C．9 D．16 解析　方法一：因?yàn)椋?，所以a＋b＝ab?(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥ 2 ＝23＝6. 方法二：因?yàn)椋?，所以a＋b＝ab， 所以＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6. 方法三：因?yàn)椋?，所以a－1＝， 所以＋＝(b－1)＋≥2＝23＝6. 答案　B 2．在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)任意a，b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)： (1)對(duì)任意a∈R，a*0＝a； (2)對(duì)任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)． 則函數(shù)f(x)＝(ex)*的最小值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析　依題意可得f(x)＝(ex)*＝ex＋ex＋＝ex＋＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)“＝”成立，所以函數(shù)f(x)＝(ex)*的最小值為3，選B. 答案　B 3．(xx山東淄博期末)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，則c的最大值是________． 解析　由基本不等式得2a＋2b≥2＝22，即2a＋b≥22，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b2c，所以2c＝＝1＋，由t≥4，得1<≤，即1<2c≤，所以0<c≤log2＝2－log23，故答案為2－log23. 答案　2－log23 4．為了響應(yīng)國家號(hào)召，某地決定分批建設(shè)保障性住房供給社會(huì)．首批社會(huì)用100萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1 000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元．已知建筑第5層樓房時(shí)，每平方米建筑費(fèi)用為800元． (1)若建筑第x層樓時(shí)，該樓房綜合費(fèi)用為y萬元(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和)，寫出y＝f(x)的表達(dá)式； (2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)把樓層建成幾層？此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米多少元？ 解　(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為720元， 建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為7201 000＝720 000(元)＝72(萬元)， 樓房每升高一層，整層樓建筑費(fèi)用提高 201 000＝20 000(元)＝2(萬元)， 建筑第x層樓房的建筑費(fèi)用為 72＋(x－1)2＝2x＋70(萬元)， 建筑第x層樓時(shí)，該樓房綜合費(fèi)用為 y＝f(x)＝72x＋2＋100＝x2＋71x＋100， 綜上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)． (2)設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為g(x)，則g(x)＝＝＝＝10x＋＋710≥2 ＋710＝910. 當(dāng)且僅當(dāng)10x＝，即x＝10時(shí)等號(hào)成立． 綜上可知應(yīng)把樓層建成10層，此時(shí)平均綜合費(fèi)用最低，為每平方米910元．