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2019年高中數(shù)學 2.5 特征值與特征向量綜合檢測 蘇教版選修4-2 1．求矩陣M＝的特征值和特征向量． 【解】　矩陣M的特征多項式 f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－6)． 令f(λ)＝0，解得矩陣M的特征值λ1＝－1，λ2＝6.將λ1＝－1代入方程組 易求得為屬于λ1＝－1的一個特征向量．將λ2＝6代入方程組易求得為屬于λ2＝6的一個特征向量．綜上所述，M＝的特征值為λ1＝－1，λ2＝6，屬于λ1＝－1的一個特征向量為，屬于λ2＝6的一個特征向量為. 2．已知矩陣M＝的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量． 【解】　矩陣M的特征多項式為 f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4 因為λ1＝3為方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1， 設λ2＝－1對應的一個特征向量為α＝， 則由得x＝－y 令x＝1，則y＝－1. 所以矩陣M的另一個特征值為－1，對應的一個特征向量為α＝. 3．已知矩陣M＝，向量α＝，β＝. (1)求向量2α＋3β在矩陣M表示的變換作用下的象； (2)向量γ＝是矩陣M的特征向量嗎？為什么？ 【解】　(1)因為2α＋3β＝2＋3＝，所以M(2α＋3β)＝＝，所以向量2α＋3β在矩陣M表示的變換作用下的象為. (2)向量γ＝不是矩陣M的特征向量．理由如下：Mγ＝＝，向量與向量γ＝不共線，所以向量γ＝不是矩陣M的特征向量． 4．已知矩陣A＝，設向量β＝，試計算A5β的值． 【解】　矩陣A的特征多項式為f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0， 解得λ1＝2，λ2＝3. 當λ1＝2時，得α1＝； 當λ2＝3時， 得α2＝， 由β＝mα1＋nα2， 得， 得m＝3，n＝1， ∴A5β＝A5(3α1＋α2) ＝3(A5α1)＋A5α2 ＝3(λα1)＋λα2 ＝325＋35＝. 5．已知矩陣A＝，其中a∈R，若點P(1,1)在矩陣A的變換下得到點P′(0，－3) (1)求實數(shù)a的值； (2)求矩陣A的特征值及特征向量． 【解】　(1)∵＝， ∴＝， ∴a＝－4. (2)∵A＝， ∴f(λ)＝＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3， 對于特征值λ1＝－1，解相應的線性方程組得一個非零解， 因此α1＝是矩陣A的屬于特征值λ1＝－1的一個特征向量． 對于特征值λ2＝3，解相應的線性方程組得一個非零解， 因此α2＝是矩陣A的屬于特征值λ2＝3的一個特征向量．∴矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝3， 屬于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分別為，. 6．已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量α1＝，屬于特征值1的一個特征向量α2＝，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣． 【解】　由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量α1＝，可知＝6，所以c＋d＝6， ① 由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量α2＝， 可知＝，所以3c－2d＝－2. ② 聯(lián)立①②可得 解得 即A＝，A的逆矩陣A－1＝. 7．已知矩陣A對應的變換是先將某平面圖形上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉90. (1)求矩陣A及A的逆矩陣B； (2)已知矩陣M＝，求M的特征值和特征向量； (3)若α＝在矩陣B的作用下變換為β，求M50β.(結果用指數(shù)式表示) 【解】　(1)A＝＝； B＝A－1＝. (2)設M的特征值為λ， 則由條件得＝0， 即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0. 解得λ1＝1，λ2＝6. 當λ1＝1時， 由＝， 得M屬于1的特征向量為α1＝； 當λ2＝6時，由＝6， 得M屬于6的特征向量為α2＝. (3)由Bα＝β， 得β＝＝， 設＝mα1＋nα2＝m＋n ＝， 則由 解得 所以β＝－α1＋2α2. 所以M50β＝M50(－α1＋2α2) ＝－M50α1＋2M50α2 ＝－＋2650 ＝. 8．已知二階矩陣M的一個特征值λ＝8及與其對應的一個特征向量α1＝，并且矩陣M對應的變換將點(－1,2)變換成(－2,4)． (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個特征值及與其對應的另一個特征向量α2的坐標之間的關系； (3)求直線l：x－y＋1＝0在矩陣M的作用下的直線l′的方程． 【解】　(1)設矩陣M＝， 則＝8＝，故 由題意得＝， 故 聯(lián)立以上兩方程組可解得 故M＝. (2)由(1)知矩陣M的特征多項式f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f(λ)＝0，解得矩陣M的另一個特征值λ＝2.設矩陣M的屬于特征值2的一個特征向量α2＝，則Mα2＝＝2，解得2x＋y＝0. (3)設點(x，y)是直線l上的任一點，其在矩陣M的作用下對應的點的坐標為(x′，y′)，則＝，即代入直線l的方程并化簡得x′－y′＋2＝0，即直線l′的方程為x－y＋2＝0. 9．給定矩陣M＝，N＝及向量α1＝，α2＝. (1)求證M和N互為逆矩陣； (2)求證α1和α2都是矩陣M的特征向量． 【證明】　(1)因為MN＝＝，NM＝＝，所以M和N互為逆矩陣． (2)向量α1＝在矩陣M的作用下，其象與其共線， 即＝＝，向量α2＝在矩陣M的作用下，其象與其共線，即＝，所以α1和α2都是M的特征向量． 10．給定矩陣M＝及向量α＝. (1)求矩陣M的特征值及與其對應的特征向量α1，α2； (2)確定實數(shù)a，b，使向量α可以表示為α＝aα1＋bα2； (3)利用(2)中的表達式計算M3α，Mnα； (4)從(3)中的運算結果，你能發(fā)現(xiàn)什么？ 【解】　(1)矩陣M的特征多項式f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．令f(λ)＝0，解得矩陣M的特征值λ1＝－4，λ2＝7.易求得屬于特征值λ1＝－4的一個特征向量α1＝，屬于特征值λ2＝7的一個特征向量α2＝. (2)由(1)可知＝a＋b，解得a＝1，b＝3，所以α＝α1＋3α2. (3)M3α＝M3(α1＋3α2)＝M3α1＋3M3α2＝ (－4)3＋373 ＝. Mnα＝Mn(α1＋3α2) ＝Mnα1＋3Mnα2 ＝(－4)n＋37n ＝. (4)在Mnα的結果中，隨著n的增加，特征向量α1對結果的影響越來越?。?