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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 10.1 橢圓高效作業(yè) 理 新人教A版 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在下列四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(xx北京朝陽期末)已知a為正常數(shù)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個(gè)定點(diǎn)，且|F1F2|＝2a(a是正常數(shù))，動點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝a2＋1，則動點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．橢圓　　　　　　 　　B．線段 C．橢圓或線段 D．直線 解析：因?yàn)閍2＋1≥2a(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，等號成立)，所以|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|.當(dāng)a≠1時(shí)，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此時(shí)動點(diǎn)P的軌跡是橢圓；當(dāng)a＝1時(shí)，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此時(shí)動點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2，因此應(yīng)選C. 答案：C 2．(xx深圳二模)已知點(diǎn)M(，0)，橢圓＋y2＝1與直線y＝k(x＋)交于點(diǎn)A、B，則△ABM的周長為(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 解析：直線y＝k(x＋)過定點(diǎn)N(－，0)，而M、N恰為橢圓＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓定義知△ABM的周長為4a＝42＝8，故選B. 答案：B 3．(xx德州二模)方程＋＝10，化簡的結(jié)果是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：方程＋＝10表示的是動點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(0，－3)與(0,3)距離之和為10，根據(jù)橢圓的定義，可得化簡的結(jié)果是＋＝1，故選C. 答案：C 4．(xx浙江)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)|AF1|＝m，|AF2|＝n，則有m＋n＝4，m2＋n2＝12，因此12＋2mn＝16，∴mn＝2；而(m－n)2＝(2a)2＝(m＋n)2－4mn＝16－8＝8，因此雙曲線的a＝，c＝，則有e＝＝. 答案：D 5．(xx韶關(guān)調(diào)研)橢圓M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且最大值的取值范圍是[c2,3c2]，其中c＝，則橢圓M的離心率e的取值范圍是(　　) A．[，] B．[，] C．[，1] D．[，1] 解析：設(shè)與的夾角為θ，由于＝||||cosθ≤||||，與的夾角為0時(shí)取“＝”． 所以的最大值為(a＋c)(a－c)， 因此c2≤a2－c2≤3c2，所以e2≤1－e2≤3e2.又e∈(0,1)， 所以e∈[，]．故選B. 答案：B 6．(xx漢中一模)若橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，如果延長F1P到Q點(diǎn)，使得|PQ|＝|F2P|，那么動點(diǎn)Q的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．直線 D．點(diǎn) 解析：因|F1Q|＝|F1P|＋|PQ|＝|F1P|＋|PF2|＝2a，所以Q點(diǎn)的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓，故選A. 答案：A 二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上) 7．(xx遼寧)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________. 解析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，三角形ABF中由余弦定理可得|BF|＝8，所以△ABF為直角三角形，又因?yàn)樾边匒B的中點(diǎn)為O，所以|OF|＝c＝5，連接AF1，因?yàn)锳，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以離心率e＝. 答案： 8．(xx德陽聯(lián)考)橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑忽略不計(jì))從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是________． 解析：設(shè)靠近A的長軸端點(diǎn)為M，另一長軸的端點(diǎn)為N.若小球沿AM方向運(yùn)動，則路程應(yīng)為2(a－c)；若小球沿AN方向運(yùn)動，則路程為2(a＋c)；若小球不沿AM與AN方向運(yùn)動，則路程應(yīng)為4a. 答案：4a或2(a－c)或2(a＋c) 9．(xx四川模擬)橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A、B.當(dāng)△FAB的周長最大時(shí)，△FAB的面積是________． 解析：依題意得知，點(diǎn)F(－1,0)，不妨設(shè)點(diǎn)A(2cos θ，sin θ)(sin θ>0)，則有B(2cos θ，－sin θ)，|FA|＝|FB|＝＝2＋cos θ，|AB|＝2sin θ，|FA|＋|FB|＋|AB|＝4＋2cos θ＋2sin θ＝4＋4sin(θ＋)，當(dāng)θ＋＝2kπ＋，k∈Z，即θ＝2kπ＋，k∈Z,2cos θ＝1，sin θ＝時(shí)，△FAB的周長最大，此時(shí)△FAB的面積等于(1＋1)3＝3. 答案：3 10．(xx福建)橢圓Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 解析：∠MF1F2是直線的傾斜角，所以∠MF1F2＝60，∠MF2F1＝30，所以△MF2F1是直角三角形，在Rt△MF2F1中，|F2F1|＝2c，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以e＝＝＝＝－1. 答案：－1 三、解答題(本大題共3小題，共40分，11、12題各13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟) 11．(xx陜西模擬)已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率． (1)求橢圓C2的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，＝2，求直線AB的方程． 解：(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為＋＝1(a＞2)，其離心率為，故＝，則a＝4， 故橢圓C2的方程為＋＝1. (2)解法一：A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上， 因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以x＝， 將y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16， 所以x＝， 又由＝2，得x＝4x，即＝， 解得k＝1，故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 解法二：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以x＝， 由＝2，得x＝，y＝， 將x，y代入＋＝1中，得＝1， 即4＋k2＝1＋4k2， 解得k＝1，故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 12．(xx濱州質(zhì)檢)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P，交x軸正半軸于點(diǎn)Q，且＝. (1)求橢圓C的離心率； (2)若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x＋y－5＝0相切，求橢圓C的方程． 解：(1)設(shè)Q(x0,0)(x0>0)，由F(－c,0)，A(0，b)知＝(c，b)，＝(x0，－b)． ∵⊥，∴cx0－b2＝0，x0＝， 設(shè)P(x1，y1)，由＝，得x1＝，y1＝b. 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以＋＝1. 整理得2b2＝3ac，即2(a2－c2)＝3ac,2e2＋3e－2＝0，又e∈(0,1)， 故橢圓的離心率e＝. (2)由(1)知2b2＝3ac，得＝a；又＝，得c＝a，于是F(－a,0)，Q(a,0)． △AQF的外接圓圓心為(a,0)，半徑r＝|FQ|＝a， 所以＝a，解得a＝2， ∴c＝1，b＝，所求橢圓方程為＋＝1. 13．(xx綿陽診斷)設(shè)F1、F2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)． (1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1，)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)； (2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程； (3)若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)． 求證：kPMkPN是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值． 解：(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4， 得2a＝4，即a＝2. 又點(diǎn)A(1，)在橢圓上， 因此＋＝1 得b2＝3，于是c2＝1. 所以橢圓C的方程為＋＝1， 焦點(diǎn)為：F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． (2)設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)為K(x1，y1)，線段F1K的中點(diǎn)Q(x，y)滿足：x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y. 因此＋＝1. 即(x＋)2＋＝1為所求的軌跡方程． (3)證明：設(shè)點(diǎn)M(m，n)是橢圓＋＝1① 上的任一點(diǎn)，N(－m，－n)是M關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱點(diǎn)，則＋＝1② 又設(shè)P(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，且kPMkPN存在． 則kPM＝，kPN＝， ∴kPMkPN＝＝. ①－②得＋＝0，＝－，∴kPMkPN＝－. 故kPMkPN是與P的位置無關(guān)的定值．