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2019年高考數(shù)學大一輪復習 第六章 第3講 等比數(shù)列及其前n項和訓練 理 一、選擇題 1.＋1與－1兩數(shù)的等比中項是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．－1 C．1 D. 解析 設等比中項為x， 則x2＝(＋1)(－1)＝1，即x＝1. 答案 C 2．設{an}是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是(　　)． A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) C．Y2＝XY D．Y(Y－X)＝X(Z－X) 解析　(特例法)取等比數(shù)列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入驗算，選D. 答案　D 3．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝(　　)． A．2 B. C．2或 D．3 解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq， 化簡得，2q2－5q＋2＝0，由題意知，q>1.∴q＝2. 答案　A 4．在正項等比數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和．若a1＝1，a2a6＝8，則S8＝ (　　)． A．8 B．15(＋1) C．15(－1) D．15(1－) 解析　∵a2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)． 答案　B 5．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝t5n－2－，則實數(shù)t的值為(　　)． A．4 B．5 C. D. 解析　∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比數(shù)列知2＝4t，顯然t≠0，所以t＝5. 答案　B 6．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為 (　　)． A. B. C．1 D．－ 解析　因為a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3. log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝. 答案　B 二、填空題 7．設1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________． 解析　設a2＝t，則1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}故q的最小值是. 答案　 8．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝________. 解析　由題意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1， 所以數(shù)列{an}的通項公式an＝4n－1. 答案　4n－1 9．設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________． 解析　由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)f(1)＝[f(1)]3＝3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n， ∴Sn＝＋2＋3＋…＋n ＝＝1－n， ∵n∈N*，∴≤Sn<1. 答案　 10．等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，給出下列四個命題：①數(shù)列為等比數(shù)列；②若a2＋a12＝2，則S13＝13；③Sn＝nan－d；④若d>0，則Sn一定有最大值． 其中真命題的序號是________(寫出所有真命題的序號)． 解析　對于①，注意到＝an＋1－an＝d是一個非零常數(shù)，因此數(shù)列是等比數(shù)列，①正確．對于②，S13＝＝＝13，因此②正確．對于③，注意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＋d＝nan－d，因此③正確．對于④，Sn＝na1＋d，d>0時，Sn不存在最大值，因此④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號是①②③. 答案?、佗冖? 三、解答題 11．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，公比q＝. (1)Sn為{an}的前n項和，證明：Sn＝； (2)設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式． 解 (1)證明　因為an＝n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通項公式為bn＝－. 12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，在數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{bn}的通項公式． (1)證明　∵an＋Sn＝n， ① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴＝. ∵首項c1＝a1－1，又a1＋a1＝1. ∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝. ∴{cn}是以－為首項，公比為的等比數(shù)列． (2)解　由(1)可知cn＝n－1＝－n， ∴an＝cn＋1＝1－n. ∴當n≥2時，bn＝an－an－1＝1－n－ ＝n－1－n＝n. 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n. 13．已知兩個等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值． 解　(1)設數(shù)列{an}的公比為q，則b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋q)2＝2(3＋q2)． 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1. (2)設數(shù)列{an}的公比為q，則由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)， 由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有兩個不同的實根． 由數(shù)列{an}唯一，知方程(*)必有一根為0， 代入(*)得a＝. 14．數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，n∈N*. (1)當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (2)在(1)的結(jié)論下，設bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Tn. 解　(1)∵點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上， ∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)． ∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1， ∴當t＝1時，a2＝4a1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (2)在(1)的結(jié)論下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n， ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n) ＝＋.